Всесоюзная, 1973/74, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Молекулы пролетают отверстие по одной, не мешая друг другу. В установившемся состоянии число молекул, входящих в сосуд за секунду, равно числу выходящих; сколько их подлетает к отверстию, зависит от концентрации и от скорости молекул.

Ответ

\(p_1=2p\).

Решение

Что происходит. Газ так разрежен, что молекулы проходят отверстие, не сталкиваясь, каждая сама по себе. Поэтому давления по обе стороны отверстия не обязаны выравниваться: в плотном газе, где столкновения частые, перетекание газа выровняло бы давление, а здесь выравнивается другое. Концентрация в сосуде не меняется, пока число молекул, входящих в сосуд за единицу времени, равно числу выходящих. Это условие и есть ключ.

Обозначения. В сосуде: концентрация \(n_1\), температура \(T_1=4T\), давление \(p_1\). Снаружи: \(n_2\), \(T\), \(p\). \(S\) — площадь отверстия, \(\bar v\) — средняя скорость молекул.

1. Сколько молекул пролетает отверстие. За малое время \(\Delta t\) к отверстию с одной из сторон подлетают молекулы из слоя толщиной порядка \(\bar v\,\Delta t\), летящие в его сторону. Их число пропорционально \(n\,\bar v\,S\,\Delta t\), а числовой множитель зависит только от распределения молекул по направлениям, одинакового по обе стороны (в обоих газах оно беспорядочное). Значит, для любой из сторон \[\Delta N=\gamma\, n\,\bar v\,S\,\Delta t ,\] где \(\gamma\) — одна и та же постоянная.

2. Равенство потоков. В установившемся состоянии число молекул, влетающих в сосуд за \(\Delta t\), равно числу вылетающих из него: \[\gamma\, n_2\,\bar v_2\,S\,\Delta t=\gamma\, n_1\,\bar v_1\,S\,\Delta t \quad\Longrightarrow\quad n_2\,\bar v_2=n_1\,\bar v_1 .\]

3. Скорости. Средняя кинетическая энергия молекулы пропорциональна температуре, поэтому \(\bar v\propto\sqrt T\) и \[\frac{\bar v_1}{\bar v_2}=\sqrt{\frac{4T}{T}}=2 .\] Из равенства потоков \(n_1=n_2/2\): в горячем сосуде молекул в единице объёма вдвое меньше.

4. Давление. Давление газа \(p=nkT\) (\(k\) — постоянная Больцмана). Снаружи \(p=n_2kT\), в сосуде \[p_1=n_1k\cdot 4T=\frac{n_2}{2}\,k\cdot 4T=2\,n_2kT=2p .\]

Обратите внимание. Ответ не \(p\). Равенство давлений по обе стороны отверстия — условие равновесия для плотного газа, где отверстие велико по сравнению с длиной свободного пробега; здесь равны потоки молекул, а не давления.

Ответ. В общем случае \(p_1=p\sqrt{T_1/T}\); при \(T_1=4T\) \[p_1=2p .\]

Проверка. При \(T_1=T\) формула даёт \(p_1=p\): газ одной температуры, давление одинаково, как и должно быть. Так как \(n\sqrt T=p/(k\sqrt T)\), равенство потоков \(n_1\sqrt{T_1}=n_2\sqrt T\) означает \(p_1/\sqrt{T_1}=p/\sqrt T\): отношение давления к корню из температуры одинаково по обе стороны, и \(p_1=p\sqrt{T_1/T}\) тем же способом получается и для других температур. Физический смысл такой: нагретый газ быстрее и сильнее бьёт по стенке, но чтобы пропускать столько же молекул, ему нужно вдвое меньше молекул в единице объёма; вдвое быстрее и вдвое реже — давление вдвое больше (рисунок ниже).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Куда девается тепло, которое холодильник забирает из камеры? Составьте уравнение теплового баланса всей комнаты: что входит в неё и что уходит на улицу.

Ответ

Во всех трёх случаях температура в помещении растёт: холодильник комнату не охлаждает, а нагревает. а) Температура монотонно растёт к значению \(T_1\), лишь немного выше уличной. б) Сначала температура растёт быстрее, чем в а) и в), достигает максимума, когда продукты остыли, затем убывает до того же \(T_1\). в) Температура монотонно растёт к наибольшему значению \(T_2=T_0+A/k\), где \(A\) — мощность тока, \(k\) — коэффициент теплоотдачи стен. Кривые а) и б) — средние по циклам: терморегулятор даёт ещё «пилу» вокруг \(T_1\), у пустого холодильника мелкую и частую, у заполненного крупную и редкую. График: рисунок в решении.

Решение

Что происходит. Холодильник — тепловой насос: у камеры он забирает тепло \(Q_x\) и отдаёт в комнату тепло \(Q_x+A\), где \(A\) — работа электрического тока (все величины — за единицу времени). Но камера не изолирована: забранное у неё тепло возвращается в комнату, через стенки камеры или из остывающих продуктов. Поэтому в целом холодильник работает как электроплитка: ничего не «уничтожает», а добавляет в комнату энергию тока. Из комнаты тепло уходит только сквозь стены на улицу, и температура растёт, пока уход не сравняется с приходом.

Обозначения. \(T\) — температура в комнате, \(T_0\) — на улице (постоянна), \(t=0\) — момент включения, \(T(0)=T_0\). \(C\) — теплоёмкость комнаты (воздух, стены, мебель), \(k\) — коэффициент теплоотдачи сквозь стены: поток тепла на улицу \(k\,(T-T_0)\) (закон охлаждения Ньютона, температуры отличаются мало). \(Q_{\text{ут}}\) — поток тепла из комнаты в камеру сквозь её стенки (утечка). \(P=Q_x+A-Q_{\text{ут}}\) — мощность, с которой холодильник подводит тепло к комнате.

1. Тепловой баланс комнаты. За малое время \(dt\) энергия комнаты (воздуха и стен вместе) возрастает на приход от холодильника и убывает на уход на улицу: \[C\,dT=P\,dt-k\,(T-T_0)\,dt .\] Если мощность \(P\) постоянна, то решение \(T-T_0=\dfrac Pk\left(1-e^{-t/\tau}\right)\), где \(\tau=C/k\): температура экспоненциально приближается к \(T_0+P/k\). Остаётся выяснить, чему равна \(P\) в каждом случае.

Случай а): холодильник пустой. Воздух и стенки камеры имеют малую теплоёмкость и остывают быстро, поэтому термостат скоро выключает компрессор. Дальше компрессор лишь изредка включается: всё тепло, пришедшее сквозь стенки, он снова забирает, так что в среднем \(Q_x=Q_{\text{ут}}\) и \(P=A_{\text{ср}}\) — только средняя мощность тока, малая. Температура в комнате растёт по экспоненте к \(T_1=T_0+A_{\text{ср}}/k\), лишь немного выше \(T_0\).

Случай б): холодильник с продуктами. Продукты тёплые. Чтобы остудить их, компрессор работает без выключения и забирает тепло \(Q_x\gg Q_{\text{ут}}\), а это тепло, отнятое у продуктов, он отдаёт в комнату. Значит, \(P\approx Q_x+A\) — намного больше, чем в случае а): комната греется быстрее. Когда продукты остыли (момент \(t_1\)), термостат начинает выключать компрессор, и становится как в а): \(P=A_{\text{ср}}\). Температура в этот момент максимальна: пока \(P>k\,(T-T_0)\), она растёт, после — убывает, приближаясь к \(T_1\): \[T-T_1=(T_{\max}-T_1)\,e^{-(t-t_1)/\tau}.\] Продукты после остывания тепла в комнату уже не добавляют.

Случай в): дверца открыта. Холодный воздух из камеры выходит и смешивается с комнатным, камера не остывает, термостат не срабатывает, и компрессор работает всё время. Тепло, забранное у воздуха камеры, возвращается в комнату тем же воздухом, поэтому в комнате остаётся лишь работа тока: \(P=A\), полная мощность. Температура монотонно растёт по экспоненте к \(T_2=T_0+A/k\). Так как \(A>A_{\text{ср}}\), итог выше, чем в случаях а) и б): \(T_2>T_1\).

Пила термостата. Терморегулятор включает и выключает компрессор, поэтому настоящая температура в комнате в случаях а) и б) не гладкая, а «пилообразная»: растёт, пока мотор включён, и убывает, пока он выключен. Размах пилы тем больше, а включения тем реже, чем больше теплоёмкость камеры. У пустого холодильника она мала, камера быстро остывает и быстро отогревается: пила мелкая и частая. У холодильника с продуктами теплоёмкость велика: включения долгие и редкие, пила крупная и редкая. Кривые на рисунке — температура, усреднённая по циклам включения; средний уровень у а) и б) на установившемся режиме один и тот же, \(T_1\), потому что мотор в среднем возмещает одну и ту же утечку тепла сквозь стенки камеры.

Сводка. Все три кривые выходят из одной точки \(T_0\) и поднимаются вверх; ниже всех идёт а), выше всех в конце — в). Кривая б) в начале круче остальных, имеет максимум и опускается к уровню \(T_1\) кривой а), пересекая в) на спуске, если продуктов много (пик выше \(T_2\), как на рисунке); при малой загрузке пик ниже \(T_2\) и пересечения нет.

Обратите внимание: холодильник не охлаждает комнату, хотя внутри холодно. Тепло из камеры не исчезает, оно перекачивается в ту же комнату, и к нему прибавляется работа тока. Поэтому ни в одном случае температура в помещении не опускается ниже уличной.

Ответ: в случаях а), б), в) температура в помещении растёт; а) монотонно до \(T_1=T_0+A_{\text{ср}}/k\); б) быстро растёт до максимума, затем убывает до того же \(T_1\); в) монотонно до наибольшего значения \(T_2=T_0+A/k\) (рисунок выше). Из-за термостата в а) и б) температура ещё колеблется вокруг \(T_1\) (мотор то включается, то выключается): у пустого холодильника колебания частые и мелкие, у заполненного — редкие и крупные; рисунок показывает среднее по циклам.

Проверка. При \(t\to\infty\) в случаях а) и в) приход энергии равен уходу сквозь стены: \(P=k\,(T-T_0)\), вся электрическая энергия, взятая холодильником из сети, в итоге оказывается на улице — энергия сохраняется. Предел: если стены хорошо проводят тепло (\(k\to\infty\)), то \(T-T_0=P/k\to0\) и комната не греется. Для случая б): добавка \(\int\left(P-A_{\text{ср}}\right)dt\) к энергии комнаты за время \(t_1\) складывается из тепла, отданного остывающими продуктами, и из работы тока, потраченной на непрерывную работу компрессора; чем больше продуктов, тем дольше работает компрессор и выше пик.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Шарик движется по окружности, и центростремительное ускорение ему даёт сила пружины. Запишите это условие и решите графически: прямая из точки \(\Delta l=-l_0\) пересекает график \(F(\Delta l)\). Сколько получается пересечений? Какие из положений устойчивы?

Ответ

Положение шарика определяется уравнением \(F(\Delta l)=m\omega^2\,(l_0+\Delta l)\). При росте \(\omega\) смещение плавно растёт от \(0\) до \(\approx2{,}1\) см (при \(\omega_1\), \(m\omega_1^2\approx0{,}39\) Н/см), затем скачком переходит к \(\approx5{,}2\) см и плавно доходит до \(7\) см при \(\omega\approx1{,}19\,\omega_1\) (там \(F=5\) Н). При уменьшении \(\omega\) смещение плавно падает до \(\approx4{,}0\) см (при \(\omega_2\approx0{,}97\,\omega_1\)), затем скачком уменьшается до \(\approx1{,}3\) см и плавно доходит до нуля: зависимость имеет петлю гистерезиса.

Решение

Что происходит. Трубка вращается с угловой скоростью \(\omega\), шарик движется по окружности радиуса \(r=l_0+\Delta l\), где \(\Delta l\) — удлинение пружины. Центростремительное ускорение ему сообщает сила упругости пружины, поэтому положения равновесия шарика находятся из уравнения \(F(\Delta l)=m\omega^2\,(l_0+\Delta l)\). Так как график \(F(\Delta l)\) имеет участок «S-образной» формы, при некоторых \(\omega\) уравнение имеет три решения, и зависимость \(\Delta l(\omega)\) получается неоднозначной.

Обозначения. \(\Delta l\) — смещение шарика вдоль трубки, то есть удлинение пружины; \(F(\Delta l)\) — сила упругости по рис. 2, б; \(l_0=2\) см. Угловую скорость меняем медленно: при каждом \(\omega\) шарик успевает занять равновесное положение. Трубка горизонтальна, трения нет. Массу \(m\) не задали, поэтому ответ строим для величины \(\kappa=m\omega^2\) (она растёт вместе с \(\omega\)) и в конце переходим к \(\omega\).

1. Второй закон Ньютона для шарика. В инерциальной системе отсчёта шарик равномерно движется по окружности радиуса \(l_0+\Delta l\). В горизонтальной плоскости вдоль трубки на него действует только сила пружины (стенки трубки давят на шарик перпендикулярно оси трубки, но шарик не ускоряется поперёк неё — угловая скорость постоянна, радиус не меняется, — поэтому это давление равно нулю). Ускорение направлено к оси: \[F(\Delta l)=m\omega^2\,(l_0+\Delta l)\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{F(\Delta l)}{l_0+\Delta l}=\kappa,\qquad \kappa=m\omega^2 .\]

2. Графическое решение. Правая часть \(m\omega^2\,(l_0+\Delta l)\) — прямая линия, выходящая из точки \(\Delta l=-l_0\) с угловым коэффициентом \(\kappa\). Положение шарика — точка пересечения этой прямой с графиком силы упругости.

На рисунке три прямые, (i), (ii), (iii), для растущих \(\omega\). У прямой (i) (малая \(\omega\)) пересечение одно, около начала графика. Прямая (ii) (средняя \(\omega\)) пересекает график трижды. У прямой (iii) (большая \(\omega\)) снова одно пересечение, теперь на крутом конце графика.

3. Устойчивость. Равновесие шарика устойчиво, если после небольшого смещения вдоль трубки равнодействующая \(F-m\omega^2\,(l_0+\Delta l)\), направленная к оси, возрастает вместе с \(\Delta l\): сместился наружу — вернула, внутрь — оттолкнула. Условие: \(F'(\Delta l)>m\omega^2\). Но \[\frac{d}{d\Delta l}\left[\frac{F}{l_0+\Delta l}\right]=\frac{F'\,(l_0+\Delta l)-F}{(l_0+\Delta l)^2}>0 \iff F'>\frac{F}{l_0+\Delta l}=\kappa ,\] то есть положение устойчиво на тех участках, где функция \(\kappa(\Delta l)=\dfrac{F}{l_0+\Delta l}\) возрастает. Построим её по графику рис. 2, б (чтение графика, \(l_0=2\) см):

Функция \(\kappa(\Delta l)\) растёт от нуля до максимума \(\kappa_1\approx0{,}39\) Н/см при \(\Delta l\approx2{,}1\) см, затем убывает до минимума \(\kappa_2\approx0{,}37\) Н/см при \(\Delta l\approx4{,}0\) см и снова растёт. Участок убывания (\(2{,}1\)–\(4{,}0\) см) — неустойчивые положения: шарик там не удержится.

4. Угловая скорость растёт. Пока \(\kappa<\kappa_1\), шарик остаётся на нижней ветви, и \(\Delta l\) плавно растёт от нуля. Равновесие на нижней ветви существует до \(\Delta l\approx2{,}1\) см, то есть до \(\omega_1=\sqrt{\kappa_1/m}\), \(m\omega_1^2\approx0{,}39\ \text{Н/см}=39\ \text{Н/м}\). При малом превышении \(\omega_1\) нижней ветви уже нет, и шарик быстро перебегает на верхнюю ветвь, где \(\kappa=\kappa_1\) при \(\Delta l\approx5{,}2\) см: скачок \(2{,}1\to5{,}2\) см. Дальше смещение плавно растёт до \(7\) см, когда \(F=5\) Н: \(\kappa=\dfrac{5}{2+7}\approx0{,}56\) Н/см, то есть \(\omega=\sqrt{0{,}56/0{,}39}\;\omega_1\approx1{,}19\,\omega_1\).

5. Угловая скорость убывает. Из конца \(\Delta l=7\) см шарик идёт по верхней ветви вниз: смещение плавно уменьшается до \(\Delta l\approx4{,}0\) см (минимум \(\kappa\)) при \(\omega_2=\sqrt{\kappa_2/m}\approx\sqrt{0{,}37/0{,}39}\;\omega_1\approx0{,}97\,\omega_1\). Ниже \(\omega_2\) верхней ветви нет, и шарик быстро переходит на нижнюю ветвь, где \(\kappa=\kappa_2\) при \(\Delta l\approx1{,}3\) см: скачок \(4{,}0\to1{,}3\) см. Дальше смещение плавно убывает до нуля.

При \(\omega_2<\omega<\omega_1\) возможны два устойчивых положения, и какое из них занято, зависит от того, как к этой скорости пришли — прибавляя или убавляя. Скачки при росте и при убывании \(\omega\) происходят при разных скоростях: график замкнут петлёй (гистерезис), узкой — ширина около \(3\,\%\) по \(\omega\).

Обратите внимание: пересечения прямой с графиком на участке убывания \(\kappa(\Delta l)\) (светлая точка на рисунке) — это неустойчивое равновесие: шарик в нём не остановится, его можно «поймать» только мысленно. Поэтому при подходе к \(\omega_1\) шарик не движется по этому участку, а прыгает.

Ответ: смещение шарика определяется уравнением \(F(\Delta l)=m\omega^2\,(l_0+\Delta l)\). При росте \(\omega\) от нуля смещение растёт плавно до \(\approx2{,}1\) см, при \(\omega_1\) (\(m\omega_1^2\approx39\) Н/м) скачком возрастает до \(\approx5{,}2\) см, далее плавно до \(7\) см при \(\omega\approx1{,}19\,\omega_1\). При убывании \(\omega\) смещение плавно падает до \(\approx4{,}0\) см, при \(\omega_2\approx0{,}97\,\omega_1\) скачком уменьшается до \(\approx1{,}3\) см, затем плавно до нуля: зависимость \(\Delta l(\omega)\) имеет петлю гистерезиса.

Проверка. Размерность: \(\kappa=m\omega^2\) — это \(\text{кг/с}^2=\text{Н/м}\), как жёсткость; \(F/(l_0+\Delta l)\) — тоже Н/см. Предел малых \(\omega\): график \(F(\Delta l)\) идёт из нуля с наклоном \(F'(0)\approx1{,}6\) Н/см, и \(\Delta l\approx m\omega^2\,l_0/F'(0)\) растёт как \(\omega^2\) — так и идёт нижняя ветвь на рисунке. Второй взгляд: у линейной пружины \(F=k\,\Delta l\) функция \(\kappa=\dfrac{k\,\Delta l}{l_0+\Delta l}\) монотонно растёт, пересечение одно, скачков нет; петля возникает именно из-за участка графика с малой жёсткостью, где \(F'<\kappa\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Шарики отталкиваются, их скорости растут, а сила убывает с расстоянием. Запишите закон сохранения энергии для системы и выразите время удвоения расстояния от начального расстояния \(r_0\); как оно зависит от \(r_0\)?

Ответ

\(t_2=3\sqrt3\,t\approx5{,}2\,t\).

Решение

Что происходит. Заряды одного знака отталкиваются (иначе расстояние не удвоилось бы). Сила убывает по мере разлёта, ускорение не постоянно, поэтому формулы равноускоренного движения не годятся. Но ход всего разлёта определяется законом сохранения энергии, а он подобен при изменении масштаба: после увеличения начального расстояния в \(3\) раза всё движение растягивается во времени в определённое число раз. Найдём это число.

Обозначения. \(r\) — расстояние между шариками, \(r_0\) — начальное; \(m\) — масса каждого; \(\alpha=kq_1q_2>0\) — произведение постоянной Кулона и зарядов; потенциальная энергия пары равна \(\alpha/r\).

1. Скорости шариков. Система двух шариков замкнута, начальный импульс равен нулю, значит, скорости шариков равны по модулю и противоположны: каждый движется со скоростью \(v=\dot r/2\).

2. Закон сохранения энергии для системы двух шариков между начальным моментом и моментом, когда расстояние равно \(r\): \[\frac{\alpha}{r_0}=\frac{\alpha}{r}+2\cdot\frac{mv^2}{2}=\frac{\alpha}{r}+\frac{m\dot r^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad \dot r=2\sqrt{\frac{\alpha}{m r_0}}\sqrt{1-\frac{r_0}{r}} .\]

3. Время разлёта. Введём безразмерное расстояние \(x=r/r_0\), \(dr=r_0\,dx\). Тогда \[dt=\frac{dr}{\dot r}=\frac{r_0^{3/2}}{2}\sqrt{\frac{m}{\alpha}}\;\frac{dx}{\sqrt{1-1/x}} .\] Время, за которое расстояние выросло от \(r_0\) до \(2r_0\) (от \(x=1\) до \(x=2\)), равно \[t(r_0)=\frac{r_0^{3/2}}{2}\sqrt{\frac{m}{\alpha}}\int\limits_1^{2}\frac{dx}{\sqrt{1-1/x}}=A\,r_0^{3/2},\] где постоянная \(A\) не зависит от \(r_0\): интеграл — просто число (оно равно \(\sqrt2+\ln(1+\sqrt2)\approx2{,}30\)), а остальное — заряды и массы, те же в обоих опытах.

4. Сравнение опытов. В первом опыте \(r_0=l\) и время равно \(t=A\,l^{3/2}\), во втором \(r_0=3l\): \[t_2=A\,(3l)^{3/2}=3^{3/2}\,t=3\sqrt3\,t .\]

Обратите внимание. Не годятся ни ускорение \(a=\mathrm{const}\) (получилось бы \(\sqrt3\)), ни линейное подобие времён: время растёт как \(r_0^{3/2}\), а не как \(r_0\).

Ответ. \[t_2=3\sqrt3\,t\approx5{,}2\,t .\]

Проверка. Размерность: \([r_0^{3/2}\sqrt{m/\alpha}]=\text{м}^{3/2}\cdot\sqrt{\text{кг}/(\text{Н}\cdot\text{м}^2)}=\text{м}^{3/2}\cdot\text{с}/\text{м}^{3/2}=\text{с}\). Второй способ — подобие: заменим все расстояния в \(3\) раза большими; энергия \(\alpha/r\) уменьшится в \(3\) раза, скорости (корень из энергии на массу) — в \(\sqrt3\) раза; время есть расстояние, делённое на скорость, то есть вырастет в \(3\sqrt3\) раз. Это тот же закон, что у планет (третий закон Кеплера): период пропорционален радиусу в степени \(3/2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Растягивая пружину, мы закручиваем проволоку: сила вдоль оси пружины даёт на каждом витке момент относительно проволоки. Найдите, во сколько раз удлинение пружины больше угла, на который закручена вся проволока.

Ответ

\(\mu=\dfrac{k}{R^2}\).

Решение

Что происходит. Шаг витков мал, поэтому каждый виток почти плоский, а проволока почти перпендикулярна оси пружины. Сила \(F\), растягивающая пружину вдоль оси, создаёт на каждом участке проволоки момент относительно самой проволоки, равный \(FR\), и закручивает её: растяжение пружины — это закручивание проволоки. Изгибом и сдвигом пренебрегаем: напряжения от изгиба и сдвига в \(R/r\) раз меньше напряжений кручения (\(r\) — радиус сечения проволоки, \(r\ll R\)). Тогда задача сводится к двум связям: момент и угол закручивания — по данной в условии формуле, угол закручивания и удлинение пружины — геометрически.

Обозначения. \(\mu\) — искомый коэффициент упругости пружины (\(F=\mu\,\Delta H\)), \(\Delta H\) — удлинение пружины, \(\varphi\) — полный угол закручивания проволоки, \(n\) — число витков, \(\beta\) — малый угол, на который наклоняется половина витка при растяжении.

1. Момент. Сила \(F\) направлена вдоль оси пружины, а проволока в любом сечении почти перпендикулярна оси и находится на расстоянии \(R\) от неё. Момент силы \(F\) относительно касательной к проволоке в этом сечении равен \(M=FR\). Это закручивающий момент, одинаковый во всех сечениях; по условию для проволоки длины \(l\) \[M=k\varphi,\qquad \varphi=\frac{M}{k}=\frac{FR}{k}.\]

2. Растяжение и закручивание. Возьмём один виток и разобьём на две половины (хорды длины \(2R\)): \(AC\) и \(CB\) (рис.). При растяжении пружины каждая половина наклоняется на малый угол \(\beta\) относительно плоскости, перпендикулярной оси; высота подъёма на половине витка равна \(\Delta h=2R\sin\beta\approx2R\beta\), на целом витке \(4R\beta\).

Сечения \(A\), \(C\), \(B\) при этом не поворачиваются: растяжение наклоняет верхнюю и нижнюю половины витка на одинаковые углы в разные стороны, и по симметрии сечение \(C\) сохраняет ориентацию, как и сечения \(A\), \(B\) (их соседи наклонены точно так же). Но наклон хорды на \(\beta\) повернул бы её концы на \(\beta\), а им надо остаться как были. Значит, на каждом конце хорды проволока закручена на \(\beta\), половина витка закручена на \(2\beta\), целый виток — на \(4\beta\), а вся проволока из \(n\) витков — на \[\varphi=4n\beta .\] Удлинение пружины на всех витках \[\Delta H=4nR\beta=R\varphi .\] (Длина одного витка \(2\pi R\), длина проволоки \(l\), число витков \(n=l/(2\pi R)\); от \(n\) и \(l\) ответ не зависит.)

3. Коэффициент упругости. Подставим \(\varphi=FR/k\) в \(\Delta H=R\varphi\): \[\Delta H=\frac{FR^2}{k}\quad\Longrightarrow\quad \mu=\frac{F}{\Delta H}=\frac{k}{R^2}.\]

Обратите внимание. Коэффициент \(k\) относится ко всей проволоке длиной \(l\), а не к её единице длины, поэтому полный угол закручивания \(\varphi\) нужно связывать с удлинением всей пружины. Угол закручивания \(\varphi\) и угол наклона витка \(\beta\) — разные величины: \(\varphi=4n\beta\).

Ответ. \[\mu=\frac{k}{R^2}.\]

Проверка. Размерность: \(k\) — Н\(\cdot\)м, \(R^2\) — м\(^2\), отношение имеет размерность Н/м, как у коэффициента упругости. Второй способ — по энергии: энергия закрученной проволоки \(\tfrac12k\varphi^2\) равна энергии растянутой пружины \(\tfrac12\mu\Delta H^2\); при \(\Delta H=R\varphi\) получаем тот же \(\mu=k/R^2\). Для тонкой проволоки с модулем сдвига \(G\) и диаметром \(d\) величина \(k=\pi G d^4/(32\,l)\), и \(\mu=k/R^2\) даёт известную формулу пружины \(\mu=Gd^4/(8nD^3)\) при \(D=2R\), \(l=n\pi D\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.