Всесоюзная, 1974/75, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Ракета стартует из покоя. Каждый двигатель добавляет скорость \(a_it_i\) в любом режиме; режимы отличаются тем, как долго ракета летит с этой добавкой до момента окончания работы.

Ответ

Сначала включить первый двигатель (с большим ускорением) на всё время \(t_1\) и сразу после его выключения включить второй на время \(t_2\). Высота в этом режиме \(H=\dfrac{a_1t_1^2}{2}+a_1t_1t_2+\dfrac{a_2t_2^2}{2}\) — больше, чем при любом другом порядке.

Решение

Что происходит. Ракета стартует с поверхности из покоя. Что бы мы ни делали, каждый двигатель сообщает ей скорость \(a_it_i\), а скорости и пути от двух двигателей складываются. Разница между режимами лишь в том, как рано набрана каждая добавка скорости: чем раньше двигатель отработал, тем дольше ракета до момента окончания работы летит по инерции с его добавкой. Главная идея — записать высоту через время от выключения каждого двигателя до конца работы.

Обозначения и модель. Ось \(y\) вверх, начало на старте. Силу тяжести и сопротивление воздуха не учитываем (в условии \(g\) не задано, а \(a_1\), \(a_2\) — ускорения, которые двигатели сообщают ракете). Двигатели включаются без пауз: сразу после старта работает хотя бы один, и так до момента \(T\) окончания работы всех двигателей. Двигатель \(i\) включён на промежутке длиной \(t_i\) и выключается за время \(e_i\) до момента \(T\); тот, что выключается последним, имеет \(e=0\).

1. Высота от одного двигателя. Ускорения складываются, поэтому высоту можно считать как сумму вкладов двигателей. Двигатель \(i\) разгоняет ракету из покоя за время \(t_i\) до скорости \(a_it_i\) и поднимает её за это время на \(\dfrac{a_it_i^2}{2}\); затем до момента \(T\) ракета летит с этой скоростью ещё время \(e_i\) и поднимается на \(a_it_ie_i\). Полная высота \[H=a_1t_1\left(\frac{t_1}{2}+e_1\right)+a_2t_2\left(\frac{t_2}{2}+e_2\right).\]

2. Какое \(e_i\) возможно. Без пауз все промежутки работы укладываются в \([0,T]\), а их общая длина не больше \(t_1+t_2\) (при совместной работе короче). Поэтому \(T\le t_1+t_2\), и для двигателя, который выключается раньше другого, время до конца работы \(e_i\le T-t_i\le t_{\,j}\), где \(j\) — другой двигатель. Рассмотрим два случая.

Если последним выключается второй двигатель (\(e_2=0\)), то \(e_1\le t_2\) и \[H\le \frac{a_1t_1^2}{2}+a_1t_1t_2+\frac{a_2t_2^2}{2}=H_{12}.\] Равенство достигается, когда первый двигатель работает с самого старта, а второй включается сразу за ним: режим А на рисунке.

Если последним выключается первый (\(e_1=0\)), то \(e_2\le t_1\) и \[H\le \frac{a_2t_2^2}{2}+a_2t_2t_1+\frac{a_1t_1^2}{2}=H_{21}\] (режим Б).

3. Сравнение. \[H_{12}-H_{21}=(a_1-a_2)\,t_1t_2>0,\] потому что \(a_1>a_2\). Значит, лучший режим — А: сначала первый двигатель, затем второй. Режим В (двигатели вместе) заканчивается раньше, и по формуле из пункта 1 он оказывается хуже обоих.

На рисунке — графики скорости при \(a_1=3\), \(a_2=1\), \(t_1=2\), \(t_2=5\) (условные единицы). Площадь под графиком равна пройденной высоте: для режимов А, Б, В она равна \(48{,}5\); \(28{,}5\) и \(36{,}5\). Конечная скорость у всех одна и та же, \(a_1t_1+a_2t_2=11\); выигрывает тот режим, где большее ускорение действует раньше.

Обратите внимание: сравнивается высота в момент окончания работы двигателей, а не в один и тот же момент времени. Если дать ракете лететь по инерции до момента \(t_1+t_2\), режим В, закончивший работу раньше, ещё добавит \(11\cdot 2=22\) и обгонит режим А — но это уже другой вопрос, чем в условии.

Ответ: сначала первый двигатель на время \(t_1\), затем второй на время \(t_2\); \[H=\frac{a_1t_1^2}{2}+a_1t_1t_2+\frac{a_2t_2^2}{2}.\]

Проверка. При \(a_1=a_2\) разность \(H_{12}-H_{21}\) обращается в нуль: порядок не важен, как и должно быть, когда двигатели одинаковы. При \(t_1\to0\) первый двигатель выпадает, и остаётся \(\dfrac{a_2t_2^2}{2}\) — высота при равноускоренном подъёме. Физический смысл: ракете выгоднее сначала разогнаться сильнее, чтобы дольше лететь с набранной скоростью.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Если притяжение Земли и Луны взаимно уничтожается, что сообщает кораблю центростремительное ускорение, нужное для движения по окружности?

Ответ

Двигатели работают: сила тяги направлена к центру Земли. Вес космонавта \(P=m\omega^2r\approx0{,}17\) Н, направлен от центра Земли (примерно в \(4000\) раз меньше обычного).

Решение

Что происходит. Корабль и Луна лежат на одной прямой с Землёй и вращаются вокруг неё с одной угловой скоростью \(\omega\), поэтому прямая Земля — Луна — корабль вращается как жёсткая. Для круговой орбиты нужна сила, направленная к центру. Если притяжения Земли и Луны взаимно уничтожаются, эту силу может дать только двигатель.

Обозначения. \(D=60R_\text{З}\) — расстояние от Земли до Луны, \(r\) — от Земли до корабля, \(M\) и \(M/81\) — массы Земли и Луны, \(m\) — масса космонавта, \(T=27{,}3\) суток — период, \(\omega=2\pi/T\).

1. Где корабль. Силы притяжения противоположны (корабль между Землёй и Луной) и равны по модулю по закону всемирного тяготения: \[\frac{GM\mu}{r^2}=\frac{G\,(M/81)\,\mu}{(D-r)^2}\quad\Rightarrow\quad\frac{r}{D-r}=\sqrt{81}=9\quad\Rightarrow\quad r=0{,}9\,D=54R_\text{З}\approx3{,}5\cdot10^{5}\text{ км},\] где \(\mu\) — масса корабля, сократилась.

2. Нужна ли тяга. Корабль движется по окружности радиуса \(r\) с угловой скоростью \(\omega\), значит, его ускорение направлено к Земле и равно \(a=\omega^2r\). Второй закон Ньютона для корабля в проекции на направление к Земле: сумма сил притяжения равна нулю, поэтому \[F=\mu a=\mu\omega^2r\ne0 .\] Это сила тяги, направленная к центру Земли: двигатели работают.

3. Вес космонавта. Космонавт движется с тем же ускорением \(a\) к Земле. Тяготение на него тоже уравновешено (силы Земли и Луны компенсируются), поэтому единственная сила, действующая на космонавта, — сила \(N\) со стороны пола корабля. Пол — та его сторона, которая дальше от Земли: именно к ней прижимается космонавт. Второй закон Ньютона для космонавта в проекции на направление к Земле: \(N=ma=m\omega^2r\). Вес — это сила, с которой космонавт давит на пол; по третьему закону Ньютона она равна \(N\) по модулю и направлена от центра Земли.

\[P=m\omega^2r=m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,0{,}9D,\qquad T=27{,}3\cdot86\,400\text{ с}\approx2{,}36\cdot10^{6}\text{ с},\] \[\omega\approx2{,}66\cdot10^{-6}\text{ с}^{-1},\quad a=\omega^2r\approx2{,}45\cdot10^{-3}\text{ м/с}^2,\quad P\approx70\cdot2{,}45\cdot10^{-3}\approx0{,}17\text{ Н}.\]

Обратите внимание: вес не равен нулю, хотя результирующее тяготение нулевое. Вес — это не сила тяжести, а сила давления на опору, а опора здесь разгоняет космонавта к Земле. Космонавт ощущает почти невесомость: \(P\) примерно в \(4000\) раз меньше \(mg\approx690\) Н.

Обратите внимание: точка равных по модулю сил есть и за Луной (на расстоянии \(D/8\) от неё), но там обе силы направлены к Земле и не компенсируются; в условии — корабль между телами, где силы противоположны.

Ответ: двигатели работают (тяга направлена к центру Земли); вес космонавта \(P=m\omega^2r\approx0{,}17\) Н, направлен от центра Земли.

Проверка. Размерность: \(m\omega^2r\) — кг\(\cdot\)с\(^{-2}\cdot\)м \(=\) Н. Если бы корабль стоял неподвижно в точке равных сил, он «висел» бы без тяги и вес был бы нулевой; здесь \(\omega\ne0\), и ускорение мало, потому что период — месяц. Физический смысл: вес космонавта — это масса, умноженная на ускорение корабля, и ничего больше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Притяжение Солнца заставляет Землю двигаться по окружности, а притяжение самой Земли даёт \(g\). Выразите массы через \(G\) и сравните: \(G\) и расстояние до Солнца сократятся.

Ответ

\(\dfrac{\rho_\text{З}}{\rho_\text{С}}=\dfrac{g\,\alpha^3T^2}{32\pi^2R_1}\approx4{,}4\).

Решение

Что происходит. Земля обращается вокруг Солнца по круговой орбите радиуса \(L\) за год \(T\); сила притяжения Солнца — центростремительная. Ускорение \(g\) на поверхности Земли определяется массой и радиусом Земли. Главная идея — записать \(GM_\text{С}\) и \(GM_\text{З}\) без \(G\) по отдельности: гравитационная постоянная и расстояние \(L\) в ответ не войдут.

Обозначения. \(M_\text{З}\), \(M_\text{С}\) — массы Земли и Солнца, \(R_1\) — радиус Земли, \(R_\text{С}\) — радиус Солнца, \(\rho_\text{З}\), \(\rho_\text{С}\) — плотности, \(L\) — расстояние от Земли до Солнца, \(T\) — год.

1. Движение Земли. Второй закон Ньютона для Земли в проекции на направление к Солнцу: сила тяготения Солнца сообщает центростремительное ускорение, Земля движется по окружности (круговую орбиту принимаем) \[G\frac{M_\text{С}M_\text{З}}{L^2}=M_\text{З}\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,L\quad\Rightarrow\quad GM_\text{С}=\frac{4\pi^2L^3}{T^2}.\]

2. Поверхность Земли. Тело массой \(m\) у поверхности Земли притягивается с силой \(mg\), это сила тяготения Земли: \[mg=G\frac{M_\text{З}m}{R_1^2}\quad\Rightarrow\quad GM_\text{З}=gR_1^2.\] Делим результат пункта 1 на результат пункта 2: \[\frac{M_\text{С}}{M_\text{З}}=\frac{4\pi^2L^3}{g\,R_1^2\,T^2}.\]

3. Радиус Солнца. Из рисунка луч зрения касается диска Солнца, радиус в точке касания перпендикулярен лучу, поэтому \(R_\text{С}=L\sin\dfrac\alpha2\). Угол мал, \(\sin x\approx x\): \[R_\text{С}=\frac{L\alpha}{2},\qquad L=\frac{2R_\text{С}}{\alpha}.\]

4. Плотности. Масса шара \(M=\dfrac43\pi R^3\rho\), поэтому \[\frac{M_\text{С}}{M_\text{З}}=\frac{\rho_\text{С}R_\text{С}^3}{\rho_\text{З}R_1^3}.\] Приравняем с результатом пункта 2 и подставим \(L=2R_\text{С}/\alpha\), радиус Солнца сокращается: \[\frac{\rho_\text{С}R_\text{С}^3}{\rho_\text{З}R_1^3}=\frac{4\pi^2\cdot8R_\text{С}^3}{\alpha^3\,g\,R_1^2\,T^2}\quad\Rightarrow\quad\frac{\rho_\text{З}}{\rho_\text{С}}=\frac{g\,\alpha^3\,T^2}{32\pi^2R_1}.\]

Число: \(\dfrac{10\cdot(10^{-2})^3\cdot(3\cdot10^{7})^2}{32\cdot9{,}87\cdot6{,}4\cdot10^{6}}=\dfrac{9\cdot10^{9}}{2{,}0\cdot10^{9}}\approx4{,}5\).

Обратите внимание: \(\alpha\) входит в третьей степени, угол должен быть в радианах; \(\alpha\) — диаметр, а не радиус, отсюда \(\alpha/2\) и множитель \(8\) в знаменателе.

Ответ: \(\dfrac{\rho_\text{З}}{\rho_\text{С}}=\dfrac{g\alpha^3T^2}{32\pi^2R_1}\approx4{,}4\) (при округлённых данных получается \(4{,}45\)).

Проверка. Размерность: \(gT^2/R_1\) — безразмерна. Реальные плотности \(5{,}5\) и \(1{,}4\) г/см\(^3\) дают около \(3{,}9\); расхождение объясняется округлением: настоящий угол \(\alpha\approx9{,}3\cdot10^{-3}\) рад, а \(\alpha^3\) усиливает его ошибку в \(0{,}93^{-3}\approx1{,}25\) раза.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Вертолёт висит, потому что винт отбрасывает воздух вниз. За секунду винт отбрасывает столб воздуха сечением \(\pi l^2\) и длиной, равной скорости потока.

Ответ

\(N=\dfrac{Mg}{2}\sqrt{\dfrac{Mg}{\pi\rho l^2}}\approx3\cdot10^{4}\) Вт \(=30\) кВт.

Решение

Что происходит. Винт отбрасывает воздух вниз, воздух по третьему закону Ньютона толкает вертолёт вверх. В режиме висения сила со стороны воздуха равна \(Mg\). Двигатель тратит мощность на то, чтобы каждую секунду придавать отброшенному воздуху кинетическую энергию. Главная идея — рассмотреть малое время \(dt\) и массу воздуха, отброшенную за него.

Обозначения. \(v\) — скорость потока воздуха под винтом, \(\rho\) — плотность воздуха, \(S=\pi l^2\) — площадь, ометаемая лопастями, \(N\) — искомая мощность.

1. Масса отброшенного воздуха. За малое время \(dt\) через площадь \(S\) проходит столб воздуха длиной \(v\,dt\), его масса (рисунок) \[dm=\rho S\,v\,dt=\rho\pi l^2v\,dt .\]

2. Сила тяги. Воздух этой порции до взаимодействия с винтом покоился, после — движется со скоростью \(v\). Второй закон Ньютона для воздуха в импульсной форме, в проекции на ось вниз: сила, действующая со стороны винта на воздух, \(F\,dt=dm\,v\), откуда \(F=\rho\pi l^2v^2\). По третьему закону Ньютона воздух действует на вертолёт с такой же силой вверх. Вертолёт висит, поэтому (второй закон Ньютона для вертолёта в проекции на вертикаль) \[\rho\pi l^2v^2=Mg\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{Mg}{\pi\rho l^2}} .\]

3. Мощность. Работа двигателя за \(dt\) идёт на кинетическую энергию отброшенной порции воздуха (другие потери не учитываем), поэтому \[N\,dt=\frac{dm\,v^2}{2}\quad\Rightarrow\quad N=\frac{\rho\pi l^2v^3}{2}=\frac{Mg\,v}{2}.\] Обратите внимание: \(N=Mgv/2\), а не \(Mgv\): вертолёт неподвижен и полезной работы над ним не совершается, вся мощность уходит в энергию струи.

4. Число. Плотность воздуха найдём из уравнения состояния при \(p=10^5\) Па и \(T=300\) К: \(\rho=\dfrac{p\mu}{RT}\approx1{,}2\text{ кг/м}^3\) (\(\mu=0{,}029\) кг/моль). Тогда \[v=\sqrt{\frac{500\cdot10}{1{,}2\cdot3{,}14\cdot9}}\approx12\text{ м/с},\qquad N=\frac{500\cdot10\cdot12}{2}\approx3\cdot10^{4}\text{ Вт}.\]

Ответ: \(N=\dfrac{Mg}{2}\sqrt{\dfrac{Mg}{\pi\rho l^2}}\approx30\) кВт.

Проверка. Размерность: \(Mg\,v\) — Н\(\cdot\)м/с \(=\) Вт. Чем длиннее лопасти, тем меньше мощность (\(N\propto1/l\)): при \(l\to\infty\) нужен ничтожный поток \(v\to0\), и мощность стремится к нулю — поэтому у вертолётов лопасти длинные. Физический смысл: тот же импульс \(Mg\,dt\) выгоднее передавать большой массе воздуха с малой скоростью, потому что энергия растёт как \(v^2\), а импульс — как \(v\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Нагрузка включена параллельно нижней части реостата, так что делитель напряжения нельзя считать по отношению сопротивлений частей реостата. Запишите напряжение на нагрузке как функцию доли \(\alpha=R_2/R\).

Ответ

Движок нужно сдвинуть вниз так, чтобы сопротивление нижней части реостата стало \(R_2=(\sqrt5-2)R\approx0{,}24R\) (вместо \(0{,}5R\)).

Решение

Что происходит. Реостат работает как делитель напряжения: верхняя часть \(R_1\) соединена последовательно с группой «нижняя часть \(R_2\) параллельно нагрузке \(R\)». Напряжение на нагрузке равно напряжению на этой группе, и оно зависит от положения движка нелинейно, потому что нагрузка шунтирует нижнюю часть. Главная идея — получить \(U\) как функцию \(\alpha\), а затем потребовать равенства при двух разных \(U_\text{вх}\).

Обозначения. \(R_1\) и \(R_2\) — сопротивления верхней и нижней частей реостата, \(R_1+R_2=R\) (сопротивление пропорционально длине участка), \(\alpha=R_2/R\), точки \(A\) и \(B\) — концы нижней части (между ними нагрузка).

1. Сопротивление группы \(R_2\parallel R\). Параллельное соединение: \[R_\text{э}=\frac{RR_2}{R+R_2}=R\,\frac{\alpha}{1+\alpha}.\]

2. Напряжение на нагрузке. Ток в цепи по закону Ома для всей цепи \(I=\dfrac{U_\text{вх}}{R_1+R_\text{э}}\), напряжение на группе (и на нагрузке) \(U=IR_\text{э}\), причём \(R_1=R-R_2=R(1-\alpha)\): \[U=U_\text{вх}\frac{R_\text{э}}{R_1+R_\text{э}}=U_\text{вх}\,\frac{\alpha/(1+\alpha)}{(1-\alpha)+\alpha/(1+\alpha)}=U_\text{вх}\,\frac{\alpha}{1+\alpha-\alpha^2}.\] Обратите внимание: без нагрузки было бы \(U=U_\text{вх}\alpha\); формулу делителя «по частям реостата» здесь применять нельзя, нагрузка потребляет ток из нижней части.

3. Начальное положение. При \(\alpha_1=\dfrac12\): \[U_1=U_\text{вх}\,\frac{1/2}{1+1/2-1/4}=\frac25\,U_\text{вх}.\]

4. Новое положение. Входное напряжение стало \(2U_\text{вх}\), напряжение на нагрузке должно остаться \(\dfrac25U_\text{вх}\): \[2U_\text{вх}\,\frac{\alpha_2}{1+\alpha_2-\alpha_2^2}=\frac25U_\text{вх}\quad\Rightarrow\quad5\alpha_2=1+\alpha_2-\alpha_2^2\quad\Rightarrow\quad\alpha_2^2+4\alpha_2-1=0 .\] Корень с \(\alpha_2>0\): \(\alpha_2=-2+\sqrt5\approx0{,}236\) (второй корень отрицателен и сопротивления не соответствует).

График показывает, почему корень один: \(U/U_\text{вх}\) растёт от 0 до 1 при \(\alpha\) от 0 до 1 (производная \(\dfrac{1+\alpha^2}{(1+\alpha-\alpha^2)^2}>0\)), и нужное значение \(0{,}2\) достигается ровно в одной точке.

Ответ: движок сдвинуть вниз так, чтобы \(R_2=(\sqrt5-2)R\approx0{,}24\,R\) вместо \(0{,}5R\), то есть примерно до четверти длины реостата от нижнего конца.

Проверка. Подставим \(\alpha_2=0{,}236\) обратно: \(\dfrac{0{,}236}{1+0{,}236-0{,}0557}=\dfrac{0{,}236}{1{,}180}=0{,}200\), и \(2\cdot0{,}200=0{,}400\), как в начале. Предельные случаи: \(\alpha=0\) даёт \(U=0\), \(\alpha=1\) даёт \(U=U_\text{вх}\) (движок наверху, нагрузка прямо на входе). Физический смысл: вдвое большее напряжение на входе нужно «погасить», уменьшив долю нижней части больше чем вдвое: нагрузка шунтирует её, и зависимость \(U(\alpha)\) вогнута вверх.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.