Всесоюзная, 1975/76, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Разрежьте сферу горизонтальными плоскостями на тонкие пояса одинаковой высоты. Чему пропорциональна масса пояса, если поверхность однородна?

Ответ

Центр тяжести бокала лежит на высоте \(R\) над основанием ножки (на половине высоты бокала) и от \(h\) не зависит.

Решение

Что происходит. Бокал склеен из двух кусков одной сферы: верхняя часть — сфера без шапочки, ножка — та же шапочка, перевёрнутая и поставленная вершиной на дно чаши. Главная идея: масса тонкого пояса сферы определяется только его высотой, поэтому у шарового пояса и у шапочки масса распределена по высоте равномерно, и центр тяжести каждой части лежит на середине её высоты.

Обозначения. Ось \(y\) направим вверх, начало — на опоре, в плоскости основания ножки. \(\sigma\) — масса единицы площади поверхности. Высота ножки \(h\) равна высоте отрезанной шапочки: ножка и есть эта шапочка.

1. Масса тонкого пояса сферы. Рассечём сферу горизонтальными плоскостями на пояса высоты \(\Delta h\ll R\). Для пояса, нормаль которого составляет угол \(\alpha\) с вертикалью, радиус его окружности \(r=R\sin\alpha\), а длина образующей — отрезка поверхности между плоскостями — \(l=\Delta h/\sin\alpha\). Тогда площадь пояса и его масса \[S=2\pi r\,l=2\pi R\sin\alpha\cdot\frac{\Delta h}{\sin\alpha}=2\pi R\,\Delta h,\qquad \Delta m=2\pi R\sigma\,\Delta h .\]

Угол \(\alpha\) сократился: масса пояса зависит только от его высоты \(\Delta h\), а не от того, где он расположен. Значит, у любой части сферы, ограниченной горизонтальными плоскостями, масса пропорциональна её высоте.

2. Две части бокала. Сфера без шапочки занимает по высоте участок от \(y=h\) (нижняя точка сферы лежит на вершине ножки) до \(y=2R\): длина участка \(2R-h\), его масса и положение центра тяжести (середина участка) \[m_1=2\pi R\sigma\,(2R-h),\qquad y_1=h+\frac{2R-h}{2}=R+\frac h2 .\] Ножка занимает участок от \(y=0\) до \(y=h\): \[m_2=2\pi R\sigma\,h,\qquad y_2=\frac h2 .\]

3. Центр тяжести системы. Центр тяжести системы двух тел — взвешенное по массам среднее их центров: \[y_C=\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}=\frac{(2R-h)\left(R+\dfrac h2\right)+h\cdot\dfrac h2}{2R}=\frac{2R^2+Rh-Rh-\dfrac{h^2}{2}+\dfrac{h^2}{2}}{2R}=R .\] Обратите внимание: высота ножки \(h\) выпала из ответа, потому что масса ножки (то есть шапочки) компенсирует сдвиг центра тяжести чаши. Бокал вообще имеет высоту \(2R\) при любом \(h\): центр тяжести — на её половине.

Ответ: \(y_C=R\) от основания ножки.

Проверка. При \(h\to0\) ножки нет, шапочка нулевая, остаётся целая сфера: центр тяжести в центре шара, на высоте \(R\). При \(h\to 2R\) чаши нет, а ножка — целая сфера, поставленная на землю, и снова \(R\). В промежуточных случаях, как показала выкладка, результат тот же, а размерность (длина) очевидна.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Поезда не столкнутся, если расстояние между ними не обратится в нуль. Удобно перейти в систему отсчёта товарного поезда.

Ответ

Недостаточно: поезда столкнутся через \(15\) с после начала торможения, на расстоянии \(315\) м от места, где началось торможение (скорость сближения в этот момент \(3\) м/с). Чтобы избежать столкновения, нужно ускорение не меньше \(1{,}225\) м/с\(^2\) по модулю.

Решение

Что происходит. Пассажирский поезд догоняет товарный, но тормозит. Столкновения не будет, если пассажирский успеет сравнять свою скорость со скоростью товарного, пока расстояние между ними ещё положительно. Удобнее всего считать расстояние между поездами: оно сначала уменьшается, а потом, возможно, снова растёт.

Обозначения. Переведём скорости в м/с: \(v_1=108\text{ км/ч}=30\text{ м/с}\), \(v_2=32{,}4\text{ км/ч}=9\text{ м/с}\). Ось \(x\) направим по ходу поездов, начало — в точке, где пассажирский поезд начал тормозить (в этот момент \(t=0\)). Поезда считаем материальными точками, ускорение пассажирского — \(a=-1{,}2\text{ м/с}^2\) вдоль оси.

1. Закон движения каждого поезда. Пассажирский движется равноускоренно, товарный — равномерно: \[x_1(t)=v_1t+\frac{at^2}{2}=30t-0{,}6t^2,\qquad x_2(t)=s_0+v_2t=180+9t .\] Формула для \(x_1\) верна, пока поезд не остановился и не поехал назад, то есть при \(t\le v_1/|a|=25\) с; нам этого достаточно.

2. Встреча. Поезда столкнутся, если для какого-то \(t\) окажется \(x_1=x_2\): \[30t-0{,}6t^2=180+9t\ \Rightarrow\ t^2-35t+300=0 .\] Дискриминант \(35^2-4\cdot300=25>0\): уравнение имеет корни \(t'=15\) с и \(t''=20\) с — графики координат пересекаются.

Столкновение происходит в первый момент, когда координаты сравнялись, то есть при \(t'=15\) с. Координата места столкновения: \(x_1(15)=30\cdot15-0{,}6\cdot225=315\) м. Скорость пассажирского в этот момент \(30-1{,}2\cdot15=12\) м/с, скорость товарного \(9\) м/с, так что пассажирский ударяет товарный со скоростью сближения \(3\) м/с.

Обратите внимание: корень \(t''=20\) с физического смысла не имеет — к этому времени поезда уже столкнулись, и дальше эти формулы не применимы. Он лишь показывает, что парабола пересекает прямую дважды.

3. Второй способ: расстояние между поездами. В системе отсчёта товарного поезда пассажирский приближается со скоростью \(u_0=v_1-v_2=21\) м/с и тормозит с ускорением \(1{,}2\) м/с\(^2\). Расстояние между поездами \[s(t)=s_0-u_0t+\frac{|a|t^2}{2}=180-21t+0{,}6t^2 .\] Оно минимально, когда скорость сближения обращается в нуль: \(u_0-|a|t=0\), то есть при \(t=17{,}5\) с (в этот момент скорости поездов сравниваются). Минимальное значение \[s_{\min}=180-\frac{u_0^2}{2|a|}=180-\frac{441}{2{,}4}=180-183{,}75=-3{,}75\text{ м}<0 .\] Отрицательное расстояние означает, что пассажирский поезд успел бы «въехать» в товарный на \(3{,}75\) м: столкновение неизбежно.

4. Какое ускорение достаточно. Столкновения нет, если \(s_{\min}\ge0\), то есть \[\frac{u_0^2}{2|a|}\le s_0\ \Rightarrow\ |a|\ge\frac{u_0^2}{2s_0}=\frac{21^2}{2\cdot180}=1{,}225\text{ м/с}^2 .\] На рисунке бирюзовая кривая — этот предельный случай: расстояние лишь касается нуля.

Ответ: ускорения \(a=-1{,}2\text{ м/с}^2\) недостаточно, поезда столкнутся через \(15\) с на расстоянии \(315\) м от места начала торможения.

Проверка. Размерность: \(u_0^2/(2|a|)\) — \(\text{м}^2/\text{с}^2\) делить на \(\text{м}/\text{с}^2\) даёт метры, как и \(s_0\). Оба способа дали один результат: для \(a=-1{,}2\) тормозной путь относительно товарного \(183{,}75\) м больше \(180\) м; тот же вывод даёт и \(t'=15\) с (при \(t<17{,}5\) с расстояние ещё убывает, и нуля оно достигает раньше минимума). Предел: при \(|a|=1{,}225\) дискриминант уравнения \(x_1=x_2\) равен нулю, и корень один — графики касаются.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Идеальный амперметр — проводник без сопротивления, идеальный вольтметр тока не берёт. Найдите общее сопротивление цепи и подберите, как расставить резисторы, чтобы оно получилось таким.

Ответ

\(1\) А или \(2\) А: условие допускает два способа расстановки резисторов, и в каждом ток через \(A_2\) свой.

Решение

Что происходит. Вольтметр показывает напряжение на всей цепи, амперметр \(A_1\) — её полный ток, поэтому общее сопротивление известно сразу. Амперметр \(A_2\) идеальный: его сопротивление нуль, значит, точки \(a\) и \(b\), к которым он подключён, имеют один потенциал и их можно слить в одну. Тогда два верхних резистора оказываются параллельными, два нижних — тоже, а две пары — последовательными. Главная идея: сопротивление такой цепи позволяет угадать, какие резисторы стоят рядом.

Обозначения. Верхние резисторы — \(R_1\) (слева) и \(R_2\) (справа), нижние — \(R_3\) (слева) и \(R_4\) (справа). Токи направим вниз от верхнего вывода к нижнему.

1. Общее сопротивление. Закон Ома для всей цепи: идеальный вольтметр показывает напряжение \(U=10\) В на всей цепи, идеальный \(A_1\) — общий ток \(I=5\) А: \[R=\frac UI=\frac{10}{5}=2\text{ ом}.\]

2. Схема без амперметра \(A_2\). Так как сопротивление идеального амперметра нуль, точки \(a\) и \(b\) соединены проводом без сопротивления. Тогда \[R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}+\frac{R_3R_4}{R_3+R_4}=2\text{ ом}.\]

3. Как разложить 1, 2, 3 и 4 ом по парам. Резисторы можно разбить на две пары тремя способами: \[\{1,2\}\,\{3,4\}:\ \tfrac23+\tfrac{12}{7}\approx2{,}38;\qquad \{1,3\}\,\{2,4\}:\ \tfrac34+\tfrac43\approx2{,}08;\qquad \{1,4\}\,\{2,3\}:\ \tfrac45+\tfrac65=2 .\] Нужные \(2\) ом дают только пары \(\{1,4\}\) и \(\{2,3\}\). Одна пара стоит сверху, другая снизу, а внутри пары резисторы можно переставить.

4. Токи в парах. Через параллельную пару идёт весь ток цепи \(5\) А, и он делится обратно пропорционально сопротивлениям (напряжение на обоих резисторах пары одно). Для пары \(\{1,4\}\): \(4\) А через \(1\) ом и \(1\) А через \(4\) ом (напряжение \(4\) В). Для пары \(\{2,3\}\): \(3\) А через \(2\) ом и \(2\) А через \(3\) ом (напряжение \(6\) В). Сумма напряжений \(4+6=10\) В — как показывает вольтметр.

5. Ток через амперметр. Запишем первое правило Кирхгофа — сумма токов в узле равна нулю — для узла \(a\), где сходятся левые резисторы и амперметр: ток через \(A_2\) равен разности токов, текущих по верхнему левому и нижнему левому резисторам. Рассмотрим два расположения; остальные получаются зеркальным отражением и дают те же значения.

Если слева сверху стоят \(1\) ом, справа сверху \(4\) ом, слева снизу \(2\) ом и справа снизу \(3\) ом, то в узел \(a\) входит \(4\) А, а вниз уходит \(3\) А: через амперметр течёт \(4-3=1\) А.

Если же снизу поменять резисторы местами (\(3\) ом слева и \(2\) ом справа), вниз из узла \(a\) уходит \(2\) А, и через амперметр течёт \(4-2=2\) А.

Обратите внимание: в условии не сказано, какой резистор где стоит, поэтому задача имеет два ответа; полный перебор разности токов в двух левых резисторах по всем расстановкам даёт только значения \(1\) А и \(2\) А, направление тока зависит от расстановки.

Ответ: \(1\) А или \(2\) А.

Проверка. Узел \(b\) в первом случае: в него входят \(1\) А сверху и \(1\) А через амперметр, а вниз по резистору \(3\) ом уходит \(2\) А — ток сохраняется; во втором случае вниз уходит \(1+2=3\) А, и это совпадает с током через резистор \(2\) ом (\(6\) В \(/\,2\) ом \(=3\) А). Мощности: \(UI=50\) Вт, а \(I^2R\) по резисторам первого случая \(16+4+18+12=50\) Вт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Выделите маленький участок кольца: на него действуют две силы натяжения по касательным, и их равнодействующая сообщает участку центростремительное ускорение. Растяжение кольца определяется длиной его окружности.

Ответ

\(R=\dfrac{l}{2\pi}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{m\omega^2}{4\pi^2k}}=\dfrac{2\pi kl}{4\pi^2k-m\omega^2}\) при \(\omega<2\pi\sqrt{k/m}\).

Решение

Что происходит. Покоящееся кольцо имеет радиус \(l/2\pi\). Когда оно вращается, каждый участок движется по окружности, и для этого нужна сила, направленная к центру. Её создаёт натяжение жгута: кольцо растягивается, пока сила упругости не обеспечит нужное ускорение. Главная идея: записать второй закон Ньютона для маленького участка кольца в проекции на радиус.

Обозначения. \(R\) — радиус вращающегося кольца (искомый), \(T\) — сила натяжения жгута, \(\Delta m\) — масса выбранного участка, \(\alpha\) — центральный угол этого участка. Кольцо вращается в горизонтальной плоскости, вес участка уравновешен опорой и в горизонтальное уравнение не входит; силой тяжести и трением пренебрегаем.

1. Натяжение жгута. Длина вращающегося кольца \(L=2\pi R\). Коэффициент жесткости жгута длины \(l\) равен \(k\), значит, закон Гука для всего жгута записывается как \(T=k\,\Delta L\), где \(\Delta L=L-l\) — его удлинение. Жгут однородный, поэтому натяжение вдоль кольца одно и то же: \[T=k\,(2\pi R-l).\]

2. Масса участка. Участку с центральным углом \(\alpha\) принадлежит доля \(\alpha/2\pi\) длины кольца, а масса жгута при растяжении не меняется, так что \[\Delta m=m\,\frac{\alpha}{2\pi}.\]

3. Второй закон Ньютона для участка. Запишем его в проекции на радиус, направленный к центру. На участок действуют две силы натяжения \(T\) по касательным к кольцу на его концах (рисунок). Каждая составляет с радиусом, проведённым в середину участка, угол \(\dfrac{\pi-\alpha}{2}\), а проекция на радиус равна \(T\sin\dfrac\alpha2\). Ускорение участка \(\omega^2R\) направлено к центру: \[2T\sin\frac\alpha2=\Delta m\,\omega^2R .\]

Участок мал, \(\alpha\ll1\), поэтому \(\sin\dfrac\alpha2\approx\dfrac\alpha2\), и уравнение приобретает вид \[T\alpha=m\,\frac{\alpha}{2\pi}\,\omega^2R\ \Rightarrow\ T=\frac{m\omega^2R}{2\pi}.\] Угол \(\alpha\) сократился: результат не зависит от размера выбранного участка.

4. Соберём ответ. Приравняем два выражения для \(T\): \[k\,(2\pi R-l)=\frac{m\omega^2R}{2\pi}\ \Rightarrow\ R\left(2\pi k-\frac{m\omega^2}{2\pi}\right)=kl .\] Отсюда \[R=\frac{kl}{2\pi k-\dfrac{m\omega^2}{2\pi}}=\frac{l}{2\pi}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{m\omega^2}{4\pi^2k}}=\frac{2\pi kl}{4\pi^2k-m\omega^2}.\] Обратите внимание: формула имеет смысл только при \(4\pi^2k>m\omega^2\), то есть при \(\omega<\omega_0=2\pi\sqrt{k/m}\). При \(\omega\ge\omega_0\) уравнение решения не имеет: натяжения жгута не хватает, чтобы удержать кольцо на любом радиусе, и оно разрывается.

Проверка. Размерность: \(m\omega^2/k\) — это \(\dfrac{\text{кг}/\text{с}^2}{\text{Н}/\text{м}}=\dfrac{\text{кг}/\text{с}^2}{\text{кг}/\text{с}^2}\), безразмерная величина, как и должно быть в скобке. Предел: при \(\omega\to0\) получаем \(R=l/2\pi\), радиус нерастянутого кольца; при малом \(\omega\) радиус растёт, как и ожидается; при \(\omega=\omega_0/2\) он равен \(\dfrac43\cdot\dfrac{l}{2\pi}\) (точка на графике). Второй способ — минимум энергии во вращающейся системе: энергия деформации \(\dfrac{k(2\pi R-l)^2}{2}\) плюс потенциальная энергия центробежной силы \(-\dfrac{m\omega^2R^2}{2}\) имеет экстремум при \(2\pi k(2\pi R-l)-m\omega^2R=0\), это то же уравнение. Физический смысл: чем быстрее вращение, тем сильнее кольцо растягивается, а при критической угловой скорости \(\omega_0\) радиус неограниченно растёт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.