Всесоюзная, 1976/77, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Вольтметр — это резистор с большим, но конечным сопротивлением, через него идёт ток. Двигайтесь от правого края цепи к батарее: на каждом шаге известно напряжение на очередном вольтметре, и по закону Ома находится ток.

Ответ

\(U_2=\dfrac{\sqrt{5U_3^2+4U_1U_3}-U_3}{2}=4(\sqrt{10}-1)\approx8{,}65\text{ В}\).

Решение

Что происходит. Вольтметры не идеальны: у каждого есть конечное сопротивление \(r\), и через него течёт ток. Поэтому цепь — лесенка, в которой напряжение на вольтметрах растёт от третьего к первому. Правее третьего вольтметра ветвей нет, поэтому разматываем цепь с правого края: известное \(U_3\) даёт ток, ток даёт напряжение на соседнем резисторе, и так до первого вольтметра. Ключевой закон — закон Ома для участка и сохранение заряда в узле (токи, втекающие в узел, равны вытекающим).

Обозначения. \(R\) — сопротивление резистора, \(r\) — вольтметра, \(x=R/r\). \(I_3\) — ток через третий резистор и третий вольтметр (они соединены последовательно, других ветвей правее нет), \(I_2\) — ток через второй резистор. Токи идут слева направо по верхнему проводу и возвращаются по нижнему.

1. Правый край. Закон Ома для третьего вольтметра: \(I_3=U_3/r\). Второй вольтметр подключён параллельно цепочке «третий резистор + третий вольтметр», поэтому его напряжение равно сумме напряжений на ней: \[U_2=U_3+I_3R=U_3(1+x).\]

2. Второй узел. Ток во втором резисторе делится на ток через второй вольтметр \(U_2/r\) и ток \(I_3\). Сохранение заряда в узле: \[I_2=\frac{U_2}{r}+I_3=\frac{U_3(1+x)}{r}+\frac{U_3}{r}=\frac{U_3(2+x)}{r}.\]

3. Первый вольтметр. Он подключён параллельно всему, что правее первого узла: резистору 2 и цепи за ним. Его напряжение — сумма напряжений на втором резисторе и на втором вольтметре: \[U_1=U_2+I_2R=U_3(1+x)+U_3(2+x)\,x=U_3\,(1+3x+x^2).\]

4. Неизвестное \(x\). По условию \(U_1/U_3=10/8=1{,}25\): \[x^2+3x-0{,}25=0\ \Rightarrow\ x=\frac{-3+\sqrt{10}}{2}\approx0{,}081.\] Отрицательный корень отбрасываем: \(R>0\). Резистор в 12 раз «слабее» вольтметра, этого хватает, чтобы показания заметно отличались.

5. Второй вольтметр. \[U_2=U_3(1+x)=8\cdot\frac{\sqrt{10}-1}{2}=4(\sqrt{10}-1)\approx8{,}65\text{ В}.\]

Обратите внимание: «среднее арифметическое» \(9\) В неверно. \(U_2\) лежит между \(U_3\) и \(U_1\), но не посередине: \(U_1\) зависит от \(x\) квадратично, а \(U_2\) линейно.

Ответ. В буквах: \(U_2=\dfrac{\sqrt{5U_3^2+4U_1U_3}-U_3}{2}\); в числах: \(U_2=\dfrac{\sqrt{5\cdot64+4\cdot80}-8}{2}\approx8{,}65\text{ В}\).

Проверка. При \(x\to0\) (идеальные вольтметры, \(R\ll r\)) все три показания сравниваются, \(U_1=U_2=U_3\), — как и должно быть. Подставляем найденное \(x=0{,}0811\): \(U_1=8(1+0{,}2434+0{,}0066)=10{,}0\) В, \(U_2=8\cdot1{,}0811=8{,}65\) В, порядок \(U_3<U_2<U_1\) выполнен. Физический смысл: чем левее вольтметр, тем больший ток нужно пропустить по резисторам справа от него, поэтому показания растут влево.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

На каждом участке применим первый закон термодинамики: \(Q=\Delta U+A\), где для одноатомного газа \(\Delta U=\tfrac32\Delta(pV)\), а работа — площадь под графиком. На наклонной прямой знак теплоты нужно проверить, а не угадывать: найдите \(dQ\) для малого изменения объёма.

Ответ

1) Цикл АБВА: тепло получается на АБ (\(1{,}5\,p_0V_0\)) и БВ (\(10\,p_0V_0\)), отдаётся на ВА (\(10{,}5\,p_0V_0\)). Цикл АВГА: получается на АВ (\(10{,}5\,p_0V_0\)), отдаётся на ВГ (\(4{,}5\,p_0V_0\)) и ГА (\(5\,p_0V_0\)).  2) \(\eta_{\text{АБВА}}=2/23\approx8{,}7\%\), \(\eta_{\text{АВГА}}=2/21\approx9{,}5\%\): у цикла АВГА выше в \(23/21\approx1{,}1\) раза.

Решение

Что происходит. Оба цикла идут по часовой стрелке и состоят из трёх участков: изохоры, изобары и общей диагонали АВ. На каждом участке считаем теплоту по первому закону термодинамики. Для одноатомного идеального газа \(U=\tfrac32\nu RT=\tfrac32pV\), поэтому \(\Delta U=\tfrac32\Delta(pV)\); работа газа численно равна площади под участком графика (положительна при расширении). Теплоту будем измерять в единицах \(p_0V_0\).

Пункт 1.

1. Участок АБ (изохора, \(V=V_0\), давление растёт от \(p_0\) до \(2p_0\)). Газ работы не совершает: \(A=0\). \(\Delta U=\tfrac32(2p_0V_0-p_0V_0)=1{,}5\,p_0V_0\). Закон: \(Q_{\text{АБ}}=\Delta U+A=+1{,}5\,p_0V_0\), газ получает тепло.

2. Участок БВ (изобара \(p=2p_0\), объём от \(V_0\) до \(3V_0\)). Работа газа \(A=2p_0\cdot2V_0=4\,p_0V_0\). \(\Delta U=\tfrac32(2p_0\cdot3V_0-2p_0V_0)=6\,p_0V_0\). \(Q_{\text{БВ}}=6+4=+10\,p_0V_0\), газ получает тепло.

3. Участок ВГ (изохора, \(V=3V_0\), давление падает с \(2p_0\) до \(p_0\)). \(A=0\), \(Q_{\text{ВГ}}=\Delta U=\tfrac32\cdot3V_0\,(p_0-2p_0)=-4{,}5\,p_0V_0\), газ отдаёт тепло.

4. Участок ГА (изобара \(p=p_0\), объём от \(3V_0\) до \(V_0\), сжатие). \(A=p_0(V_0-3V_0)=-2\,p_0V_0\), \(\Delta U=\tfrac32(p_0V_0-3p_0V_0)=-3\,p_0V_0\), \(Q_{\text{ГА}}=-5\,p_0V_0\), газ отдаёт тепло.

5. Диагональ АВ. Здесь давление зависит от объёма линейно: \(p=p_0\,\dfrac{V+V_0}{2V_0}\). Проверим знак теплоты для малого шага \(dV\): \(dQ=dU+p\,dV\), где \(pV=\dfrac{p_0}{2V_0}(V^2+V_0V)\), откуда \(d(pV)=\dfrac{p_0}{2V_0}(2V+V_0)\,dV\). Тогда \[dQ=\tfrac32\,d(pV)+p\,dV=\frac{p_0}{2V_0}\left(4V+2{,}5\,V_0\right)dV .\] Скобка положительна при любом \(V>0\), поэтому знак \(dQ\) совпадает со знаком \(dV\): на всей диагонали при расширении газ получает тепло, при сжатии отдаёт, точки смены знака нет. Полные теплоты участка: \[Q_{\text{АВ}}=\tfrac32(6-1)\,p_0V_0+\tfrac12(p_0+2p_0)\cdot2V_0=7{,}5\,p_0V_0+3\,p_0V_0=+10{,}5\,p_0V_0,\qquad Q_{\text{ВА}}=-10{,}5\,p_0V_0 .\] (в цикле АБВА диагональ проходится от В к А, в цикле АВГА — от А к В).

Обратите внимание: на наклонной прямой в \(pV\)-диаграмме теплота в общем случае может менять знак внутри участка (у газа с другой теплоёмкостью или у другой прямой). Здесь не меняет, но это показано выше, а не принято на веру.

Пункт 2. КПД цикла \(\eta=W/Q_+\), где \(W\) — работа за цикл, \(Q_+\) — всё полученное тепло. Работа за цикл равна площади цикла: оба треугольника имеют основание \(2V_0\) и высоту \(p_0\), поэтому \(W=\tfrac12\cdot2V_0\cdot p_0=p_0V_0\) у обоих. Полученное тепло: \[Q_+^{\text{АБВА}}=1{,}5+10=11{,}5\,p_0V_0,\qquad Q_+^{\text{АВГА}}=10{,}5\,p_0V_0 .\] \[\eta_{\text{АБВА}}=\frac{1}{11{,}5}=\frac{2}{23}\approx8{,}7\%,\qquad \eta_{\text{АВГА}}=\frac1{10{,}5}=\frac2{21}\approx9{,}5\%,\qquad \frac{\eta_{\text{АВГА}}}{\eta_{\text{АБВА}}}=\frac{23}{21}\approx1{,}1 .\]

Ответ. 1) Цикл АБВА: получает на АБ и БВ, отдаёт на ВА; цикл АВГА: получает на АВ, отдаёт на ВГ и ГА. 2) КПД выше у цикла АВГА, в \(23/21\approx1{,}1\) раза.

Проверка. За цикл \(\Delta U=0\), значит сумма теплот равна работе: АБВА: \(1{,}5+10-10{,}5=1\,p_0V_0=W\); АВГА: \(10{,}5-4{,}5-5=1\,p_0V_0=W\). Тот же баланс по внутренней энергии: \(1{,}5+6-7{,}5=0\) и \(7{,}5-4{,}5-3=0\). Смысл: работа обоих циклов одна, но второй цикл забирает у нагревателя меньше тепла, потому что часть нагрева (участки АБ и БВ первого цикла) он заменяет нагревом по диагонали с той же итоговой работой.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Напряжение ограничено пробоем у поверхности шара: для заряженной сферы связь между потенциалом и полем у поверхности простая. Ток ограничен пробоем у ленты: сколько заряда лента несёт за секунду, если на каждом квадратном метре у неё не больше \(\sigma_{\max}\)?

Ответ

\(U_{\max}=E_0R=4{,}5\cdot10^6\text{ В}=4{,}5\text{ МВ}\); \(I_{\max}\approx\varepsilon_0E_0lv\approx5\cdot10^{-4}\text{ А}=0{,}5\text{ мА}\) (оценка с точностью до множителя 2).

Решение

Что происходит. Источник наносит заряд на ленту, лента увозит его внутрь полой сферы, гребёнка снимает заряд, и он перетекает на внешнюю поверхность электрода. Напряжение растёт, пока у поверхности шара поле не достигнет пробивного \(E_0\). Ток — это заряд, который лента переносит за секунду; он ограничен тем, что у самой ленты поле не должно превышать \(E_0\). Ключевые законы: для заряженной проводящей сферы \(\varphi=kQ/R\) и \(E=kQ/R^2\); для заряженной поверхности (теорема Гаусса) \(E=\sigma/\varepsilon_0\).

Обозначения. \(Q\) — заряд электрода, \(\varphi\) — его потенциал относительно земли (далёких предметов), \(\sigma\) — поверхностная плотность заряда на ленте, \(E_0=30\text{ кВ/см}=3\cdot10^6\text{ В/м}\) (сантиметры в метры переведены).

1. Максимальное напряжение. Заряд проводящего электрода лежит на его внешней поверхности. Поле у поверхности сферы \(E=kQ/R^2\), потенциал сферы \(\varphi=kQ/R\). Делим одно на другое: \[\varphi=E\,R .\] Пробой начинается при \(E=E_0\), поэтому максимальное напряжение \[U_{\max}=E_0R=3\cdot10^6\text{ В/м}\cdot1{,}5\text{ м}=4{,}5\cdot10^6\text{ В}.\]

2. Заряд, который несёт лента. Пусть заряд лежит на одной стороне ленты с плотностью \(\sigma\). За время \(t\) мимо любого сечения проходит участок ленты длиной \(vt\) и площадью \(lvt\) (рисунок), на нём заряд \(q=\sigma lvt\). Ток \[I=\frac qt=\sigma\,l\,v .\]

3. Предел плотности заряда. Поле у поверхности заряженной плоскости по теореме Гаусса (коробочка, одно основание в воздухе у поверхности) \(E=\sigma/\varepsilon_0\). Пробой у ленты начинается при \(E=E_0\), откуда \(\sigma_{\max}=\varepsilon_0E_0\) и \[I_{\max}=\varepsilon_0E_0\,l\,v=8{,}85\cdot10^{-12}\cdot3\cdot10^6\cdot1\cdot20\approx5\cdot10^{-4}\text{ А}=0{,}5\text{ мА}.\]

Обратите внимание: это оценка с точностью до множителя порядка единицы. У тонкой ленты с зарядом на одной стороне поле создаётся и с другой стороны, и у поверхности \(E=\sigma/2\varepsilon_0\), тогда допустимая плотность заряда, а с ней и ток вдвое больше (до 1 мА). Порядок \(10^{-3}\) А от этого не меняется.

Ответ. В буквах: \(U_{\max}=E_0R\), \(I_{\max}=\varepsilon_0E_0lv\); в числах: \(U_{\max}\approx4{,}5\text{ МВ}\), \(I_{\max}\approx0{,}5\text{ мА}\) (порядка \(10^{-3}\) А). Мощность на нагрузке не больше \(U_{\max}I_{\max}\approx2{,}4\text{ кВт}\).

Проверка. Размерность: \(\varepsilon_0E_0lv\) — \(\dfrac{\text{Ф}}{\text{м}}\cdot\dfrac{\text{В}}{\text{м}}\cdot\text{м}\cdot\dfrac{\text{м}}{\text{с}}=\dfrac{\text{Ф}\cdot\text{В}}{\text{с}}=\dfrac{\text{Кл}}{\text{с}}=\text{А}\). Второй способ для напряжения: заряд электрода при пробое \(Q=4\pi\varepsilon_0E_0R^2\approx7{,}5\cdot10^{-4}\text{ Кл}\), ёмкость шара \(C=4\pi\varepsilon_0R\approx1{,}7\cdot10^{-10}\text{ Ф}\), и \(Q/C=4{,}5\cdot10^6\) В — то же. Смысл: без нагрузки и утечек шар набирает этот заряд за \(Q/I\approx1{,}4\) с; больший ток лента унести не может, а большее напряжение воздух не выдержит.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Поры малы, и молекула пролетает сквозь них, не сталкиваясь с другими. Сколько молекул каждого сорта попадает в пору за секунду? Это зависит от их концентрации и средней скорости, а скорость при одной температуре зависит от массы.

Ответ

\(\dfrac{n_{235}'}{n_{238}'}=\dfrac{7}{1000}\sqrt{\dfrac{352}{349}}\approx\dfrac{7{,}03}{1000}\).

Решение

Что происходит. Поры меньше длины свободного пробега, поэтому молекула, попавшая в пору, вылетает в вакуум сосуда \(C\), не сталкиваясь с другими (эффузия). Число молекул сорта \(i\), прошедших в сосуд, пропорционально числу их ударов о стенку, то есть произведению концентрации на среднюю скорость. Лёгкие молекулы быстрее, поэтому в прошедшем газе их доля больше, чем в трубе. Главная идея: при одной температуре средние кинетические энергии молекул равны, значит \(\bar v\propto1/\sqrt m\).

Обозначения. \(n_5\), \(n_8\) — концентрации \(^{235}\)UF\(_6\) и \(^{238}\)UF\(_6\) в трубе; \(N_5\), \(N_8\) — число молекул каждого сорта, проходящих через пору в секунду; \(m_5\), \(m_8\) — массы молекул.

1. Массы молекул (в атомных единицах): \(m_5=235+6\cdot19=349\), \(m_8=238+6\cdot19=352\).

2. Потоки через пору. Число молекул сорта \(i\), ударяющихся о площадку \(S\) за время \(t\), пропорционально \(n_i\bar v_iSt\) с одним и тем же множителем для обоих сортов (направления движения в газе равновероятны). Все молекулы, попавшие в пору, проходят сквозь неё, поэтому \[N_i\propto n_i\bar v_i .\]

3. Средние скорости. Температура газа в трубе одна, значит, равны средние кинетические энергии: \(\tfrac12m_5\bar v_5^{\,2}\sim\tfrac12m_8\bar v_8^{\,2}\), откуда \[\frac{\bar v_5}{\bar v_8}=\sqrt{\frac{m_8}{m_5}}=\sqrt{\frac{352}{349}}\approx1{,}0043 .\]

4. Состав прошедшего газа. Отношение концентраций в откачиваемом газе равно отношению потоков: \[\frac{n_5'}{n_8'}=\frac{N_5}{N_8}=\frac{n_5}{n_8}\cdot\frac{\bar v_5}{\bar v_8}=\frac{7}{1000}\sqrt{\frac{352}{349}}\approx\frac{7{,}03}{1000}.\]

Обратите внимание: формула верна, пока через стенку уходит малая доля газа (состав в трубе почти не меняется вдоль неё) и поры меньше длины пробега. Если поры широкие, газ течёт как сплошная среда, и разделения изотопов нет.

Ответ. В буквах: \(\dfrac{n_5'}{n_8'}=\dfrac{n_5}{n_8}\sqrt{\dfrac{m_8}{m_5}}\); в числах: \(\dfrac{7}{1000}\sqrt{\dfrac{352}{349}}\approx7{,}03\cdot10^{-3}\), то есть \(7{,}03:1000\).

Проверка. При \(m_5=m_8\) множитель равен единице и разделения нет — верно. Смысл: за одну ступень доля \(^{235}\)U растёт всего на \(0{,}43\%\) (отношение \(7:1000\to7{,}03:1000\)), поэтому на практике ставят каскад из сотен и тысяч таких ступеней: чтобы повысить отношение в 5 раз, нужно \(\ln5/\ln1{,}0043\approx375\) ступеней.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Между вспышками шарик проходит одно и то же время, поэтому расстояние между соседними точками пропорционально скорости. Определите скорости всех шариков до и после удара и примените закон сохранения импульса в векторной форме.

Ответ

1) \(m_2/m_1\approx2{,}8\), где \(m_1\) — масса шарика, показанного стрелкой (примерно \(1:3\)).  2) Второй шарик двигался сверху вниз по рисунку, отклоняясь на \(\approx12^\circ\) вправо от вертикали (под \(\approx68^\circ\) к направлению движения первого шарика), со скоростью \(\approx0{,}75\) скорости первого.

Решение

Что происходит. Вспышки идут через равные промежутки времени \(\tau\), поэтому вектор от одной точки шарика до следующей — это его скорость, умноженная на \(\tau\). Каждая траектория — прямая с изломом в точке удара; из четырёх лучей надо сложить два шарика, а затем по закону сохранения импульса найти отношение масс. Длительность удара мала, внешние силы за это время несущественны, поэтому импульс пары шариков сохраняется.

Обозначения. Шарик 1 — тот, что показан стрелкой (приходит с верхнего правого угла), его масса \(m_1\); шарик 2 — другой, масса \(m_2\), \(\mu=m_2/m_1\). Скорости до удара \(\vec v_1\), \(\vec v_2\), после \(\vec v_1'\), \(\vec v_2'\). Ось \(x\) вправо, ось \(y\) вниз (как на снимке); скорости измеряем в \(u/\tau\), где \(u\) — условная единица длины на снимке (масштабный отрезок \(10u\) на рисунке; на бумаге \(u\approx1{,}2\) мм).

1. Скорости по точкам. Берём шаги между соседними точками на каждом прямом участке и усредняем (разброс около \(0{,}1u\)): \[\vec v_1=(-4{,}70;\ 3{,}15),\quad \vec v_1'=(2{,}23;\ 1{,}77),\quad \vec v_2=(0{,}88;\ 4{,}15),\quad \vec v_2'=(-1{,}60;\ 4{,}72)\ \ (u/\tau).\] Модули: \(5{,}66\); \(2{,}85\); \(4{,}24\); \(4{,}98\) (в тех же единицах). Участок шарика 1 после удара (нижний правый) — самый «густой»: он сильно замедлился.

2. Какой луч чей. Запишем закон сохранения импульса системы двух шариков за время удара: \(m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec v_1'+m_2\vec v_2'\), то есть \(m_1(\vec v_1'-\vec v_1)=-m_2(\vec v_2'-\vec v_2)\): изменения скоростей \(\Delta\vec v_1\) и \(\Delta\vec v_2\) направлены противоположно. Из всех способов соединить лучи в два шарика (с шариком 1, пришедшим сверху справа) это выполняется только для пары «шарик 1: верхний правый \(\to\) нижний правый, шарик 2: верхний левый \(\leftrightarrow\) нижний левый»; в остальных способах \(\Delta\vec v_1\) и \(\Delta\vec v_2\) образуют угол около \(87^\circ\) и \(147^\circ\), а не \(180^\circ\). Для принятой пары \[\Delta\vec v_1=\vec v_1'-\vec v_1=(6{,}93;\ -1{,}38),\qquad \Delta\vec v_2=\vec v_2'-\vec v_2=(-2{,}48;\ 0{,}57).\] Направления \(\Delta\vec v_1\) и \(\Delta\vec v_2\) отличаются от противоположных на \(1{,}7^\circ\) — в пределах точности измерения. Они же задают линию центров шариков при ударе: сила удара направлена вдоль неё.

3. Отношение масс. Из равенства \(m_1|\Delta\vec v_1|=m_2|\Delta\vec v_2|\): \[\frac{m_2}{m_1}=\frac{|\Delta\vec v_1|}{|\Delta\vec v_2|}=\frac{7{,}07}{2{,}54}\approx2{,}8 .\] Шарик 2 тяжелее шарика 1 примерно втрое: он слабо изменил скорость, а лёгкий шарик 1 отскочил с изменением на \(7u/\tau\).

4. Направление шарика 2 до удара. Скорость \(\vec v_2=(0{,}88;\ 4{,}15)u/\tau\): шарик двигался сверху вниз по рисунку и чуть вправо; угол с вертикалью \(\operatorname{arctg}(0{,}88/4{,}15)\approx12^\circ\). Угол между \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) равен \(68^\circ\), скорость \(v_2/v_1=4{,}24/5{,}66\approx0{,}75\).

Обратите внимание: одно только сохранение импульса не отличает движение шарика 2 «сверху вниз» от обратного «снизу вверх» (разворот времени у одного шарика меняет начальную и конечную скорости местами, а \(\Delta\vec v_2\) остаётся прежним). Выбираем по потере энергии. Сверху вниз: энергия падает на \(6\%\), коэффициент восстановления (отношение скорости разлёта к скорости сближения вдоль линии центров) \(e\approx0{,}8\) — почти упругий удар шариков. Снизу вверх: потеря \(42\%\), \(e\approx0{,}25\), для обычных твёрдых шариков маловероятно.

Ответ. В буквах: \(\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{|\vec v_1'-\vec v_1|}{|\vec v_2'-\vec v_2|}\); в числах \(\dfrac{m_2}{m_1}\approx2{,}8\) (около \(3\)). Второй шарик шёл от верхнего левого угла вниз с отклонением \(\approx12^\circ\) вправо от вертикали.

Проверка. 1) Импульс при \(\mu=2{,}8\): \(\vec v_1+\mu\vec v_2=(-2{,}24;\ 14{,}77)\) до удара и \(\vec v_1'+\mu\vec v_2'=(-2{,}25;\ 14{,}99)\) после, совпадение в пределах \(1{,}5\%\) (рисунок ниже). 2) Составляющие скоростей вдоль линии, перпендикулярной ударной силе, у гладких шариков не меняются: у шарика 1 \(2{,}17\to2{,}17\), у шарика 2 \(4{,}24\to4{,}32\) — так и есть. Смысл: отношение масс определено по снимку с точностью около \(10\%\) (по проекциям на \(x\) и на \(y\) отдельно получается \(2{,}8\) и \(2{,}4\)).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.