Всесоюзная, 1976/77, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Ток через идеальную катушку скачком измениться не может, а напряжение на ней и на вольтметре — может. Найдите токи до размыкания и составьте уравнение цепи после него.

Ответ

До размыкания \(V=100\text{ В}\); в момент размыкания показание скачком становится \(200\text{ В}\), затем \(V(t)=150\text{ В}+50\text{ В}\cdot e^{-t/\tau}\), \(\tau=L/(2R)\), и стремится к \(150\text{ В}\).

Решение

Что происходит. Пока ключ замкнут, ток постоянный, и идеальная катушка (сопротивления нет) просто провод: напряжения на ней нет. После размыкания катушка не даёт току измениться мгновенно: её ток в первый момент остаётся прежним, а напряжение на ней появляется скачком и затем спадает. Главная идея: ток катушки непрерывен, а всё остальное находим из законов Ома и Кирхгофа для цепи в произвольный момент.

Обозначения. \(R_1\) — резистор в начале цепи, \(R_2\) — резистор левой ветви (с ключом), \(R_3\) — резистор правой ветви (после катушки); все равны \(R\). \(V\) — напряжение между узлом (за \(R_1\)) и нижним проводом, его и показывает вольтметр; \(I\) — ток через \(R_1\); \(I_L\) — ток катушки. Идеальный вольтметр тока не потребляет.

1. До размыкания. Ток постоянный, напряжение на катушке равно нулю, поэтому правая ветвь — это просто резистор \(R_3\). Левая и правая ветви соединены параллельно между узлом и нижним проводом, их общее сопротивление \(R/2\). Закон Ома для всей цепи: \[I=\frac{U}{R+R/2}=\frac{300}{150}\text{ А}=2\text{ А},\qquad V=I\cdot\frac R2=100\text{ В}.\] Ток делится поровну: в каждой ветви \(1\text{ А}\), значит \(I_L(0)=1\text{ А}\).

2. В момент размыкания. Если бы ток катушки изменился скачком, напряжение на ней \(L\,dI_L/dt\) стало бы бесконечным, чего в цепи с конечным \(U\) быть не может. Поэтому сразу после размыкания \(I_L=1\text{ А}\). Ключ разомкнут, весь ток источника теперь идёт только через катушку, поэтому \(I=I_L=1\text{ А}\). Закон Ома для участка с \(R_1\) даёт напряжение на узле: \[V(0)=U-I\cdot R=300-1\cdot100=200\text{ В}.\] Значит, показание вольтметра скачком вырастает со \(100\text{ В}\) до \(200\text{ В}\). Напряжение на катушке в этот момент \(L\,\dfrac{dI}{dt}=V-IR=100\text{ В}\).

3. После размыкания: произвольный момент \(t\). Остался один контур: источник, \(R_1\), катушка, \(R_3\). Ток \(I(t)\) один во всей цепи (вольтметр тока не берёт). Закон Ома для \(R_1\) даёт \(V=U-IR\). Для правой ветви (катушка плюс \(R_3\)) то же напряжение равно \(V=L\,\dfrac{dI}{dt}+IR\). Приравниваем: \[L\frac{dI}{dt}=U-2RI.\] Это уравнение с \(I\to U/(2R)=1{,}5\text{ А}\) при \(t\to\infty\) и начальным значением \(I(0)=1\text{ А}\). Его решение с постоянной времени \(\tau=\dfrac{L}{2R}\): \[I(t)=\frac{U}{2R}-\Bigl(\frac{U}{2R}-I(0)\Bigr)e^{-t/\tau}=1{,}5-0{,}5\,e^{-t/\tau}\ \text{(А)}.\]

4. Показание вольтметра. Подставляем в \(V=U-IR\): \[V(t)=U-R\Bigl(1{,}5-0{,}5\,e^{-t/\tau}\Bigr)=150+50\,e^{-t/\tau}\ \text{(В)}.\]

Ответ. До размыкания \(V=100\text{ В}\); при \(t=0\) показание скачком равно \(200\text{ В}\); дальше оно спадает по экспоненте с постоянной времени \(\tau=L/(2R)\) к значению \(150\text{ В}\) (график на рисунке). Индуктивность не задана, поэтому время отложено в долях \(\tau\): за \(\tau\) разность с \(150\text{ В}\) уменьшается в \(e\approx2{,}7\) раза, до \(168\text{ В}\).

Обратите внимание. Вольтметр показывает напряжение между узлом и нижним проводом, а не напряжение на катушке. Скачком меняется напряжение (на катушке с \(0\) до \(100\text{ В}\), на вольтметре со \(100\) до \(200\text{ В}\)), ток катушки скачка не имеет.

Проверка. Предел \(t\to\infty\): напряжения на катушке нет, ток \(U/(2R)=1{,}5\text{ А}\) идёт через \(R_1\) и \(R_3\), на \(R_3\) напряжение \(150\text{ В}\) — как в формуле. Второй способ, момент \(t=0\): производная тока \(dI/dt=0{,}5/\tau\), напряжение на катушке \(L\,dI/dt=0{,}5\cdot2R=100\text{ В}\), и \(V=100+IR=200\text{ В}\), как в пункте 2. Смысл: катушка сопротивляется изменению тока, и в первый момент всё «лишнее» напряжение приходится на неё.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Изображение предмета, очень далёкого от объектива, получается в фокальной плоскости, и его размер равен произведению фокусного расстояния на угловой размер предмета. Угловой размер Луны с Земли даёт её радиус, а со спутника — радиус орбиты.

Ответ

\(T\approx5{,}4\cdot10^{4}\text{ с}\approx15\text{ ч}\).

Решение

Что происходит. Объектив строит изображение Луны в фокальной плоскости; размер изображения пропорционален угловому размеру Луны. С Земли угол мал, и по нему находится диаметр Луны. Со спутника Луна видна под большим углом, по которому находится расстояние до её центра, то есть радиус орбиты. Период обращения по круговой орбите получаем из второго закона Ньютона с силой тяготения Луны, а её притяжение выражаем через \(g_{\text{Л}}\).

Обозначения. \(f=500\text{ мм}\) — фокусное расстояние, \(d_1=4{,}5\text{ мм}\) и \(d_2=250\text{ мм}\) — диаметры изображений, \(L=3{,}8\cdot10^{8}\text{ м}\) — расстояние Земля — Луна, \(D\) и \(R\) — диаметр и радиус Луны, \(r\) — радиус орбиты (от центра Луны), \(g_{\text{Л}}=g/6\).

1. Диаметр Луны. Расстояния до Луны много больше \(f\), поэтому изображение лежит в фокальной плоскости. Луч от края диска идёт через центр объектива не преломляясь. Из подобия треугольников (рисунок) для малого угла \(D/L\): \[\frac{d_1}{f}=\frac DL\ \Rightarrow\ D=\frac{d_1L}{f}=\frac{4{,}5\cdot10^{-3}\cdot3{,}8\cdot10^{8}}{0{,}5}\text{ м}=3{,}42\cdot10^{6}\text{ м},\quad R=\frac D2=1{,}71\cdot10^{6}\text{ м}.\]

2. Радиус орбиты. Со спутника край диска виден по касательной к Луне. Пусть \(\alpha\) — угол между направлением на центр Луны \(O\) и касательной, проведённой из спутника \(S\). Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому из прямоугольного треугольника \[\sin\alpha=\frac Rr.\] Луч от края диска идёт через центр объектива под углом \(\alpha\) к оптической оси, и на плёнке он даёт точку на расстоянии \(d_2/2\) от центра кадра: \[\tan\alpha=\frac{d_2/2}{f}=\frac{125}{500}=0{,}25.\]

Отсюда \(\sin\alpha=\dfrac{0{,}25}{\sqrt{1+0{,}25^2}}=0{,}2425\), и \[r=\frac{R}{\sin\alpha}=\frac{1{,}71\cdot10^{6}}{0{,}2425}\text{ м}\approx7{,}05\cdot10^{6}\text{ м}\approx4{,}12\,R.\]

3. Период. Спутник движется по окружности под действием только силы тяготения Луны. Второй закон Ньютона в проекции на радиус, к центру Луны: \[m\frac{4\pi^2}{T^2}\,r=\frac{GMm}{r^2}.\] Произведение \(GM\) найдём из силы тяжести тела на поверхности Луны: \(mg_{\text{Л}}=\dfrac{GMm}{R^2}\), откуда \(GM=g_{\text{Л}}R^2\). Тогда \[T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{g_{\text{Л}}R^2}}=2\pi\sqrt{\frac{(7{,}05\cdot10^{6})^3}{1{,}63\cdot(1{,}71\cdot10^{6})^2}}\ \text{с}\approx5{,}4\cdot10^{4}\text{ с}\approx15\text{ ч},\] где \(g_{\text{Л}}=9{,}8/6\approx1{,}63\text{ м/с}^2\).

Ответ. \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{g_{\text{Л}}R^2}}\), где \(R=\dfrac{d_1L}{2f}\), \(r=\dfrac{R}{\sin\alpha}\), \(\tan\alpha=\dfrac{d_2}{2f}\); численно \(T\approx5{,}4\cdot10^{4}\text{ с}\approx15\text{ ч}\).

Обратите внимание. Угол \(\alpha\approx14^{\circ}\) уже не мал, поэтому радиус орбиты находим точно, через \(\sin\alpha\) и \(\tan\alpha\). Если считать угловой размер Луны \(2\alpha\approx d_2/f=0{,}5\) и взять \(r\approx2R/0{,}5=4R\), получится \(T\approx14\text{ ч}\): оценка отличается примерно на 5%.

Проверка. Размерность: \(\sqrt{\text{м}^3/(\text{м/с}^2\cdot\text{м}^2)}=\sqrt{\text{с}^2}\). Предел: при \(r\to R\) получается \(T=2\pi\sqrt{R/g_{\text{Л}}}\approx1{,}8\text{ ч}\) (орбита у самой поверхности), а наш радиус орбиты больше радиуса Луны в \(4{,}12\) раза, и \(T\) растёт в \(4{,}12^{3/2}\approx8{,}4\) раза: \(1{,}8\cdot8{,}4\approx15\text{ ч}\). Скорость спутника \(v=\sqrt{g_{\text{Л}}R^2/r}\approx0{,}82\text{ км/с}\), и \(2\pi r/v\approx5{,}4\cdot10^{4}\text{ с}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Отверстия малы, поэтому молекулы вылетают через них поодиночке, без течения газа. Число молекул, пролетающих через отверстие в единицу времени, и их суммарная энергия зависят от давления и температуры по-разному. В установившемся режиме в полости не копятся ни молекулы, ни энергия.

Ответ

\(T_c=\sqrt2\,T\approx1{,}41\,T\); \(p_c=\dfrac{\sqrt2+1}{2^{5/4}}\,p\approx1{,}015\,p\).

Решение

Что происходит. Отверстия настолько малы (размер много меньше длины свободного пробега), что газ не течёт, а молекулы по одной вылетают сквозь отверстие, как из тонкостенного сосуда. Через отверстие площади \(S\) за единицу времени пролетает \(\tfrac14\,n\bar v\,S\) молекул, где \(n\) — концентрация, \(\bar v\) — средняя скорость. Полость теплоизолирована, значит, в установившемся режиме в неё за секунду приходит столько же молекул, сколько уходит, и приносят они столько же энергии, сколько уносят. Это два уравнения для двух неизвестных, \(p_c\) и \(T_c\).

Обозначения. Индекс \(c\) — полость; \(1\) — объём с температурой \(T\), \(2\) — объём с \(2T\); \(S\) — площадь одного отверстия; \(m\) — масса атома гелия; \(k\) — постоянная Больцмана.

1. Поток молекул через отверстие. Среднюю скорость выражаем через температуру: \(\bar v=\sqrt{8kT/(\pi m)}\), а концентрацию — через давление: \(n=p/(kT)\). Тогда \[\Phi=\frac14\,n\bar v\,S=\frac{pS}{\sqrt{2\pi mkT}}\ \propto\ \frac{p}{\sqrt T}.\] Это справедливо для газа в равновесии, у которого скорости молекул распределены по Максвеллу; таковы газы в обоих объёмах и в полости.

2. Энергия, уносимая вылетевшей молекулой. Через отверстие быстрые молекулы пролетают чаще медленных (поток пропорционален скорости), поэтому средняя кинетическая энергия молекул, прошедших отверстие, больше средней энергии \(\tfrac32kT\) молекул газа. Усреднение по максвелловскому распределению с весом, пропорциональным скорости, даёт \(2kT\) на молекулу для гелия (он одноатомный, вращательной и внутренней энергии нет). Энергия, переносимая за секунду через отверстие, равна \[W=\Phi\cdot 2kT\ \propto\ p\sqrt T.\]

3. Баланс числа молекул в полости. Приходят через два отверстия потоки из объёмов \(1\) и \(2\), уходят через те же два отверстия два одинаковых потока (давление и температура в обоих отверстиях изнутри одни, \(p_c\) и \(T_c\), площади одинаковые): \[\frac{p}{\sqrt T}+\frac{p}{\sqrt{2T}}=2\,\frac{p_c}{\sqrt{T_c}}.\]

4. Баланс энергии. Стенки теплоизолированы, поэтому энергия переносится только молекулами: \[p\sqrt T+p\sqrt{2T}=2\,p_c\sqrt{T_c}.\]

5. Температура. Разделим уравнение энергии на уравнение числа молекул; \(p\), \(p_c\) и множитель 2 сокращаются: \[T_c=\frac{\sqrt T+\sqrt{2T}}{\dfrac1{\sqrt T}+\dfrac1{\sqrt{2T}}}=T\,\frac{1+\sqrt2}{1+\dfrac1{\sqrt2}}=\sqrt2\,T.\]

6. Давление. Из баланса числа молекул: \[p_c=\frac{p}{2}\Bigl(1+\frac1{\sqrt2}\Bigr)\sqrt{\frac{T_c}{T}}=\frac p2\Bigl(1+\frac1{\sqrt2}\Bigr)2^{1/4}=\frac{\sqrt2+1}{2^{5/4}}\,p\approx1{,}015\,p.\]

Ответ. \(T_c=\sqrt2\,T\approx1{,}41\,T\) (между \(T\) и \(2T\), но ниже среднего арифметического \(1{,}5\,T\)), \(p_c=\dfrac{\sqrt2+1}{2^{5/4}}\,p\approx1{,}015\,p\).

Обратите внимание. Давление в полости не равно среднему, и температура не равна среднему арифметическому \(1{,}5\,T\): через отверстие идёт поток молекул, а не газ как целое, и давление в полости с разной температурой «выравнивается» не по \(p\), а по потоку \(p/\sqrt T\).

Проверка. Если температуры обоих объёмов одинаковы (\(T_1=T_2=T\)), уравнения дают \(T_c=T\) и \(p_c=p\) — равновесие. Размерность: поток \(p/\sqrt T\) входит в оба уравнения в одинаковой комбинации, единицы сокращаются. Смысл: из горячего объёма молекулы прилетают реже, но несут больше энергии; в полости при этом температура лежит между \(T\) и \(2T\), как и должно быть для смеси двух потоков.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Радиус траектории заряженной частицы в магнитном поле даёт её импульс, а значит и энергию. Для второго вопроса используйте закон сохранения электрического заряда: нейтроны заряда не имеют, а в газе кроме водорода есть углерод и кислород.

Ответ

1) \(E=\dfrac{e^2B^2r^2}{2m}\): \(E_A\approx0{,}6\text{ МэВ}\) (\(r_A\approx9\text{ см}\)), \(E_C\approx0{,}08\text{ МэВ}\) (\(r_C\approx3\text{ см}\)), \(E_C\approx0{,}13\,E_A\); кривизна растёт из-за потерь энергии на ионизацию; 2) ядро углерода (\(Z=6\)).

Решение

Что происходит. На протон в магнитном поле действует сила Лоренца, перпендикулярная скорости; она не совершает работы и только поворачивает протон, так что трек в каждой точке дуга окружности, радиус которой определяется импульсом. Протон тормозится, ионизируя газ, импульс падает, и радиус уменьшается: трек закручивается. Главная идея: по радиусу кривизны найти импульс и энергию. Для распада ядра работает закон сохранения заряда.

Обозначения. \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\text{ Кл}\), \(m=1{,}67\cdot10^{-27}\text{ кг}\), \(B=1{,}3\text{ Тл}\); \(r_A\), \(r_C\) — радиусы кривизны трека в точках \(A\) и \(C\); \(v\) — скорость протона.

Пункт 1. Энергия протона.

1. Радиус и импульс. Скорость протона перпендикулярна \(\vec B\), сила Лоренца \(evB\) направлена к центру окружности и сообщает центростремительное ускорение. Второй закон Ньютона в проекции на радиус для малого участка трека: \[evB=\frac{mv^2}{r}\ \Rightarrow\ p=mv=eBr.\] Применимость: на малом участке трека радиус можно считать постоянным (мы берём радиус касательной окружности, рисунок), а скорость мала по сравнению со скоростью света, как увидим ниже.

2. Энергия. Через импульс: \[E=\frac{mv^2}{2}=\frac{p^2}{2m}=\frac{e^2B^2r^2}{2m}.\]

3. Радиусы по рисунку. Трек начинается в \(A\) почти прямолинейно и далее закручивается. По касательным окружностям (рисунок) получаем, принимая размеры рисунка как напечатанные: \(r_A\approx8{,}8\text{ см}\) (окружность, касающаяся трека в \(A\), её центр \(O_A\) далеко за пределами рисунка) и \(r_C\approx3{,}2\text{ см}\) (центр \(O_C\) внутри рисунка).

4. Числа. \[p_A=eBr_A=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}3\cdot0{,}088\ \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}\approx1{,}8\cdot10^{-20}\ \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}},\qquad E_A=\frac{p_A^2}{2m}\approx1{,}0\cdot10^{-13}\text{ Дж}\approx0{,}6\text{ МэВ}.\] Скорость \(v=p_A/m\approx1{,}1\cdot10^{7}\text{ м/с}\approx0{,}04\,c\), так что нерелятивистской формулой пользоваться можно.

Почему меняется кривизна. Из \(r=mv/(eB)\) радиус пропорционален скорости. Протон теряет энергию на ионизацию и возбуждение молекул пара, скорость падает, радиус уменьшается, кривизна \(1/r\) растёт. Направление закручивания (по часовой стрелке для положительного протона) показывает, что \(\vec B\) направлен к нам.

Энергия в точке \(C\). Энергия пропорциональна \(r^2\): \[\frac{E_C}{E_A}=\Bigl(\frac{r_C}{r_A}\Bigr)^2\approx\Bigl(\frac{3{,}2}{8{,}8}\Bigr)^2\approx0{,}13,\qquad E_C\approx0{,}08\text{ МэВ}.\]

Пункт 2. Ядро, распавшееся в точке \(A\). Нейтрон, вызвавший распад, электрического заряда не имеет; нейтроны, возможно вылетевшие при распаде, тоже не оставляют треков. Закон сохранения электрического заряда для реакции: заряд распавшегося ядра равен суммарному заряду продуктов, оставивших следы: \[Z=2\cdot1+2\cdot2=6.\] В смеси есть водород (\(Z=1\)), углерод (\(Z=6\), спирт) и кислород (\(Z=8\), спирт и вода). Заряд \(6\) у углерода. Закон сохранения числа нуклонов для самого частого изотопа \(^{12}\mathrm{C}\): \(^{12}\mathrm{C}+n\to2p+2\alpha+3n\) (\(12+1=2+8+3\)), три нейтрона вылетают без следа.

Ответ. 1) \(E=\dfrac{e^2B^2r^2}{2m}\); \(E_A\approx0{,}6\text{ МэВ}\), \(E_C\approx0{,}08\text{ МэВ}\), кривизна растёт из-за потери скорости на ионизацию; 2) углерод.

Обратите внимание. В журнале у рисунка нет масштаба, поэтому числа получены в предположении, что напечатанный размер рисунка равен натуральному. Отношение \(E_C/E_A=(r_C/r_A)^2\) от масштаба не зависит.

Проверка. Размерность: \(\text{Кл}^2\cdot\text{Тл}^2\cdot\text{м}^2/\text{кг}=\text{Дж}\) (\(\text{Тл}=\text{кг}/(\text{Кл}\cdot\text{с})\)). Предел: \(r\to0\) даёт \(E\to0\), остановка протона. Заряд по закону сохранения: \(6=1\cdot2+2\cdot2\), нуклоны: \(13=2+8+3\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Потенциометр подключён параллельно батарее без внутреннего сопротивления и не влияет на ток лампочки. Лампочка и резистор \(r\) — последовательная цепочка на напряжении батареи; потенциал точки \(A\) сравнивайте с потенциалом движка.

Ответ

1) \(I\approx0{,}25\text{ А}\) (напряжение на лампочке \(\approx1{,}5\text{ В}\)); 2) на расстоянии \(R_x\approx15\text{ Ом}\) (3/8 длины) от конца, соединённого с лампочкой; 3) \(R_x\approx22\text{ Ом}\) (примерно 0,54 длины) от того же конца.

Решение

Что происходит. Батарея без внутреннего сопротивления держит на любой подключённой к ней цепи одно и то же напряжение \(\mathcal E=4\text{ В}\). Потенциометр подключён прямо к батарее, поэтому на ток лампочки он не влияет. Лампочка и резистор \(r\) образуют отдельную цепочку на этом напряжении, и точка \(A\) — делитель этой цепочки. Движок потенциометра — второй делитель на тех же клеммах. Напряжение \(U_{AB}\) равно разности потенциалов двух делителей.

Обозначения. \(U\) и \(I\) — напряжение на лампочке и ток в ней; \(R_x\) — сопротивление части потенциометра от левого (на рисунке) конца, соединённого с лампочкой, до движка; \(R=40\text{ Ом}\); \(r=10\text{ Ом}\); \(R_d=dU/dI\) — дифференциальное сопротивление лампочки в рабочей точке.

Пункт 1. Ток в лампочке.

1. Закон Ома для резистора \(r\) и сумма напряжений на цепочке «лампочка плюс \(r\)», подключённой к батарее: \(U+Ir=\mathcal E\), то есть \[I=\frac{\mathcal E-U}{r}.\] Это прямая на плоскости \((U;I)\): при \(U=0\) она проходит через \(I=\mathcal E/r=0{,}4\text{ А}\), при \(I=0\) — через \(U=4\text{ В}\).

2. Лампочка подчиняется своей характеристике \(I(U)\). Точка пересечения прямой с кривой удовлетворяет обоим условиям (рисунок): \[U\approx1{,}5\text{ В},\qquad I\approx0{,}25\text{ А}.\]

Пункт 2. Нулевое напряжение между \(A\) и \(B\).

3. Примем за ноль потенциал левого конца потенциометра (он соединён с левым выводом лампочки). Потенциал точки \(A\) выше на напряжение на лампочке: \(\varphi_A=U\approx1{,}5\text{ В}\). Через потенциометр идёт ток \(\mathcal E/R\), потенциал движка равен падению напряжения на левой части: \(\varphi_B=\mathcal E\,R_x/R\). Условие \(\varphi_A=\varphi_B\): \[R_x=R\,\frac U{\mathcal E}=40\cdot\frac{1{,}52}{4}\text{ Ом}\approx15\text{ Ом}\quad(\text{то есть }3/8\text{ длины потенциометра}).\]

Пункт 3. Напряжение \(U_{AB}\) не зависит от \(\mathcal E\).

4. Для любой э.д.с. \(U_{AB}=U(\mathcal E)-\mathcal E\,R_x/R\). Нужно, чтобы малое изменение \(\mathcal E\) не меняло \(U_{AB}\), то есть \(dU_{AB}/d\mathcal E=0\): \[\frac{dU}{d\mathcal E}=\frac{R_x}{R}.\]

5. Связь \(U\) и \(\mathcal E\) даёт условие последовательной цепочки: \(\mathcal E=U+r\,I(U)\). Малое изменение \(d\mathcal E\) меняет \(U\) на \(dU\) и \(I\) на \(dI=dU/R_d\) (лампочку на малом участке заменяем касательной, а \(R_d\) находим по наклону характеристики): \[d\mathcal E=dU+r\,dI=dU\Bigl(1+\frac r{R_d}\Bigr)\ \Rightarrow\ \frac{dU}{d\mathcal E}=\frac{R_d}{R_d+r}.\]

6. Наклон характеристики у \(U=1{,}5\text{ В}\) (рисунок): \(dI/dU\approx0{,}085\text{ А/В}\), то есть \(R_d\approx12\text{ Ом}\). Тогда \[\frac{R_x}{R}=\frac{R_d}{R_d+r}=\frac{11{,}7}{21{,}7}\approx0{,}54,\qquad R_x\approx22\text{ Ом}.\] На рисунке показано отклонение \(\Delta U_{AB}\) от значения при \(\mathcal E=4\text{ В}\) для трёх положений движка (доля длины \(x=R_x/R\)): при \(x=0{,}54\) кривая у \(\mathcal E=4\text{ В}\) горизонтальна.

Ответ. 1) \(I\approx0{,}25\text{ А}\); 2) \(R_x=R\,U/\mathcal E\approx15\text{ Ом}\) от конца, соединённого с лампочкой (3/8 длины); 3) \(R_x=R\,\dfrac{R_d}{R_d+r}\approx22\text{ Ом}\) (примерно 0,54 длины) от того же конца.

Обратите внимание. Положения из пунктов 2 и 3 разные. При нулевом напряжении \(U_{AB}\) оно меняется с \(\mathcal E\): по рисунку при \(x=0{,}38\) наклон отличен от нуля. При положении из пункта 3 напряжение между \(A\) и \(B\) неизменно, но не равно нулю: \(U_{AB}\approx1{,}52-0{,}54\cdot4\approx-0{,}6\text{ В}\) (потенциал движка выше).

Проверка. Если бы лампочка была обычным резистором \(R_л\), то \(R_d=R_л=U/I\) и \(R_d/(R_d+r)=R_л/(R_л+r)=U/\mathcal E\): положения из пунктов 2 и 3 совпали бы (мост уравновешен при любой \(\mathcal E\)). У лампочки \(R_d\approx12\text{ Ом}\), а \(U/I\approx6\text{ Ом}\), потому положения и расходятся: нелинейность и разводит их. Размерность: \(R_x\) в омах, \(R_d/(R_d+r)\) безразмерно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.