Всесоюзная, 1976/77, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Как меняется с размером прочность троса и как — вес плиты? Одно растёт как площадь, другое как объём.

Ответ

Ни одной: реальный кран может нести лишь \(10/12\approx0{,}83\) веса одной плиты.

Решение

Что происходит. Трос рвётся, когда натяжение, приходящееся на единицу площади сечения, достигает предела прочности материала. Предел прочности одинаков у модели и у крана (материалы те же), значит, наибольшая сила, которую выдерживает трос, пропорциональна площади его сечения. Вес плиты пропорционален её объёму. При увеличении всех размеров в \(k\) раз площадь растёт в \(k^2\) раз, объём — в \(k^3\) раз: груз растёт быстрее, чем прочность.

Обозначения. Величины модели — с индексом \(0\), крана — без индекса. \(S\) — площадь сечения троса, \(d\) — его диаметр, \(a\) — ребро плиты, \(\sigma\) — предел прочности материала троса, \(\rho\) — плотность бетона, \(k=12\) — во сколько раз увеличены все линейные размеры, \(n\) — число плит.

1. Наибольшая нагрузка на трос. Пока плиты висят неподвижно, натяжение троса равно весу груза. Сила натяжения равномерно распределена по сечению, и трос обрывается при \(T=\sigma S\). Для модели с \(N=10\) плитами этот предел достигнут: \[\sigma S_0=N P_0,\qquad P_0=\rho g a_0^3 .\] Для крана с тем же \(\sigma\) наибольшее натяжение равно \(\sigma S\).

2. Как меняются площадь и вес. Диаметр троса и ребро плиты увеличены в \(k\) раз: \[S=k^2S_0,\qquad P=\rho g (ka_0)^3=k^3P_0 .\]

3. Сколько плит. Трос крана выдержит \(n\) плит, пока \(nP\le \sigma S\). Отсюда наибольшее число плит \[n_{\max}=\frac{\sigma S}{P}=\frac{k^2\sigma S_0}{k^3P_0}=\frac{N}{k}.\] Подставим числа: \(n_{\max}=\dfrac{10}{12}\approx0{,}83<1\).

Обратите внимание: число плит должно быть целым, поэтому ответ — «ни одной»: трос не выдержит даже одной плиты. Собственный вес троса и стрелы, которым мы пренебрегли, растёт как \(k^3\) и делает положение крана ещё хуже.

Ответ. \(n_{\max}=\dfrac{N}{k}=\dfrac{10}{12}\approx0{,}83\), то есть реальный кран не поднимет ни одной плиты.

Проверка. Размерность: \(\sigma S\) — сила, \(P\) — сила, \(n\) безразмерно. При \(k=1\) получаем \(n=N=10\), как в модели. График \(n(k)=10/k\) пересекает уровень \(n=1\) при \(k=10\): кран, увеличенный меньше чем в 10 раз, хотя бы одну плиту поднимет, а при \(k=12\) — нет. Физический смысл: большие конструкции из того же материала относительно слабее, поэтому у слона толстые ноги.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Скорость конца стрелки относительно Земли — сумма скорости льдины и скорости конца стрелки относительно циферблата. Сколько существует способов повернуть часы, чтобы векторы сошлись?

Ответ

Льдины проходят за сутки примерно 128 м (скорость льдины \(\approx0{,}15\text{ см/с}\)).

Решение

Что происходит. Льдина движется поступательно, часы лежат на ней и не поворачиваются относительно неё. Поэтому скорость конца секундной стрелки относительно Земли — сумма двух скоростей: самой льдины и конца стрелки относительно циферблата. Вторая по модулю всегда равна \(w=\omega l\), а её направление зависит от того, как часы повёрнуты вокруг вертикали. Главная идея: равенство скоростей концов стрелок — векторное уравнение; «расположение единственно» означает, что у этого уравнения ровно одно решение.

Обозначения. \(u\) — модуль скорости каждой льдины, \(\vec u_1\) — скорость льдины, идущей на север, \(\vec u_2\) — идущей на запад. Секундная стрелка делает оборот за \(T=60\text{ с}\), поэтому её угловая скорость \(\omega=2\pi/T\), а конец стрелки длиной \(l=1\text{ см}\) движется относительно циферблата со скоростью \(w=\omega l\). \(\vec n_1\), \(\vec n_2\) — единичные векторы вдоль этой скорости на первой и второй льдине: поворачивая часы вокруг вертикали (циферблат горизонтален), можно направить каждый из них как угодно.

1. Скорость конца стрелки относительно Земли. По закону сложения скоростей для конца стрелки на каждой льдине \[\vec v_1=\vec u_1+w\vec n_1,\qquad \vec v_2=\vec u_2+w\vec n_2 .\]

2. Условие равенства. Приравняем \(\vec v_1=\vec v_2\) и соберём неизвестные векторы \(\vec n_1,\vec n_2\) в одной части: \[\vec n_2-\vec n_1=\vec D,\qquad \vec D=\frac{\vec u_1-\vec u_2}{w}.\] Векторы \(\vec u_1\) и \(\vec u_2\) перпендикулярны и равны по модулю, поэтому \(|\vec u_1-\vec u_2|=\sqrt2\,u\) и \(D=\dfrac{\sqrt2\,u}{w}\).

3. Сколько решений у уравнения. Нужно найти единичные векторы \(\vec n_1\) и \(\vec n_2=\vec n_1+\vec D\). Отложим \(\vec n_1\) от точки \(O\): его конец лежит на окружности радиуса 1 с центром в \(O\). Условие \(|\vec n_1+\vec D|=1\) говорит, что тот же конец лежит на окружности радиуса 1 с центром в точке \(O'\), где \(\overrightarrow{O'O}=\vec D\). Две равные окружности с центрами на расстоянии \(D\) имеют две общие точки при \(D<2\), одну при \(D=2\) и ни одной при \(D>2\).

Обратите внимание: при \(D<2\) расположений два, а не одно, а при \(D>2\) часы вообще нельзя расставить так, чтобы скорости сошлись. Единственность возможна лишь при касании окружностей: \(D=2\) и \(\vec n_2=-\vec n_1\), то есть скорости концов стрелок относительно циферблатов противоположны.

4. Скорость льдины. Из \(D=2\) получаем \(\sqrt2\,u=2w\), откуда \(u=\sqrt2\,w\). Этот случай показан на диаграмме скоростей: скорость конца стрелки относительно Земли \(\overrightarrow{OP}\) одна и та же для обеих льдин, а разность скоростей льдин \(\overrightarrow{BA}=\vec u_1-\vec u_2\) точкой \(P\) делится пополам на два вектора \(w\vec n_1\) и \(w\vec n_2\).

Проверка по диаграмме: катеты \(OA=OB=u=\sqrt2\,w\), гипотенуза \(AB=\sqrt2\,u=2w\) делится точкой \(P\) пополам, а \(OP\) — медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе: \(OP=AB/2=w\). Концы стрелок движутся относительно Земли со скоростью \(w\) на северо-запад.

5. Путь за сутки. Время \(t=24\cdot3600\text{ с}=86400\text{ с}\), льдины движутся равномерно: \[S=ut=\sqrt2\,\omega l\,t=\sqrt2\cdot\frac{2\pi l}{T}\,t .\] Подставим числа: \(w=\dfrac{2\pi\cdot1\text{ см}}{60\text{ с}}\approx0{,}105\text{ см/с}\), \(u=\sqrt2\,w\approx0{,}148\text{ см/с}\), \[S\approx0{,}148\text{ см/с}\cdot86400\text{ с}\approx1{,}28\cdot10^{4}\text{ см}\approx128\text{ м}.\]

Ответ. \(S=\dfrac{2\sqrt2\,\pi\,l\,t}{T}\approx128\text{ м}\) за сутки.

Проверка. Размерность: \(l\,t/T\) — сантиметры. Предел: при \(u\to0\) льдины стоят, \(D\to0\), и \(\vec n_1=\vec n_2\) при любой общей ориентации: расположений бесконечно много, единственности нет; чтобы она появилась, льдины должны двигаться со скоростью ровно \(\sqrt2\,w\). При большей скорости часы расставить нельзя: различие скоростей льдин, равное \(\sqrt2\,u\), тогда больше предельно возможного для стрелок \(2w\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Для обычных резисторов ток не зависит от полярности. Что должно быть внутри, чтобы он зависел?

Ответ

Резистор \(1{,}5\text{ Ом}\), последовательно с ним — параллельное соединение диода и второго резистора \(1{,}5\text{ Ом}\); диод открыт для тока от Б к А. Сопротивление коробки: \(1{,}5\text{ Ом}\) при первой полярности, \(3\text{ Ом}\) при обратной. Схема не единственна: подойдёт и резистор \(3\text{ Ом}\) параллельно цепочке «диод + резистор \(3\text{ Ом}\)».

Решение

Что происходит. Сопротивление коробки зависит от знака напряжения: значит, в ней есть элемент с односторонней проводимостью — диод. Источник и амперметр считаем идеальными: напряжение на коробке всегда \(U=1{,}5\text{ В}\). Идеальный диод в открытом направлении имеет нулевое сопротивление, в закрытом — бесконечное. Сначала найдём сопротивление коробки при каждой полярности, затем подберём схему.

1. Сопротивление при каждой полярности. Закон Ома для всей коробки: при первом подключении \(R_1=U/I_1\), при обратном \(R_2=U/I_2\), где \(I_2=I_1/2\): \[R_1=\frac{1{,}5\text{ В}}{1\text{ А}}=1{,}5\text{ Ом},\qquad R_2=\frac{1{,}5\text{ В}}{0{,}5\text{ А}}=3\text{ Ом}.\] Обычная цепь из резисторов даёт одно и то же сопротивление при любой полярности, поэтому диод необходим.

2. Схема. При первой полярности ток больше, и диод в этот момент открыт. По рисунку 1 длинная пластина элемента — положительный полюс, она присоединена к Б: ток в коробке идёт от Б к А, и диод проводит в этом направлении. Возьмём резистор \(R_a\) последовательно с участком, где параллельно включены диод и резистор \(R_b\).

Первая полярность: диод открыт и закорачивает \(R_b\), поэтому \[R_1=R_a\ \Rightarrow\ R_a=1{,}5\text{ Ом}.\] Обратная полярность: диод закрыт, ток идёт через оба резистора последовательно: \[R_2=R_a+R_b\ \Rightarrow\ R_b=R_2-R_a=1{,}5\text{ Ом}.\]

Обратите внимание: ответ неоднозначен. Только по двум измерениям нельзя отличить эту схему от любой другой, дающей те же \(1{,}5\text{ Ом}\) и \(3\text{ Ом}\). Например, резистор \(3\text{ Ом}\), параллельный цепочке «диод + резистор \(3\text{ Ом}\)»: при открытом диоде \(3\parallel3=1{,}5\text{ Ом}\), при закрытом остаётся \(3\text{ Ом}\).

Ответ. Диод и два резистора по \(1{,}5\text{ Ом}\), включённые так, как на рисунке: сопротивление \(1{,}5\text{ Ом}\) в проводящем направлении (от Б к А) и \(3\text{ Ом}\) в обратном.

Проверка. Подставим в схему: \(U=1{,}5\text{ В}\) даёт \(I=1{,}5/1{,}5=1\text{ А}\) в проводящем направлении и \(I=1{,}5/3=0{,}5\text{ А}\) в обратном — то же, что в условии. Вольт-амперная характеристика коробки — две прямые разного наклона (график): при положительном напряжении \(R=1{,}5\text{ Ом}\), при отрицательном \(R=3\text{ Ом}\); излом в нуле выдаёт диод.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Измерьте расстояния между положениями кубика и найдите по ним ускорение. Проверьте, в какую сторону оно направлено: вниз кубик мог бы разгоняться не быстрее, чем \(g\sin\alpha\).

Ответ

Кубик движется вверх по плоскости и замедляется: \(a\approx8{,}5\text{ м/с}^2\), угол плоскости \(\alpha\approx38^\circ\), коэффициент трения \(\mu\approx0{,}3\).

Решение

Что происходит. Вспышки идут через равные промежутки \(T=0{,}1\text{ с}\), поэтому при постоянном ускорении пути за соседние промежутки отличаются на одну и ту же величину \(aT^2\). Расстояния между положениями измеряем по масштабной линейке рисунка, ускорение находим по их разности, а коэффициент трения — из второго закона Ньютона вдоль плоскости. Сначала нужно понять, вверх или вниз движется кубик: рисунок направления не показывает.

Обозначения. \(s_1,\dots,s_4\) — расстояния между соседними положениями кубика (центрами), \(\alpha\) — угол плоскости, \(a\) — модуль ускорения, \(\mu\) — коэффициент трения, \(g=9{,}8\text{ м/с}^2\).

1. Измерения. Масштабная линейка длиной \(0{,}5\text{ м}\) разделена на 5 частей по \(0{,}1\text{ м}\). По ней расстояния между положениями кубика, считая снизу вверх: \[s_1\approx4{,}6\text{ дм},\quad s_2\approx3{,}7\text{ дм},\quad s_3\approx2{,}9\text{ дм},\quad s_4\approx2{,}0\text{ дм}.\] Высота плоскости относительно её основания даёт \(\operatorname{tg}\alpha\approx0{,}78\), то есть \(\alpha\approx38^\circ\), \(\sin\alpha\approx0{,}62\), \(\cos\alpha\approx0{,}79\).

2. Движется ли кубик вверх или вниз. Каждое следующее расстояние (снизу вверх) меньше предыдущего: \(s_1-s_2\approx0{,}9\text{ дм}\), \(s_2-s_3\approx0{,}8\text{ дм}\), \(s_3-s_4\approx0{,}9\text{ дм}\), то есть \(aT^2\approx0{,}9\text{ дм}\), то есть \(a\approx9\text{ м/с}^2\). Если бы кубик скользил вниз (сверху вниз расстояния растут), он разгонялся бы, и его ускорение не превышало бы \(g\sin\alpha\approx6{,}0\text{ м/с}^2\) (это при отсутствии трения). Измеренное ускорение больше, значит, вниз кубик двигаться не мог. Остаётся движение вверх по плоскости с замедлением.

Обратите внимание: на рисунке по одним положениям нельзя сказать, куда движется кубик. Направление выбирается проверкой возможного ускорения, а не «по виду».

3. Ускорение. Пути за соседние промежутки времени отличаются на \(aT^2\). Возьмём первые два промежутка и последние два, их разность равна \(a(2T)^2\): \[a=\frac{(s_1+s_2)-(s_3+s_4)}{(2T)^2}=\frac{(8{,}3-4{,}9)\cdot10^{-1}\text{ м}}{4\cdot(0{,}1\text{ с})^2}\approx8{,}5\text{ м/с}^2 .\] Вычисление по разности двух сумм сглаживает погрешность отдельных замеров.

4. Второй закон Ньютона для кубика. Ось \(x\) направим вдоль плоскости вверх, ось \(y\) — по нормали к плоскости. На кубик действуют сила тяжести \(m\vec g\), нормальная реакция \(\vec N\) и сила трения скольжения \(\vec F_{\text{тр}}\), направленная против скорости, то есть вниз вдоль плоскости.

В проекции на \(y\) ускорения нет (кубик не отрывается от плоскости и не проваливается): \(N-mg\cos\alpha=0\). В проекции на \(x\) (скорость вверх, ускорение направлено вниз по плоскости, его проекция \(-a\)): \[-ma=-mg\sin\alpha-\mu N,\qquad N=mg\cos\alpha .\] Формула \(F_{\text{тр}}=\mu N\) годится, потому что кубик скользит по плоскости.

5. Коэффициент трения. Масса сокращается: \[a=g(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)\ \Rightarrow\ \mu=\frac{a-g\sin\alpha}{g\cos\alpha}.\] Подставим числа: \(g\sin\alpha\approx6{,}0\text{ м/с}^2\), \(g\cos\alpha\approx7{,}7\text{ м/с}^2\), \[\mu\approx\frac{8{,}5-6{,}0}{7{,}7}\approx0{,}32 .\]

Ответ. \(\mu=\dfrac{a-g\sin\alpha}{g\cos\alpha}\approx0{,}3\); кубик движется вверх по плоскости с замедлением \(a\approx8{,}5\text{ м/с}^2\).

Проверка. Размерность: \(a\) и \(g\) в \(\text{м/с}^2\), \(\mu\) безразмерен. Предел: при \(\mu=0\) получаем \(a=g\sin\alpha\approx6{,}0\text{ м/с}^2\), как для гладкой плоскости; измеренное \(a\) больше, значит, трение есть. Второй способ: скорость в середине первого промежутка \(s_1/T\approx4{,}6\text{ м/с}\), начальная скорость \(v_0\approx4{,}6+8{,}5\cdot0{,}05\approx5{,}0\text{ м/с}\); за \(0{,}4\text{ с}\) кубик пройдёт \(v_0\cdot0{,}4-\dfrac{a\cdot0{,}4^2}{2}\approx2{,}0-0{,}68\approx1{,}3\text{ м}\) — это в пределах точности и есть сумма \(s_1+\dots+s_4\approx13{,}2\text{ дм}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.