Всесоюзная, 1978/79, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Дым, оторвавшись от трубы, движется вместе с воздухом. Где окажутся к данному моменту частица дыма и сам паровоз, если частица вылетела за время \(\Delta t\) до этого? Шлейф направлен вдоль разности каких двух скоростей?

Ответ

\(v_3\approx 17\text{ км/ч}\) (в ту же сторону, что и \(v_2\); точность чтения рисунка около \(\pm3\text{ км/ч}\)); попутно ветер: \(u\approx 33\text{ км/ч}\).

Решение

Что происходит. Оторвавшись от трубы, частица дыма уже не связана с паровозом: она движется вместе с воздухом, то есть со скоростью ветра \(\vec u\) относительно земли. Паровоз при этом уехал вперёд. Шлейф — это цепочка частиц, вылетевших в разные моменты, поэтому его направление говорит о разности скоростей ветра и паровоза. Главная идея — по двум известным паровозам найти ветер, а затем по шлейфу третьего найти его скорость.

Обозначения. Ось \(x\) направим вдоль пути в сторону \(\vec v_2\), ось \(y\) — поперёк пути, туда, куда на рисунке уходят шлейфы. \(\vec u=(u_x,\,u_y)\) — скорость ветра относительно земли, \(\vec v_1=(-50,\,0)\), \(\vec v_2=(70,\,0)\) и \(\vec v_3=(v_3,\,0)\) в км/ч: все паровозы идут вдоль пути.

1. Куда направлен шлейф. Частица вылетела из точки \(A\) за время \(\Delta t\) до снимка. За это время паровоз проехал \(\vec v\,\Delta t\) и оказался в точке \(L\), а частица, унесённая ветром, — \(\vec u\,\Delta t\) и оказалась в точке \(P\). Вектор от паровоза до частицы \[\overrightarrow{LP}=\vec u\,\Delta t-\vec v\,\Delta t=(\vec u-\vec v)\,\Delta t .\] Значит, шлейф, который тянется от паровоза, параллелен разности \(\vec u-\vec v\), то есть скорости ветра в системе отсчёта паровоза. Обратите внимание: шлейф не показывает направление ветра — он параллелен \(\vec u-\vec v\), а не \(\vec u\). У двух разных паровозов шлейфы разные именно потому, что у них разные \(\vec v\).

2. Снимаем углы с рисунка. Транспортиром по рисунку 3 находим углы шлейфов с путём: шлейф первого паровоза идёт под углом \(\alpha_1\approx18{,}5^\circ\) вперёд по оси \(x\), шлейф второго уходит влево, против оси \(x\), под углом \(\alpha_2\approx27^\circ\) к ней, шлейф третьего — под углом \(\alpha_3\approx78^\circ\) к оси \(+x\). Шлейфы идут от паровозов в сторону оси \(y>0\).

3. Скорость ветра. Шлейф первого паровоза параллелен \(\vec u-\vec v_1=(u_x+50,\;u_y)\), шлейф второго — \(\vec u-\vec v_2=(u_x-70,\;u_y)\); вторая разность направлена назад по оси \(x\). Тангенсы углов: \[\operatorname{tg}\alpha_1=\frac{u_y}{u_x+50},\qquad \operatorname{tg}\alpha_2=\frac{u_y}{70-u_x}.\] Неизвестных две (\(u_x\), \(u_y\)), уравнений две. Выражаем \(u_y\) из обоих и приравниваем: \((u_x+50)\operatorname{tg}\alpha_1=(70-u_x)\operatorname{tg}\alpha_2\), откуда \[u_x=\frac{70\operatorname{tg}\alpha_2-50\operatorname{tg}\alpha_1}{\operatorname{tg}\alpha_1+\operatorname{tg}\alpha_2} =\frac{70\cdot0{,}510-50\cdot0{,}335}{0{,}335+0{,}510}\approx 22\text{ км/ч},\qquad u_y=(u_x+50)\operatorname{tg}\alpha_1\approx 24\text{ км/ч}.\] Ветер \(u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\approx 33\text{ км/ч}\) дует под углом около \(47^\circ\) к пути.

4. Скорость третьего паровоза. Шлейф третьего паровоза параллелен \(\vec u-\vec v_3=(u_x-v_3,\;u_y)\) и составляет с осью \(x\) угол \(\alpha_3\): \[\operatorname{tg}\alpha_3=\frac{u_y}{u_x-v_3}\quad\Rightarrow\quad v_3=u_x-\frac{u_y}{\operatorname{tg}\alpha_3}=22{,}4-\frac{24{,}2}{4{,}70}\approx 17\text{ км/ч}.\] Знак плюс: паровоз идёт в ту же сторону, что и второй.

Построение в плоскости скоростей. Те же три условия можно нарисовать: отложим на оси \(v_x\) точки \(v_1\), \(v_2\) и проведём из них прямые, параллельные шлейфам; точка пересечения — конец вектора \(\vec u\) из нуля. Прямая через неё, параллельная шлейфу третьего паровоза, пересекает ось в точке \(v_3\).

Проверка. Предел: если бы паровоз шёл с продольной скоростью ветра (\(v_3=u_x=22\text{ км/ч}\)), шлейф был бы строго поперёк пути, \(\alpha_3=90^\circ\). На рисунке \(78^\circ\) — чуть меньше, значит, \(v_3\) чуть меньше \(22\text{ км/ч}\), как и получилось. Если бы паровоз стоял, шлейф шёл бы вдоль ветра под \(47^\circ\) — на рисунке он заметно круче. Погрешность: ошибка угла в \(1^\circ\) меняет \(v_3\) примерно на \(2\text{--}3\text{ км/ч}\), поэтому ответ — около \(17\text{ км/ч}\).

Ответ: \(v_3\approx17\text{ км/ч}\) в сторону движения второго паровоза; ветер \(u\approx33\text{ км/ч}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Когда шар поднимется на высоту \(l\), нить натянется, и грузу придётся мгновенно набрать скорость. Что сохраняется при таком рывке, если нить абсолютно жёсткая? После рывка оба тела падают с одним и тем же ускорением — как движется груз относительно шара?

Ответ

\(t=\dfrac{v_0-\sqrt{v_0^2-2gl}}{g}+\dfrac{l}{\sqrt{v_0^2-2gl}}\);  \(h=\dfrac{4l}{3}-\dfrac{g\,l^2}{2\,(v_0^2-2gl)}\) (при \(v_0^2>\tfrac{19}{8}\,gl\)).

Решение

Что происходит. Груз \(M\) лежит на земле в точке бросания, шар \(2M\) летит вверх и тянет за собой слабину нити. Когда шар поднимется на высоту \(l\), нить натягивается — происходит рывок. Нить абсолютно жёсткая, то есть не растягивается и не поглощает энергию, поэтому рывок — упругий удар шара с грузом через нить. После него груз летит быстрее шара и догоняет его — они сталкиваются. Главная идея — три этапа: свободный полёт до рывка, сохранение импульса и энергии за время рывка, затем равномерное по скорости сближение.

Обозначения. Ось \(y\) направим вертикально вверх, начало — в точке бросания. \(v_1\) — скорость шара в момент рывка, \(u_1\) и \(u_2\) — скорости шара и груза сразу после рывка, \(t_1\) — время полёта до рывка, \(\tau\) — время от рывка до столкновения.

1. Полёт до рывка. До рывка на шар действует только сила тяжести (нить провисает и не тянет). Шар равноускоренно движется с ускорением \(-g\) и в момент рывка находится на высоте \(l\): \[v_1^2=v_0^2-2gl,\qquad t_1=\frac{v_0-v_1}{g}.\] Условие \(l<v_0^2/2g\) нужно именно для этого: шар долетает до высоты \(l\), и \(v_1\) определено.

2. Рывок. Сила натяжения нити во время рывка огромна по сравнению с \(2Mg\) и \(Mg\), а сам рывок короткий, поэтому тяжестью за это время пренебрегаем: импульс системы «шар + груз» в проекции на ось \(y\) сохраняется (нить — внутренняя связь; земля груз не держит, он отрывается вверх). Закон сохранения энергии системы «шар + груз» за время рывка выполняется, потому что нить не растягивается и энергия не теряется: \[2Mv_1=2Mu_1+Mu_2,\qquad \frac{2Mv_1^2}{2}=\frac{2Mu_1^2}{2}+\frac{Mu_2^2}{2}.\] Из первого уравнения \(u_2=2(v_1-u_1)\). Второе даёт \(2(v_1-u_1)(v_1+u_1)=u_2^2\); подставляем \(u_2\) и сокращаем на \(2(v_1-u_1)\ne0\): \[v_1+u_1=u_2=2(v_1-u_1)\quad\Rightarrow\quad u_1=\frac{v_1}{3},\qquad u_2=\frac{4v_1}{3}.\] Относительная скорость сближения груза с шаром \(u_2-u_1=v_1\) — та же, что была до рывка, как при упругом ударе.

Обратите внимание: слова <<нить абсолютно жёсткая>> — и есть указание на упругий рывок. Если бы нить была нерастяжимой, но неупругой, скорости сравнялись бы (\(u_1=u_2\)), тела летели бы вместе, и вопрос о столкновении потерял бы смысл.

3. Сближение. Сразу после рывка груз на земле, шар на высоте \(l\) над ним. Оба тела дальше движутся с одним ускорением \(-g\), поэтому их относительная скорость не меняется и равна \(v_1\): груз нагоняет шар с постоянной скоростью. Расстояние \(l\) он пройдёт за \[\tau=\frac{l}{v_1}.\] Нить при этом провисает и не мешает.

4. Время и высота столкновения. Полное время от броска: \[t=t_1+\tau=\frac{v_0-\sqrt{v_0^2-2gl}}{g}+\frac{l}{\sqrt{v_0^2-2gl}}.\] Высоту столкновения находим по движению шара после рывка (он стартует с высоты \(l\) со скоростью \(u_1=v_1/3\)): \[h=l+u_1\tau-\frac{g\tau^2}{2}=l+\frac{l}{3}-\frac{g\,l^2}{2v_1^2}=\frac{4l}{3}-\frac{g\,l^2}{2\,(v_0^2-2gl)}.\] Так же по грузу: \(h=u_2\tau-g\tau^2/2=\tfrac{4}{3}l-g\tau^2/2\) — совпало.

Обратите внимание: формула для \(h\) годится, пока \(h>0\), то есть при \(v_1^2>3gl/8\), или \(v_0^2>\tfrac{19}{8}\,gl\). При меньшей скорости груз успел бы упасть на землю до встречи с шаром, и ответ был бы другой.

График построен по формулам при \(v_0=10\text{ м/с}\), \(l=2\text{ м}\), \(g=10\text{ м/с}^2\): \(v_1=7{,}75\text{ м/с}\), \(t_1=0{,}225\text{ с}\), \(\tau=0{,}258\text{ с}\), \(t=0{,}484\text{ с}\), \(h=2{,}33\text{ м}\). Груз стоит до рывка, затем быстро набирает высоту; в точке встречи кривые сходятся.

Проверка. Размерность: \(v_0^2-2gl\) — м\(^2\)/с\(^2\), поэтому \(t\) в секундах, а \(h\) в метрах: \(gl^2/v_1^2\) — метры. Предел \(l\to0\): рывок происходит у самой земли, \(t\to0\) и \(h\to0\) — тела встречаются сразу, как и должно быть. Предел большой скорости \(v_0\to\infty\): \(\tau\to0\), \(h\to 4l/3\) — за пренебрежимо малое время груз успевает пройти \(l\) вверх вслед за шаром, шар при этом поднялся ещё на \(l/3\).

Ответ: \(t=\dfrac{v_0-\sqrt{v_0^2-2gl}}{g}+\dfrac{l}{\sqrt{v_0^2-2gl}}\),  \(h=\dfrac{4l}{3}-\dfrac{g\,l^2}{2\,(v_0^2-2gl)}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Кривые изгибаются, значит, часть тепла плита теряет в воздух, и мощность нагрева не постоянна. Но она одна и та же для воды и для спирта при одной и той же температуре кастрюли. Что получится, если сравнить время нагрева воды и спирта через один и тот же интервал температур?

Ответ

\(c_{\text{сп}}\approx2{,}6\cdot10^3\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\),  \(L\approx6\cdot10^5\text{ Дж/кг}\) (точность около 15–20 %).

Решение

Что происходит. Плита греет кастрюлю с жидкостью, но часть тепла уходит в воздух, и чем горячее кастрюля, тем больше эта часть. Поэтому кривые не прямые: нагрев замедляется. Остаток — полезная мощность \(P_{\text{п}}(t)\) — идёт на нагрев кастрюли и жидкости. Она зависит только от температуры \(t\) кастрюли (плита и кастрюля те же) и поэтому одна и та же для воды и для спирта. Главная идея — сравнивать два графика при одинаковой температуре.

Обозначения. \(C=200\text{ Дж/К}\) — теплоёмкость кастрюли; вода: \(m_{\text{в}}=0{,}5\text{ кг}\), \(c_{\text{в}}=4200\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\); спирт: \(m_{\text{с}}=0{,}7\text{ кг}\), удельная теплоёмкость \(c\) ищем; \(L\) — удельная теплота парообразования спирта. Теплоёмкость воды с кастрюлей \(C_{\text{в}}=C+c_{\text{в}}m_{\text{в}}=2300\text{ Дж/К}\).

1. Тепловой баланс за малое время. Пока жидкость не кипит, за малое время \(d\tau\) полезное тепло \(P_{\text{п}}(t)\,d\tau\) нагревает кастрюлю с жидкостью на \(dt\): \[P_{\text{п}}(t)\,d\tau=(C+cm)\,dt\quad\Rightarrow\quad d\tau=\frac{(C+cm)\,dt}{P_{\text{п}}(t)}.\] Просуммируем от \(t_a\) до \(t_b\): время нагрева \[\tau=(C+cm)\int_{t_a}^{t_b}\frac{dt}{P_{\text{п}}(t)}.\] Интеграл — одинаковое число для воды и для спирта (тот же интервал температур, та же \(P_{\text{п}}(t)\)), значит \[\frac{\tau_{\text{с}}}{\tau_{\text{в}}}=\frac{C+c\,m_{\text{с}}}{C+c_{\text{в}}m_{\text{в}}} .\]

2. Теплоёмкость спирта. Возьмём интервал от \(40^\circ\text{C}\) до \(70^\circ\text{C}\), где кривые разошлись и читаются хорошо. По графику (рисунок ниже) спирт проходит его с \(2{,}6\) до \(8{,}5\) мин, то есть за \(5{,}9\) мин, вода — с \(4{,}0\) до \(10{,}7\) мин, за \(6{,}7\) мин. Тогда \[C+c\,m_{\text{с}}=2300\cdot\frac{5{,}9}{6{,}7}\approx2020\text{ Дж/К},\qquad c=\frac{2020-200}{0{,}7}\approx2{,}6\cdot10^3\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}.\]

3. Полезная мощность при \(78^\circ\text{C}\). У спирта график при \(78^\circ\text{C}\) обрывается — начинается кипение, и мощность по его кривой не прочитать. Но \(P_{\text{п}}\) зависит от температуры, а не от жидкости, поэтому берём её по кривой воды, которая проходит \(78^\circ\text{C}\) на \(13{,}1\)-й минуте. Касательная в этой точке имеет наклон \(dt/d\tau\approx3{,}1\text{ К/мин}\approx0{,}052\text{ К/с}\). Из баланса пункта 1 для воды \[P_{\text{п}}(78^\circ\text{C})=C_{\text{в}}\,\frac{dt}{d\tau}\approx2300\cdot0{,}052\approx1{,}2\cdot10^2\text{ Вт}.\] Обратите внимание: делить всю энергию на время нагрева нельзя — полезная мощность не постоянна. Водяная кривая при \(78^\circ\text{C}\) идёт с наклоном примерно в 1,7 раза меньшим, чем при \(30^\circ\text{C}\) (\(P_{\text{п}}\approx2{,}2\cdot10^2\) Вт там против \(1{,}2\cdot10^2\) Вт здесь): потери растут с температурой, как показывает второй рисунок.

4. Кипение спирта. При кипении температура спирта и кастрюли остаётся \(78^\circ\text{C}\), поэтому полезная мощность прежняя — около \(120\) Вт — и вся она идёт на парообразование: за \(\tau_{\text{к}}=30\text{ мин}=1800\text{ с}\) испаряется половина спирта, \(m_{\text{с}}/2=0{,}35\text{ кг}\). Закон сохранения энергии для кипения: \[P_{\text{п}}\,\tau_{\text{к}}=L\,\frac{m_{\text{с}}}{2}\quad\Rightarrow\quad L=\frac{2P_{\text{п}}\tau_{\text{к}}}{m_{\text{с}}}=\frac{120\cdot1800}{0{,}35}\approx6\cdot10^5\text{ Дж/кг}.\]

Проверка. Согласованность модели: с найденной теплоёмкостью \(2020\) Дж/К спирт должен нагреваться при \(60^\circ\text{C}\) со скоростью \(P_{\text{п}}(60^\circ)/2020\approx164/2020\approx0{,}081\text{ К/с}\approx4{,}9\text{ К/мин}\); по кривой спирта в этой точке выходит около \(4{,}7\text{ К/мин}\) — совпадение в пределах \(5\,\%\). Табличные значения для спирта — \(2{,}4\cdot10^3\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\) и около \(8{,}5\cdot10^5\text{ Дж/кг}\): теплоёмкость сошлась с точностью \(10\,\%\), теплота парообразования получилась ниже — наклон касательной в точке излома читается с ошибкой \(15\text{--}20\,\%\), к тому же пренебрегается испарением с поверхности до кипения.

Ответ: \(c\approx2{,}6\cdot10^3\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\),  \(L\approx6\cdot10^5\text{ Дж/кг}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Выделим мысленно ту порцию газа, которая в итоге окажется в сосуде. Вакуум она не толкает, но её толкает остальной газ снаружи. Чему равна работа этих сил и куда она уходит, если теплообмена нет?

Ответ

\(T=\dfrac{5}{3}\,T_0\).

Решение

Что происходит. Газ из атмосферы втекает в пустой сосуд. Он не расширяется в пустоту сам по себе: его вталкивает остальной газ снаружи, давление которого \(p_0\) остаётся постоянным — резервуар огромный. Эта работа идёт на увеличение внутренней энергии порции, поэтому газ внутри нагревается. Течение прекращается, когда давление в сосуде станет \(p_0\). Главная идея — применить первый закон термодинамики к той порции газа, которая в итоге окажется в сосуде.

Обозначения. \(\nu\) — число молей газа, который в итоге окажется в сосуде; \(V_0\) — объём, который эта порция занимала снаружи (при \(p_0\), \(T_0\)); \(V\) — объём сосуда; \(T\) — конечная температура.

1. Начальное и конечное состояния порции. В начале порция занимает объём \(V_0\) снаружи при \(p_0\) и \(T_0\): \(p_0V_0=\nu RT_0\). В конце она заполняет сосуд при давлении \(p_0\) и температуре \(T\): \(p_0V=\nu RT\).

2. Работа над порцией. Остальной газ снаружи продвигает порцию в сосуд. Давление этого газа на порцию постоянно и равно \(p_0\), а граница порции целиком, шаг за шагом, проходит объём \(V_0\). Работа остального газа над порцией \[A=p_0V_0=\nu RT_0 .\] Вакуум порцию не тормозит и работы над ней не совершает.

3. Первый закон термодинамики. Для порции газа: изменение внутренней энергии равно работе внешних сил плюс подведённое тепло. Сосуд теплоизолирован — и стенки, как будем считать, не впитывают тепло, — поэтому \(Q=0\). Внутренняя энергия одноатомного газа \(U=\tfrac32\nu RT\). Течение внутри сосуда бурное, но к концу газ покоится, и вся кинетическая энергия струи перешла в тепловую, значит, она уже учтена в \(U\): \[\frac32\,\nu RT-\frac32\,\nu RT_0=\nu RT_0 .\]

4. Соберём ответ. Сократим \(\nu R\): \[\frac32\,T=\frac52\,T_0\quad\Rightarrow\quad T=\frac53\,T_0 .\] Объём сосуда при этом \(V=V_0\,T/T_0=\tfrac53V_0\): газ в сосуде занимает больше места, чем занимал снаружи.

Обратите внимание: это не свободное расширение газа из закрытого баллона в вакуум — там температура одноатомного газа не меняется, потому что работы никто не совершает. Здесь же газ вталкивают, и работа \(p_0V_0\) идёт на нагрев.

Второй способ. Для газа, втекающего из большого резервуара в пустой сосуд, сохраняется энтальпия единицы массы: \(c_pT_0=c_VT\) (слева — энергия вместе с работой вталкивания, справа — только внутренняя энергия газа в сосуде). Отсюда \(T=\gamma T_0\), где \(\gamma=c_p/c_V=5/3\) для одноатомного газа — тот же ответ.

Проверка. Размерность: \(T\) и \(T_0\) — температуры, отношение \(5/3\) безразмерно. Предел: при \(T_0\to0\) ответ \(T\to0\) — газ без теплового движения не нагреть, как и должно быть. Знак: \(T>T_0\), то есть газ нагревается; работа вталкивания \(A>0\) при \(Q=0\) не может его охладить. Смысл: каждая молекула, влетая, приносит с собой не только тепловую энергию \(\tfrac32 kT_0\), но и долю работы \(kT_0\), совершённой над ней остальным газом, — вместе \(\tfrac52 kT_0\).

Ответ: \(T=\dfrac53\,T_0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Амперметр — это резистор с маленьким сопротивлением \(r\), а напряжение на нём равно показанию, умноженному на \(r\). Сравните напряжения на амперметрах \(A_1\) и \(A_2\), которые начинаются в одном узле. Что это говорит о напряжении на \(A_3\) и о направлении тока в нём?

Ответ

\(\dfrac{r}{R}=\dfrac19\).

Решение

Что происходит. Источник подключён к левому и правому узлам схемы. Каждый амперметр — это просто резистор с сопротивлением \(r\): его показание \(I\) означает напряжение \(Ir\). Токи через \(A_1\) и \(A_2\) известны, а амперметр \(A_3\) соединяет две средние точки и показывает ток, которого не знаем ни по величине, ни по направлению. Главная идея — записать закон Ома для каждого участка и закон сохранения заряда (правило узлов) для обоих средних узлов.

Обозначения. Узлы: \(L\) — левый (общий вход \(A_1\) и \(A_2\)), \(K\) — правый (общий выход \(A_4\) и \(R\)), \(M\) — верхний средний, \(N\) — нижний средний. Токи: \(I_1=3\) А, \(I_2=5\) А через \(A_1\) и \(A_2\) (от \(L\)); \(I_3\) — ток через \(A_3\) от \(M\) к \(N\) (знак неизвестен); \(I_4\) — через \(A_4\) от \(M\) к \(K\); \(I_R\) — через \(R\) от \(N\) к \(K\). Потенциалы \(\varphi_L,\varphi_M,\varphi_N,\varphi_K\).

Обратите внимание: токи через \(A_1\) и \(A_2\) идут от \(L\) вправо, потому что в цепи с одним источником и без других источников потенциал \(L\) выше потенциалов всех остальных узлов. Направление тока в \(A_3\) предугадать нельзя — его даёт расчёт.

1. Напряжение на \(A_3\). Закон Ома для амперметров \(A_2\) и \(A_1\) (оба начинаются в узле \(L\)): \(\varphi_L-\varphi_M=I_2r\), \(\varphi_L-\varphi_N=I_1r\). Вычитаем: \[\varphi_M-\varphi_N=(I_1-I_2)\,r=-2\text{ А}\cdot r .\] Но это же напряжение на амперметре \(A_3\): \(\varphi_M-\varphi_N=I_3r\), значит \(I_3=I_1-I_2=-2\) А. Ток в \(A_3\) идёт от \(N\) к \(M\), то есть снизу вверх, и равен \(2\) А.

2. Остальные токи. Правило узлов для узла \(M\) (заряд не накапливается): втекает \(I_2\) от \(A_2\) и 2 А от \(A_3\), вытекает \(I_4\): \[I_4=I_2+2\text{ А}=7\text{ А}.\] Для узла \(N\): втекает \(I_1=3\) А, вытекают 2 А в \(A_3\) и \(I_R\) в резистор: \[I_R=I_1-2\text{ А}=1\text{ А}.\]

3. Сопротивление резистора. Выберем \(\varphi_K=0\). Закон Ома для \(A_4\) и для \(R\): \(\varphi_M=I_4r=7\text{ А}\cdot r\), \(\varphi_N=I_RR=1\text{ А}\cdot R\). Разность \(\varphi_N-\varphi_M=2\text{ А}\cdot r\) известна из пункта 1: \[1\text{ А}\cdot R-7\text{ А}\cdot r=2\text{ А}\cdot r\quad\Rightarrow\quad R=9r .\]

4. Соберём ответ. \[\frac rR=\frac19 .\]

На диаграмме потенциалов (в единицах \(r\cdot1\) А): \(\varphi_L=12\), \(\varphi_N=9\), \(\varphi_M=7\), \(\varphi_K=0\). Узел \(N\) выше \(M\), поэтому ток в \(A_3\) идёт от \(N\) к \(M\).

Проверка. Второй способ — сравнить два пути от \(L\) к \(K\): через \(A_1\) и \(R\) напряжение \(3r+1\cdot R=12r\), через \(A_2\) и \(A_4\) напряжение \(5r+7r=12r\) — равны, как и должно быть для двух путей между одними узлами. Токи у источника: \(I_1+I_2=8\) А вытекает из узла \(L\) и \(I_4+I_R=8\) А втекает в \(K\). Предел: если бы \(R=r\), схема была бы симметричной и \(A_3\) показывал бы нуль, то есть \(I_1=I_2\); в задаче \(I_1<I_2\), значит \(R>r\), как и получилось (\(R=9r\)).

Ответ: \(\dfrac rR=\dfrac19\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.