Всесоюзная, 1978/79, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Дым, вышедший из трубы раньше, ветер уносит с одной и той же скоростью. Куда смотрит шлейф, если смотреть из системы отсчёта паровоза?

Ответ

Скорость ветра \(w\approx34\text{ км/ч}\); ветер дует под углом около \(47^\circ\) к рельсам: его составляющая вдоль пути \(\approx24\text{ км/ч}\) (в сторону движения второго паровоза), поперёк пути \(\approx25\text{ км/ч}\) (к той стороне, куда уходят шлейфы на рисунке).

Решение

Что происходит. Дым, выброшенный трубой, дальше относится только ветром: сам паровоз его уже не толкает. Поэтому шлейф — это цепочка частиц дыма, вышедших из трубы в разные моменты, и сегодня каждая из них находится там, куда её снесло ветром за прошедшее время. Главная идея: в системе отсчёта паровоза воздух движется со скоростью \(\vec w-\vec v\), и шлейф вытягивается вдоль этой относительной скорости.

Обозначения. \(\vec w\) — скорость ветра относительно земли (воздух движется с одной скоростью \(\vec w\) в обоих местах), \(\vec v_1,\vec v_2\) — скорости паровозов относительно земли. Ось \(x\) направим вдоль пути по скорости \(\vec v_2\), ось \(y\) — поперёк пути, в ту сторону, куда на рисунке уходят шлейфы.

1. Направление шлейфа. Частица дыма вышла из трубы первого паровоза \(\tau\) назад, когда паровоз был в точке, отстоящей от нынешнего положения на \(v_1\tau\) против хода (за это время он сдвинулся на \(\vec v_1\tau\)). После выхода частица смещается только ветром на \(\vec w\tau\). Её положение относительно паровоза сейчас — вектор от паровоза до частицы: \[\vec\rho=-\vec v_1\tau+\vec w\tau=(\vec w-\vec v_1)\tau .\] Для любого \(\tau\) вектор \(\vec\rho\) направлен по \(\vec w-\vec v_1\), значит, шлейф — прямая в направлении \(\vec w-\vec v_1\). Для второго паровоза так же: шлейф идёт вдоль \(\vec w-\vec v_2\).

2. Снимаем направления с рисунка. Первый шлейф поднимается на \(0{,}34\) своей длины по оси \(x\) (угол около \(19^\circ\) к рельсам), второй — на \(0{,}54\) (около \(28^\circ\)); по рисунку первый паровоз левее, и шлейфы идут вверх навстречу друг другу. Значит, \[\vec w-\vec v_1\parallel(1;\,0{,}34),\qquad \vec w-\vec v_2\parallel(-1;\,0{,}54)\] (для второго шлейф идёт влево от паровоза, к первому). Проекции: \(\vec v_1=(-50;\,0)\) и \(\vec v_2=(70;\,0)\) км/ч.

3. Два условия на один вектор. Неизвестен \(\vec w=(w_x;\,w_y)\). Из направления первого шлейфа \(w_y=0{,}34\,(w_x+50)\), из второго \(w_y=0{,}54\,(70-w_x)\). Приравниваем: \[0{,}34\,(w_x+50)=0{,}54\,(70-w_x)\ \Rightarrow\ 0{,}88\,w_x=37{,}8-17\ \Rightarrow\ w_x\approx23{,}6\text{ км/ч},\quad w_y\approx25{,}0\text{ км/ч}.\] То же построением: откладываем из одной точки \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\); через конец каждого проводим прямую, параллельную своему шлейфу; их пересечение — конец вектора \(\vec w\).

Обратите внимание: шлейфы на рисунке не пересекаются в «точке источника» — их пересечение на фотографии ничего не значит: это дым, вышедший в разное время. Скорость ветра даёт пересечение прямых на диаграмме скоростей, а не на фотографии.

Ответ. В буквах: \(\vec w=\vec v_1+k_1\,\vec e_1=\vec v_2+k_2\,\vec e_2\), где \(\vec e_{1,2}\) — единичные векторы вдоль шлейфов; в числах \(w=\sqrt{w_x^2+w_y^2}\approx\sqrt{23{,}6^2+25{,}0^2}\approx34\text{ км/ч}\), угол к рельсам \(\operatorname{arctg}(25{,}0/23{,}6)\approx47^\circ\).

Проверка. Относительная скорость воздуха у первого паровоза \(\vec w-\vec v_1=(73{,}6;\,25{,}0)\) км/ч: наклон \(25{,}0/73{,}6=0{,}34\), как на рисунке; у второго \(\vec w-\vec v_2=(-46{,}4;\,25{,}0)\): наклон \(25{,}0/46{,}4=0{,}54\). Точность ответа определяется точностью замера углов по снимку: при отклонении наклонов на \(\pm0{,}02\) скорость меняется на 1–2 км/ч. Смысл: ветер умеренный, порядка 10 м/с, и дует так, что его составляющая вдоль пути близка к скорости второго паровоза — поэтому у второго паровоза шлейф идёт круче.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта наблюдателя: она движется равномерно, значит, тело в ней по-прежнему движется с ускорением \(\vec g\). Что вы знаете о положении тела относительно наблюдателя в моменты пересечения?

Ответ

1) Траектория — вертикальный отрезок: тело поднимается по вертикальной прямой, останавливается (в наблюдательной системе) и падает назад по той же прямой; 2) пути за последовательные промежутки \(\tau\) относятся как \(1:2:3:4:\dots\) (первый равен \(g\tau^2\)).

Решение

Что происходит. Наблюдатель движется равномерно, поэтому его система отсчёта инерциальна, и в ней тело движется с тем же ускорением \(\vec g\), что и на земле. Условие «оба раза тело впереди на одном и том же расстоянии» означает, что в этой системе тело в моменты \(t_1\) и \(t_2=t_1+\tau\) находится в одной и той же точке. Тело с постоянным ускорением возвращается в ту же точку, только если оно движется по прямой, параллельной ускорению, — по вертикали.

Обозначения. \(\vec u\) — скорость наблюдателя, \(A_1,A_2\) — его положения в моменты \(t_1,t_2\), \(B_1,B_2\) — положения тела в эти моменты на траектории-параболе, \(d\) — расстояние от наблюдателя до тела. По условию \(B_1,B_2\) лежат на прямой пути наблюдателя, \(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{A_2B_2}\) (одинаковое направление вдоль пути, «впереди», и одинаковая длина \(d\)). Время \(t_{\text{в}}=(t_1+t_2)/2\) — середина интервала.

Пункт 1. Траектория в системе наблюдателя.

1. Радиус-вектор тела относительно наблюдателя \(\vec r=\overrightarrow{AB}\). Относительное ускорение равно разности ускорений: наблюдатель не ускоряется, тело имеет \(\vec g\), поэтому \(\ddot{\vec r}=\vec g\). Поэтому для \(s=t-t_{\text{в}}\) \[\vec r(s)=\vec r_{\text{в}}+\vec w\,s+\frac{\vec g\,s^2}{2},\] где \(\vec r_{\text{в}}\) и \(\vec w\) — относительные положение и скорость в момент \(t_{\text{в}}\).

2. Условие \(\vec r(t_1)=\vec r(t_2)\) означает \(\vec r(-\tau/2)=\vec r(\tau/2)\). Вычитаем: \(\vec w\,\tau=0\), то есть \(\vec w=0\). Тело в момент \(t_{\text{в}}\) относительно наблюдателя неподвижно, и \[\vec r(s)=\vec r_{\text{в}}+\frac{\vec g\,s^2}{2}.\] Это отрезок прямой, параллельной \(\vec g\), то есть вертикали (наблюдатель видит тело движущимся только вверх и вниз). Вверх оно уходит, пока \(s<0\), останавливается при \(s=0\) (в момент \(t_{\text{в}}\)) и по той же прямой падает вниз, как мячик, брошенный вертикально. Ось этой вертикали стоит на расстоянии \(d\cos\alpha\) от наблюдателя (\(\alpha\) — угол наклона пути к горизонту). Относительно земли в момент \(t_{\text{в}}\) скорость тела равна скорости наблюдателя \(\vec u\) — это и есть «высшая точка» в системе наблюдателя.

Пункт 2. Пути за последовательные промежутки \(\tau\).

3. Измерения начинаются в момент \(t_2\), то есть при \(s=\tau/2\). Расстояние от высшей точки (в системе наблюдателя) до положения при \(s\) равно \(h(s)=\dfrac{g s^2}{2}\) (свободное падение с нулевой начальной скоростью). Заметим, что тело падает (\(s>0\)) по одному направлению (вниз), пройденный путь равен разности \(h\).

4. Моменты измерений: \(s_k=\dfrac\tau2+k\tau\), \(k=0,1,2,\dots\) Путь за \(k\)-й промежуток \[S_k=h(s_k)-h(s_{k-1})=\frac g2\Bigl[\bigl(\tfrac\tau2+k\tau\bigr)^2-\bigl(\tfrac\tau2+(k-1)\tau\bigr)^2\Bigr]=\frac g2\,\tau^2\,(2k)=k\,g\tau^2 ,\quad k=1,2,3,\dots\] (использовано \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): разность \(\tau\), сумма \(2k\tau\)). Первый путь \(S_1=g\tau^2\), второй \(S_2=2g\tau^2\), третий \(S_3=3g\tau^2\).

Обратите внимание: отсчёт начинается не от остановки тела, а через \(\tau/2\) после неё, поэтому отношение \(1:2:3\) — а не \(1:3:5\), как при падении из состояния покоя с самого начала отсчёта. Дальше пути растут на одно и то же \(g\tau^2\).

Ответ. Траектория — вертикальный отрезок; \(S_1:S_2:S_3:\dots=1:2:3:\dots\), \(S_k=k\,g\tau^2\).

Проверка. Размерность: \([g\tau^2]=\text{м}\). Числом при \(g=1\), \(\tau=2\): глубина под высшей точкой при \(s=1,3,5,7\) равна \(0{,}5;\,4{,}5;\,12{,}5;\,24{,}5\), разности \(4;\,8;\,12\) — как \(1:2:3\) при \(g\tau^2=4\). Смысл: первый путь \(g\tau^2\) тело проходит, начав со скоростью \(g\tau/2\) вниз, — та самая скорость, с которой оно «вернулось» в точку пересечения (в момент \(t_1\) оно шло вверх с этой же скоростью).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Масса, перелитая туда и обратно, одна и та же — иначе объёмы не вернулись бы. Составьте уравнение теплового баланса отдельно для каждой смеси.

Ответ

Переливали \(V=\dfrac17\text{ л}\approx0{,}14\text{ л}\approx0{,}14\text{ кг}\) воды (столько же туда и обратно); температура воды во втором сосуде после первого переливания была \(25\text{ }^\circ\text{C}\).

Решение

Что происходит. Первое переливание — это смешивание горячей воды малой массы \(x\) с холодной водой во втором сосуде, второе — возврат такой же массы тёплой воды (\(T_2\ne20\text{ }^\circ\text{C}\)) в горячий сосуд. Оба раза работает уравнение теплового баланса: тепло, отданное более горячей водой, равно теплу, полученному более холодной; потерь нет (сосуды теплоизолированы), теплоёмкостью сосудов пренебрегаем.

Обозначения. \(x\) — масса (в килограммах; плотность воды \(1\text{ кг/л}\), поэтому численно \(x\) равно объёму в литрах), перелитая в каждую сторону. \(T_2\) — температура воды во втором сосуде после выравнивания. Начальные: \(m_1=5\text{ кг}\) при \(t_1=60\text{ }^\circ\text{C}\), \(m_2=1\text{ кг}\) при \(t_2=20\text{ }^\circ\text{C}\). Удельная теплоёмкость воды \(c\) сокращается.

1. Первое переливание. Уравнение теплового баланса для воды второго сосуда: масса \(x\) при \(60\text{ }^\circ\text{C}\) остывает до \(T_2\), масса \(m_2=1\) при \(20\text{ }^\circ\text{C}\) нагревается до \(T_2\): \[c\,x\,(60-T_2)=c\,m_2\,(T_2-20)\ \Rightarrow\ T_2=\frac{20+60x}{1+x},\qquad 60-T_2=\frac{40}{1+x}.\]

2. Возврат. Перелито обратно столько, чтобы объёмы стали прежними: во втором сосуде снова 1 кг, в первом \(5\) кг. Значит, масса возврата равна \(x\) (масса, ушедшая из второго сосуда, равна \(x\), потому что там было \(1+x\), стало \(1\)). Уравнение теплового баланса для первого сосуда: вода \((5-x)\) при \(60\text{ }^\circ\text{C}\) смешивается с водой \(x\) при \(T_2\), итоговая температура \(t=59\text{ }^\circ\text{C}\): \[(5-x)\cdot60+x\,T_2=5\,t\ \Rightarrow\ x\,(60-T_2)=5\,(60-t)=5\ \text{(в градусах}\cdot\text{кг)}.\]

3. Собираем. Подставляем \(60-T_2\) из пункта 1: \[\frac{40\,x}{1+x}=5\ \Rightarrow\ 40x=5+5x\ \Rightarrow\ x=\frac17\text{ л}.\] Обратите внимание: в первый сосуд возвращается вода не при \(20\text{ }^\circ\text{C}\), а при \(T_2\): если считать её температуру равной \(20\text{ }^\circ\text{C}\), получится \(x=\tfrac{5}{40}=0{,}125\text{ л}\) — другой ответ. Температура \(T_2\) тоже определяется только после первого переливания.

Ответ. В буквах: \(x=\dfrac{m_1m_2\,(t_1-t)}{m_2(t_1-t_2)-m_1(t_1-t)}\); в числах \(x=\dfrac{5\cdot1\cdot1}{40-5}=\dfrac17\text{ л}\approx0{,}14\text{ л}\); температура во втором сосуде после первого переливания \(T_2=\dfrac{20+60/7}{8/7}=25\text{ }^\circ\text{C}\).

Проверка. Подстановка: \(T_2=25\text{ }^\circ\text{C}\); первый сосуд: \(\dfrac{(5-\frac17)\cdot60+\frac17\cdot25}{5}=\dfrac{291{,}43+3{,}57}{5}=59\text{ }^\circ\text{C}\), как в условии. Предел: \(x\to0\) даёт \(t\to60\text{ }^\circ\text{C}\) (воду не переливали), \(x=1\) даёт \(56\text{ }^\circ\text{C}\): на графике \(t_1(x)=60-\dfrac{8x}{1+x}\) значение \(59\) достигается при \(x=\tfrac17\), и других решений нет, потому что функция монотонна.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Амперметр — тоже сопротивление, и у всех четырёх оно одинаковое. Напряжение на нём равно току, умноженному на это сопротивление, поэтому по показаниям \(A_1\) и \(A_2\) видно, как соотносятся потенциалы узлов.

Ответ

Через \(A_3\) течёт \(1\text{ А}\) (от нижнего узла к верхнему), через \(A_4\) — \(4\text{ А}\), через резистор — \(1\text{ А}\); \(\dfrac{r}{R}=\dfrac15=0{,}2\).

Решение

Что происходит. Амперметр с внутренним сопротивлением \(r\) — это обычный резистор; три закона: закон Ома для участка, сохранение заряда в узле (первое правило Кирхгофа) и то, что работа поля по замкнутому контуру равна нулю (разности потенциалов вдоль двух путей между одними узлами одинаковы). Главная идея: все амперметры одинаковы, поэтому напряжение на каждом равно \(I\,r\), и узловые потенциалы выражаются через токи в долях \(r\).

Обозначения. \(L\) и \(P\) — левый и правый узлы, к которым подключён источник; \(M_1\) — верхний, \(M_2\) — нижний узлы, между которыми стоит \(A_3\). Пусть ток источника идёт слева направо (\(L\to P\)): при обратной полярности все токи меняют направление, числа те же. \(r\) — сопротивление амперметра, \(I_k\) — ток через амперметр \(A_k\), \(I_R\) — ток через \(R\); направление тока в \(A_3\) заранее неизвестно, оно получится из потенциалов.

1. Токи через \(A_1,A_2\) известны: \(I_1=2\text{ А}\) течёт от \(L\) к \(M_2\), \(I_2=3\text{ А}\) — от \(L\) к \(M_1\).

2. Разность потенциалов между \(M_1\) и \(M_2\). Закон Ома для участка \(A_2\): \(\varphi_L-\varphi_{M_1}=I_2r=3r\cdot(1\text{ А})\); для \(A_1\): \(\varphi_L-\varphi_{M_2}=I_1r=2r\cdot(1\text{ А})\). Вычитаем: \[\varphi_{M_2}-\varphi_{M_1}=(3-2)\,r\cdot1\text{ А}=r\cdot1\text{ А}.\] Нижний узел \(M_2\) потенциально выше верхнего \(M_1\), поэтому ток через \(A_3\) идёт снизу вверх, от \(M_2\) к \(M_1\), и по закону Ома для \(A_3\) его значение \(I_3=\dfrac{\varphi_{M_2}-\varphi_{M_1}}{r}=1\text{ А}\).

3. Токи через \(A_4\) и \(R\). Закон сохранения заряда для узла \(M_1\): в него втекает \(I_2+I_3=3+1=4\text{ А}\), вытекает через \(A_4\); значит \(I_4=4\text{ А}\). Для узла \(M_2\): втекает \(I_1=2\) А, вытекает \(I_3=1\) А вверх и через резистор \(I_R\); \(I_R=2-1=1\text{ А}\). Проверка узла \(P\): \(I_4+I_R=5\text{ А}=I_1+I_2\).

4. Отношение сопротивлений. Узлы \(M_1\) и \(M_2\) соединены с \(P\): \(\varphi_{M_1}-\varphi_P=I_4r=4r\cdot1\text{ А}\) (через \(A_4\)), \(\varphi_{M_2}-\varphi_P=I_RR=R\cdot1\text{ А}\) (через резистор). Вычитаем: \(\varphi_{M_2}-\varphi_{M_1}=(R-4r)\cdot1\text{ А}=r\cdot1\text{ А}\), откуда \(R=5r\), \(\dfrac rR=\dfrac15\).

Обратите внимание: ток через \(A_3\) идёт против «ожидаемого» направления сверху вниз — мы не угадывали его, а получили знак из потенциалов.

Ответ. \(I_3=1\text{ А}\), \(I_4=4\text{ А}\), \(I_R=1\text{ А}\), \(\dfrac rR=\dfrac15=0{,}2\).

Проверка. На диаграмме потенциалов (в единицах \(r\cdot1\text{ А}\), \(\varphi_P=0\)): \(\varphi_{M_1}=4\), \(\varphi_{M_2}=5\), \(\varphi_L=7\) и со стороны \(A_2\) (\(4+3\)), и со стороны \(A_1\) (\(5+2\)): путь через любой амперметр даёт тот же \(\varphi_L\), замкнутый контур \(L\to M_1\to M_2\to L\) даёт \(-3+1+2=0\). Второй способ: напряжение между \(L\) и \(P\) по нижнему пути \(A_1+R\) равно \(2r+R\cdot1=7r\), по верхнему \(A_2+A_4\) равно \(3r+4r=7r\), что при \(R=5r\) совпадает. Смысл: резистор в пять раз больше амперметра, поэтому нижний узел выше верхнего по потенциалу и ток \(A_3\) идёт вверх.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.