Всесоюзная, 1979/80, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Стержни \(B_1C_2\) и \(C_1B_2\) пересекаются в \(A_1\) и соединены там шарниром, поэтому у всех трёх ромбов один и тот же угол. Выразите координаты вершин \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) через этот угол и сторону самого малого ромба.

Ответ

\(v_{A_1}=\dfrac{v_0}{2}\);  \(v_{A_2}=\dfrac{5}{6}\,v_0\);  \(v_{B_1}=\dfrac{\sqrt2}{4}\,v_0\approx0{,}35\,v_0\), направлена под углом \(45^\circ\) к горизонту, к оси конструкции (вниз и вправо у верхней вершины).

Решение

Что происходит. Это шарнирный пантограф. Стержни \(B_1C_2\) и \(C_1B_2\) по рисунку пересекаются в вершине \(A_1\) и скреплены шарниром, так же устроена вершина \(A_2\). Поэтому сторона \(B_1A_1\) первого ромба продолжается стороной \(A_1C_2\) второго, и все три ромба имеют один и тот же угол при вершинах на оси. Конструкция имеет одну степень свободы: задав угол, мы определяем положения всех вершин. Главная идея: записать координаты \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(B_1\) как функции одного угла и продифференцировать по времени.

Обозначения. Стороны ромбов \(3a\), \(2a\), \(a\); \(\alpha\) — угол между стороной ромба и осью \(x\), проходящей через вершины \(A_0,A_1,A_2,A_3\) (половина угла ромба при вершине на оси). Ось \(x\) направлена вдоль скорости \(\vec v_0\), начало — в закреплённой вершине \(A_0\), ось \(y\) — вверх.

1. Координаты вершин на оси. Диагональ ромба со стороной \(b\) и углом \(\alpha\) между стороной и диагональю равна \(2b\cos\alpha\). Вершины \(A_0,A_1,A_2,A_3\) лежат на оси симметрии (расположение следует из того, что стержни шарнирно скреплены и ромбы одинаковы по углу), поэтому \[x_1=6a\cos\alpha,\qquad x_2=(6+4)\,a\cos\alpha=10a\cos\alpha,\qquad x_3=(6+4+2)\,a\cos\alpha=12a\cos\alpha .\] Отсюда при любом \(\alpha\) выполнено \(x_1=\dfrac{x_3}{2}\) и \(x_2=\dfrac{5}{6}x_3\).

2. Скорости \(A_1\) и \(A_2\). Так как отношения координат не меняются со временем, то такие же отношения у скоростей: \(v_{A_1}=\dfrac{dx_1}{dt}=\dfrac12\dfrac{dx_3}{dt}\), \(v_{A_2}=\dfrac56\dfrac{dx_3}{dt}\). Скорость \(A_3\) равна \(v_0\). Следовательно, \(v_{A_1}=\dfrac{v_0}{2}\) и \(v_{A_2}=\dfrac56v_0\) — вдоль оси, в сторону \(\vec v_0\). Прямых углов для этого результата не требуется: он верен в любой момент.

3. Скорость \(B_1\). Стержень \(A_0B_1\) длиной \(3a\) закреплён в точке \(A_0\) и может только вращаться вокруг неё. Значит, точка \(B_1\) движется по окружности радиуса \(3a\) с центром \(A_0\), и её скорость перпендикулярна стержню \(A_0B_1\). Модуль: \(v_{B_1}=3a\,|\dot\alpha|\). Угловую скорость находим из движения \(A_3\): \[v_0=\left|\frac{dx_3}{dt}\right|=12a\sin\alpha\,|\dot\alpha|,\qquad |\dot\alpha|=\frac{v_0}{12a\sin\alpha}.\] Тогда в общем виде \[v_{B_1}=3a\,|\dot\alpha|=\frac{v_0}{4\sin\alpha}.\] Все углы конструкции прямые, значит каждый ромб — квадрат, \(\alpha=45^\circ\), \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}\): \[v_{B_1}=\frac{v_0}{4\cdot\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{\sqrt2}{4}\,v_0\approx0{,}35\,v_0 .\] Стержень \(A_0B_1\) идёт под \(45^\circ\) вверх вправо, поэтому скорость \(B_1\), перпендикулярная ему, направлена под \(45^\circ\) вниз вправо: проекции на оси \(v_x=v_y=\dfrac{v_0}{4}\) по модулю (\(B_1\) приближается к оси, потому что при растяжении \(\alpha\) уменьшается).

Обратите внимание: скорость \(B_1\) не лежит на оси. Скорости вершин \(A_i\) найдены по их горизонтальным координатам, но \(B_1\) движется по окружности вокруг \(A_0\), и её скорость перпендикулярна стержню \(A_0B_1\).

Ответ: \(v_{A_1}=\dfrac{v_0}{2}\); \(v_{A_2}=\dfrac56v_0\); \(v_{B_1}=\dfrac{\sqrt2}{4}v_0\approx0{,}35\,v_0\), под \(45^\circ\) к оси конструкции.

Проверка. Второй способ для \(B_1\): \(x_{B_1}=3a\cos\alpha=\dfrac{x_3}{4}\), поэтому \(v_x=\dfrac{v_0}{4}\) при любом \(\alpha\); из \(x_{B_1}^2+y_{B_1}^2=9a^2\) при \(\alpha=45^\circ\) имеем \(|v_y|=v_x=\dfrac{v_0}{4}\), а модуль \(\dfrac{\sqrt2}{4}v_0\) — как найден выше. Предел: когда конструкция почти вытянута (\(\alpha\to0\)), вершина \(B_1\) движется почти вертикально и быстро: \(v_{B_1}=\dfrac{v_0}{4\sin\alpha}\to\infty\), потому что малое смещение \(A_3\) вдоль оси требует большого поворота стержней; при \(\alpha\to90^\circ\) получаем \(v_0/4\) — вдоль оси.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сила сопротивления растёт со скоростью, и у падения с постоянной скоростью она уравновешивает силу тяжести. Два момента с известным ускорением позволят найти коэффициент сопротивления, а значит, установившуюся скорость. След на стекле лежит вдоль скорости капли относительно автомобиля.

Ответ

Скорость установившегося падения \(v_{\text{уст}}=15\) м/с, скорость автомобиля \(v_{\text{а}}=15\) м/с \(=54\) км/ч \(<60\) км/ч, поэтому инспектор не оштрафует водителя.

Решение

Что происходит. На каплю действуют сила тяжести \(m\vec g\) вниз и сила сопротивления воздуха \(\vec F_{\text{с}}=k\vec v\) вверх, направленная против скорости, \(F_{\text{с}}=kv\). Пока капля разгоняется, \(F_{\text{с}}<mg\) и ускорение \(a>0\) направлено вниз; когда \(kv=mg\), ускорение равно нулю и скорость перестаёт расти. Затем скорость капли относительно земли складывается со скоростью автомобиля, и след на стекле идёт вдоль относительной скорости. Главная идея: из одного момента с известными \(a\) и \(v_1\) найти \(k/m\), а по нему — установившуюся скорость.

Обозначения. Ось \(y\) — вверх, \(g=10\) м/с\(^2\); \(v_1=7{,}5\) м/с и \(a_1=5\) м/с\(^2\) — данные момента; \(v_{\text{уст}}\) — установившаяся скорость падения; \(v_{\text{а}}\) — скорость автомобиля.

1. Второй закон Ньютона для капли в момент \(v_1\). Капля движется вниз с ускорением \(a_1\), направленным вниз. В проекции на ось \(y\) (вверх): \[kv_1-mg=-ma_1\quad\Rightarrow\quad \frac{k}{m}=\frac{g-a_1}{v_1}=\frac{10-5}{7{,}5}\ \text{с}^{-1}=\frac23\ \text{с}^{-1}.\] Формула \(F_{\text{с}}=kv\) дана в условии, поэтому \(k/m\) — постоянная величина на всём падении.

2. Установившаяся скорость. Вблизи земли скорость постоянна, ускорение равно нулю, второй закон Ньютона: \(kv_{\text{уст}}=mg\). Отсюда \[v_{\text{уст}}=\frac{g}{k/m}=\frac{gv_1}{g-a_1}=\frac{10\cdot7{,}5}{5}\ \text{м/с}=15\ \text{м/с}.\] Обратите внимание: значение \(g=10\) м/с\(^2\) взято округлённым; при \(g=9{,}8\) м/с\(^2\) получилось бы \(v_{\text{уст}}\approx15{,}3\) м/с, ответ (\(\approx55\) км/ч) тот же по существу.

3. Скорость автомобиля. Ветра нет, поэтому относительно земли капля падает вертикально со скоростью \(v_{\text{уст}}\). Относительно автомобиля скорость капли \(\vec v_{\text{отн}}=\vec v_{\text{к}}-\vec v_{\text{а}}\): вниз со скоростью \(v_{\text{уст}}\) и назад со скоростью \(v_{\text{а}}\). Капля прилипает к боковому (вертикальному) стеклу, её след идёт вдоль \(\vec v_{\text{отн}}\) и составляет с вертикалью угол \(45^\circ\): \[\operatorname{tg}45^\circ=\frac{v_{\text{а}}}{v_{\text{уст}}}\quad\Rightarrow\quad v_{\text{а}}=v_{\text{уст}}=15\ \text{м/с}=54\ \text{км/ч}.\]

Ответ: \(v_{\text{уст}}=\dfrac{gv_1}{g-a_1}=15\) м/с; \(v_{\text{а}}=v_{\text{уст}}\operatorname{tg}45^\circ=15\) м/с \(=54\) км/ч \(<60\) км/ч — нарушения нет.

Проверка. Размерность \(\dfrac{gv_1}{g-a_1}\) — м/с. Подстановка: ускорение в момент скорости \(v\) равно \(a=g\left(1-\dfrac{v}{v_{\text{уст}}}\right)\); при \(v_1=7{,}5\) м/с имеем \(a=10\left(1-\dfrac12\right)=5\) м/с\(^2\), как в условии. Пределы: при \(v=0\) получаем \(a=g\), при \(v=v_{\text{уст}}\) получаем \(a=0\). Для перевода \(15\ \text{м/с}\cdot3{,}6=54\ \text{км/ч}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Пока в ведре есть лёд, температура смеси остаётся \(0\,{}^\circ\text{C}\) — вся полученная теплота идёт на плавление. Когда лёд растаял, та же мощность греет воду, и по наклону графика эту мощность можно найти.

Ответ

\(m_{\text{л}}\approx1{,}2\) кг.

Решение

Что происходит. Комната передаёт ведру теплоту. Пока в ведре есть лёд, смесь остаётся при температуре плавления, и вся теплота идёт на плавление; на графике — горизонтальный участок от \(t=0\) до \(t_1=50\) мин. Когда лёд растаял, в ведре только вода массой \(M=10\) кг, и та же теплота нагревает её: график идёт вверх. Главная идея: тепловая мощность \(P\) постоянна, находим её по нагреву воды и затем применяем к таянию.

Обозначения. \(M=10\) кг — масса смеси (после таяния — масса воды), \(m_{\text{л}}\) — искомая масса льда, \(P\) — мощность теплообмена, \(t_1=50\) мин \(=3000\) с — время таяния.

1. Мощность по нагреву воды. На участке после \(t_1\) вся смесь — вода. За малое время \(dt\) она получает \(P\,dt=Mc\,dT\). Из графика температура растёт на \(2\,{}^\circ\text{C}\) за 10 мин, то есть \(\dfrac{dT}{dt}=\dfrac{2\text{ К}}{600\text{ с}}=\dfrac1{300}\text{ К/с}\): \[P=Mc\,\frac{dT}{dt}=10\cdot4200\cdot\frac1{300}\text{ Вт}=140\text{ Вт}.\] Прямая на графике означает, что \(P\) постоянна.

2. Теплота на плавление. Пока температура \(0\,{}^\circ\text{C}\), теплота идёт только на плавление льда; закон сохранения энергии для смеси за время \(t_1\): \(Pt_1=\lambda m_{\text{л}}\). Отсюда \[m_{\text{л}}=\frac{Pt_1}{\lambda}=\frac{Mc\,\frac{dT}{dt}\,t_1}{\lambda}=\frac{140\cdot3000}{3{,}4\cdot10^5}\text{ кг}\approx1{,}2\text{ кг}.\] Обратите внимание: график после \(50\) мин идёт по прямой, значит, поток теплоты практически не менялся и пока ведро было при \(0\,{}^\circ\text{C}\): оценка по «такой же мощности» оправдана. Теплоёмкость ведра не учитываем по условию.

Ответ: \(m_{\text{л}}=\dfrac{Mc\,(dT/dt)\,t_1}{\lambda}\approx1{,}2\) кг.

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\text{кг}\cdot\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\cdot\text{К/с}\cdot\text{с}}{\text{Дж/кг}}=\text{кг}\). Второй способ: за 50 мин при мощности \(P\) ведро получает \(Pt_1=4{,}2\cdot10^5\) Дж; это теплота плавления \(\lambda m_{\text{л}}\) при \(m_{\text{л}}=\dfrac{4{,}2\cdot10^5}{3{,}4\cdot10^5}\approx1{,}2\) кг, и она же нагрела бы 10 кг воды на 10 К. Знак: чем быстрее растёт температура воды, тем больше \(P\) и тем больше льда успело растаять за те же 50 мин — ответ растёт с \(dT/dt\), как и должно быть.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Если ток через \(R_1\) равен нулю, то напряжение на нём тоже нуль. Найдите тогда напряжение на \(R_3\) и ток через \(R_2\).

Ответ

\(\dfrac{U_1}{U_2}=\dfrac{R_3}{R_2+R_3}\), то есть \(U_1=U_2\,\dfrac{R_3}{R_2+R_3}\) (и \(U_1<U_2\)); от \(R_1\) результат не зависит.

Решение

Что происходит. Левый источник даёт напряжение \(U_1\), правый — \(U_2\), средний резистор \(R_3\) общий. Ток через \(R_1\) нулевой, если потенциалы его концов совпадают: потенциал левой клеммы «\(+\)» равен \(U_1\) (за ноль принят нижний общий провод), значит, потенциал узла \(M\) тоже должен быть равен \(U_1\). Главная идея: при \(I_1=0\) левый источник «не работает», и цепь сводится к делителю напряжения из \(R_2\) и \(R_3\).

Обозначения. \(M\) — узел, где сходятся \(R_1\), \(R_2\) и \(R_3\); \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\) — токи через \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) (ток \(I_2\) — от правого источника к узлу, \(I_3\) — вниз через \(R_3\)); потенциал нижнего провода принят за ноль.

1. Напряжение на \(R_1\). По закону Ома для резистора \(R_1\): \(U_{R_1}=I_1R_1=0\). Следовательно, потенциал узла \(M\) равен потенциалу верхней клеммы левого источника, то есть \(\varphi_M=U_1\).

2. Токи через \(R_2\) и \(R_3\). Закон Ома для \(R_3\): \(I_3=\dfrac{\varphi_M}{R_3}=\dfrac{U_1}{R_3}\). Для \(R_2\): на нём напряжение \(U_2-\varphi_M=U_2-U_1\), поэтому \(I_2=\dfrac{U_2-U_1}{R_2}\).

3. Закон сохранения заряда в узле \(M\). Заряды в узле не накапливаются: \(I_2=I_1+I_3\), при \(I_1=0\) имеем \(I_2=I_3\): \[\frac{U_2-U_1}{R_2}=\frac{U_1}{R_3}\quad\Rightarrow\quad U_1=U_2\,\frac{R_3}{R_2+R_3}.\] Обратите внимание: сопротивление \(R_1\) в ответ не вошло: пока ток через него нулевой, оно ничего не определяет.

Ответ: \(\dfrac{U_1}{U_2}=\dfrac{R_3}{R_2+R_3}\). Тогда \(U_1<U_2\), а на \(R_1\) напряжения нет.

Проверка. Предел: \(R_3\to\infty\) (нет пути вниз) — получаем \(U_1=U_2\): два одинаково включённых источника не создают тока ни в \(R_1\), ни в \(R_2\). Другой предел: \(R_3\to0\) — \(U_1\to0\): узел \(M\) соединён с нижним проводом, потенциал узла равен нулю, и ток \(R_1\) нулевой только при \(U_1=0\). Второй способ: схема из \(U_2\), \(R_2\), \(R_3\) — делитель напряжения; напряжение на \(R_3\) равно \(U_2R_3/(R_2+R_3)\) и должно совпасть с \(U_1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.