Всесоюзная, 1980/81, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Выброс пробки — взрыв, и при нём сохраняется импульс. Рассмотрите его в системе отсчёта, где ракета с пробкой в нижней точке покоятся: чем этот выброс отличается от вертикального старта?

Ответ

\(H=h+2\sqrt{Rh}=32\) м над уровнем земли (36 м над нижней точкой жёлоба); при таком запуске ракета поднимается вдвое выше, чем при вертикальном старте: часть энергии ракете передаёт пробка, которая летела вместе с ней и затормозилась.

Решение

Что происходит. Сжатый воздух выбрасывает пробку назад, а ракету толкает вперёд. Пробка массивная, поэтому при выбросе её скорость почти не меняется, а ракета получает скорость \(v\) относительно пробки. Химической энергии воздуха хватает на одну и ту же добавку \(v\), с какой бы скоростью ни двигалась ракета до выброса: так следует из закона сохранения импульса и закона сохранения энергии. На рельсах ракета уже летит со скоростью \(v_0\), и добавка прибавляется к ней. Дальше остаётся закон сохранения механической энергии при движении по гладким рельсам.

Обозначения. \(M\) — масса ракеты, \(m\gg M\) — масса пробки, \(E\) — энергия, которую выделяет сжатый воздух при выбросе, \(v_0\) — скорость в нижней точке до срабатывания.

1. Вертикальный старт. За короткое время выброса сила тяжести не меняет импульс системы ракета + пробка заметно, а силы давления воздуха внутренние, поэтому закон сохранения импульса системы в проекции на вертикаль даёт \(Mv=mu\), где \(v\) — скорость ракеты, \(u\) — скорость пробки, направленная вниз. Закон сохранения энергии для системы: энергия воздуха переходит в кинетическую энергию обоих тел, \[E=\frac{Mv^2}{2}+\frac{mu^2}{2}=\frac{Mv^2}{2}\Bigl(1+\frac Mm\Bigr)\approx\frac{Mv^2}{2}.\] Ракета поднимается без сопротивления до остановки: \(Mv^2/2=Mgh\), откуда \[v=\sqrt{2gh}\approx17{,}7\text{ м/с},\qquad E\approx Mgh .\]

2. Скорость в нижней точке. Ракета скользит от верхнего края жёлоба без начальной скорости и опускается на высоту \(R\). Закон сохранения механической энергии (реакция рельсов перпендикулярна движению и работы не совершает): \[\frac{(M+m)v_0^2}{2}=(M+m)gR\quad\Rightarrow\quad v_0=\sqrt{2gR}\approx8{,}85\text{ м/с}.\] В нижней точке скорость горизонтальна, ракета и пробка движутся вместе.

3. Выброс пробки в нижней точке. Закон сохранения импульса системы ракета + пробка в проекции на касательную к рельсам (за короткое время выброса силой тяжести и реакцией опоры, направленными вертикально, можно пренебречь): ракета после выброса имеет скорость \(v_0+w\), пробка — \(v_0-\dfrac{M}{m}w\), где \(w\) — прибавка скорости ракеты: \[(M+m)v_0=M(v_0+w)+m\Bigl(v_0-\frac Mm w\Bigr).\] Закон сохранения энергии для этой системы: кинетическая энергия после выброса минус кинетическая энергия до выброса равна \(E\): \[E=\frac{M(v_0+w)^2}{2}+\frac{m}{2}\Bigl(v_0-\frac Mm w\Bigr)^2-\frac{(M+m)v_0^2}{2}=\frac{Mw^2}{2}\Bigl(1+\frac Mm\Bigr)\approx\frac{Mw^2}{2}.\] Слагаемые с \(v_0\) сократились — именно поэтому добавка не зависит от начальной скорости. Энергия \(E\) та же, что в пункте 1, значит \(w=v=\sqrt{2gh}\), и скорость ракеты сразу после срабатывания двигателя \[v_0+v=\sqrt{2gR}+\sqrt{2gh}\approx26{,}5\text{ м/с}.\]

4. Подъём. Дальше рельсы гладкие, и закон сохранения механической энергии ракеты справедлив до самого вылета. Пусть \(H_1\) — наибольшая высота над нижней точкой: \[\frac{M(v_0+v)^2}{2}=MgH_1\quad\Rightarrow\quad H_1=\frac{(\sqrt{2gR}+\sqrt{2gh})^2}{2g}=\bigl(\sqrt R+\sqrt h\bigr)^2=(2+4)^2\text{ м}=36\text{ м}.\] Рельсы кончаются на уровне земли, на высоте \(R\) над нижней точкой, и там направлены вертикально вверх (рис. 5): ракета вылетает вертикально со скоростью \(\sqrt{2g(H_1-R)}>0\) и дальше летит свободно, пока не остановится на высоте \(H_1\). Обратите внимание: \(36\) м отсчитаны от дна жёлоба, а в вопросе речь о высоте подъёма от места старта — от земли, то есть на \(R\) меньше: \[H=H_1-R=\bigl(\sqrt R+\sqrt h\bigr)^2-R=h+2\sqrt{Rh}=16+2\cdot8=32\text{ м}.\]

5. Объяснение с точки зрения энергии. При вертикальном старте \(E=Mgh\) целиком идёт ракете, и выше \(h\) она не поднимается. Здесь же простая оценка <<\(h+R=20\) м>> (спуск на \(R\) плюс прежняя энергия) неверна: ракета поднялась выше, хотя воздух выделил ту же энергию \(E=Mgh\). Посмотрим на энергию ракеты и пробки в системе отсчёта жёлоба. Кинетическая энергия ракеты выросла на \[\frac{M(v_0+v)^2}{2}-\frac{Mv_0^2}{2}=Mv_0v+\frac{Mv^2}{2}=Mv_0v+E,\] а кинетическая энергия пробки изменилась на \(\dfrac m2\Bigl[\bigl(v_0-\tfrac Mm v\bigr)^2-v_0^2\Bigr]\approx-Mv_0v\). Пробка летела вместе с ракетой, выброс её затормозил, и отнятая у пробки энергия \(Mv_0v\) досталась ракете. Полная энергия системы увеличилась ровно на \(E\), закон сохранения энергии выполнен. Пробка в вертикальном старте стояла на месте, и ей отдавать было нечего.

Проверка. Размерность: \(\sqrt{R}\) и \(\sqrt{h}\) — \(\sqrt{\text{м}}\), квадрат суммы — метры. Предел: при \(R\to0\) получаем \(H\to h\), то есть вертикальный старт. При \(R=h/4\) получаем \(H=2h\). Числом: \(v_0+v=26{,}5\) м/с, \(H_1=26{,}5^2/(2\cdot9{,}8)\approx35{,}8\) м, то есть 36 м от дна и 32 м от земли.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Поршень не пропускает тепло, и сосуд изолирован. Куда в конечном счёте попадает вся теплота \(\Delta Q\) и от чего зависит внутренняя энергия одноатомного газа?

Ответ

\(\Delta p=\dfrac{2\Delta Q}{3V_0}\approx6{,}7\cdot10^{2}\text{ Па}\) (давление выросло на \(0{,}67\) кПа).

Решение

Что происходит. Левый газ нагревается, давление слева растёт, и поршень сдвигается вправо: левый газ расширяется и сжимает правый. Теплота через поршень не передаётся — энергия переходит только в виде работы. Стенки сосуда неподвижны и теплоизолированы, поэтому система из двух газов не получает работы извне. Вся теплота \(\Delta Q\) в итоге остаётся внутри сосуда, в сумме внутренних энергий газов. Главная идея: записать закон сохранения энергии для обоих газов вместе и не следить за движением поршня.

Обозначения. Начальное давление \(p\) (поршень покоился, значит слева и справа оно было одинаковым), конечное \(p'\). \(V_1,V_2\) — начальные объёмы левой и правой частей, \(V_1'\), \(V_2'\) — конечные. Полный объём не меняется: \(V_1+V_2=V_1'+V_2'=V_0\).

1. Конечное состояние. Поршень остановился, то есть силы давления на него уравновешены: давление справа и слева одинаково и равно \(p'\). Кинетическая энергия поршня при остановке равна нулю: она перешла в тепло газов, вся энергия находится во внутренней энергии газов.

2. Внутренняя энергия. Гелий — одноатомный газ, его можно считать идеальным. Для идеального одноатомного газа \(U=\dfrac32\nu RT=\dfrac32pV\) (уравнение Менделеева — Клапейрона). Для двух газов вместе: \[U=\frac32\bigl(pV_1+pV_2\bigr)=\frac32\,pV_0,\qquad U'=\frac32\,p'V_0 .\] Начальное и конечное давления у обоих газов совпадают, поэтому положение поршня в формулу не вошло.

3. Закон сохранения энергии для обоих газов. Первое начало термодинамики для системы из двух газов за всё время процесса: изменение внутренней энергии равно сообщённой теплоте плюс работа внешних тел. Работа внешних тел равна нулю (стенки неподвижны), теплообмена с окружающими телами, кроме \(\Delta Q\), нет: \[U'-U=\Delta Q\quad\Rightarrow\quad\frac32\,(p'-p)\,V_0=\Delta Q .\] \[\Delta p=p'-p=\frac{2\Delta Q}{3V_0}=\frac{2\cdot100\text{ Дж}}{3\cdot0{,}1\text{ м}^3}\approx6{,}7\cdot10^{2}\text{ Па}.\]

Обратите внимание: ответ не зависит ни от начального положения поршня, ни от температур и количеств газа, ни от того, как поршень двигался. Работа левого газа над правым — это просто передача энергии внутри системы, в сумму \(U\) она не входит.

Проверка. Размерность: \(\text{Дж}/\text{м}^3=\text{Па}\). Предел: при \(V_0\to\infty\) тот же нагрев даёт \(\Delta p\to0\). Второй способ для частного случая — поршень сначала посередине, \(V_1=V_2=V_0/2\): если бы поршень был закреплён, нагрелся бы только левый газ, и давление слева выросло бы на \(\dfrac{2\Delta Q}{3V_1}=\dfrac{4\Delta Q}{3V_0}\), справа не изменилось бы; после освобождения поршня давление выравнивается на среднем значении \(\dfrac{2\Delta Q}{3V_0}\), как и получено.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Постройте столбец из произведений \(c\cdot A\). Что означает это произведение — теплоёмкость чего?

Ответ

Закон Дюлонга и Пти: \(cA\approx3R\approx25\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\). Магний: \(c\approx1{,}04\text{ Дж/(г}\cdot\text{К)}\); титан: \(c\approx0{,}52\text{ Дж/(г}\cdot\text{К)}\); железо: \(A\approx56\text{ г}\). Точность предсказаний около \(4\,\%\) (типичное отклонение \(2\)–\(3\,\%\), у висмута \(11\,\%\)).

Решение

Что происходит. В таблице есть два столбца данных, а искомая закономерность связывает их друг с другом. Атомная масса \(A\) в г/моль — масса моля вещества. Произведение \(cA\) — теплоёмкость одного моля, то есть молярная теплоёмкость. Для твёрдых тел молярная теплоёмкость при обычных температурах оказывается примерно одинаковой: нужно проверить это по данным таблицы и тогда пустые клеточки восстановятся из \(c=\text{const}/A\).

Обозначения. \(c\) — удельная теплоёмкость, \(A\) — число граммов в моле (численно атомная масса), \(C_\mu=cA\) — молярная теплоёмкость. Атомов в моле \(N_A\) у всех веществ одно и то же число.

1. Проверим гипотезу \(cA=\text{const}\). Перемножим числа из таблицы для всех десяти веществ, у которых известны обе величины:

Значения \(cA\) в \(\text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}\). Все они лежат около 25 Дж/(моль\(\cdot\)К), хотя \(c\) и \(A\) по отдельности отличаются в десятки раз (от \(0{,}128\) до \(3{,}52\) и от 7 до 209). Закономерность есть: молярная теплоёмкость твёрдых тел одинакова. Физический смысл — закон Дюлонга и Пти: каждый атом кристалла имеет три колебательные степени свободы, на каждую приходится энергия \(kT\) (кинетическая плюс потенциальная), и \[C_\mu=3N_Ak=3R=3\cdot8{,}31\approx24{,}9\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}.\] Это число близко к среднему по таблице (25,2). На графике — значения \(cA\) для десяти веществ; серая полоса — отклонение \(\pm4\,\%\) от \(3R\).

2. Заполним клеточки. Из \(cA=3R\) следует \(c=3R/A\) и \(A=3R/c\): \[c_{\text{Mg}}=\frac{24{,}9}{24}\approx1{,}04\ \frac{\text{Дж}}{\text{г}\cdot\text{К}},\qquad c_{\text{Ti}}=\frac{24{,}9}{48}\approx0{,}52\ \frac{\text{Дж}}{\text{г}\cdot\text{К}},\qquad A_{\text{Fe}}=\frac{24{,}9}{0{,}447}\approx56\text{ г}.\] В логарифмических осях закон \(c=3R/A\) — прямая с наклоном \(-1\). Известные вещества (чёрные точки) лежат на ней, предсказанные значения отмечены светлыми кружками.

3. Точность. Оценим разброс по данным: отклонения \(cA\) от \(3R\) составляют (в процентах) у Ag \(+2{,}2\), Al \(-2{,}5\), Au \(+1{,}1\), Co \(-1{,}3\), Cu \(-1{,}7\), Li \(-1{,}2\), Ni \(+3{,}5\), Pt \(+3{,}0\), V \(-1{,}0\) и у Bi \(+10{,}7\). Среднее квадратичное отклонение — около \(4\,\%\); без висмута — около \(2\,\%\). Поэтому предсказания надо считать верными с точностью порядка \(4\,\%\) (у большинства веществ отклонения \(1\)–\(3\,\%\), у висмута \(11\,\%\)). Реальные значения \(c_{\text{Mg}}=1{,}02\), \(c_{\text{Ti}}=0{,}52\) и \(A_{\text{Fe}}=55{,}8\) укладываются в эту оценку.

Обратите внимание: закон \(cA=3R\) приближённый — он верен при комнатной температуре и не работает у лёгких веществ с жёсткой решёткой (бериллий, алмаз), у которых \(cA\) заметно меньше.

Проверка. Размерность: \(c\,[\text{Дж/(г}\cdot\text{К)}]\cdot A\,[\text{г/моль}]=\text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}\) — совпадает с размерностью \(R\). Предельный случай: для тяжёлых атомов (\(A\approx200\)) \(c\approx0{,}125\), для лёгких (\(A=7\)) \(c\approx3{,}6\), как у Au и Li в таблице. Для железа второй способ: взять среднее \(cA=25{,}2\) из таблицы, \(A=25{,}2/0{,}447=56{,}4\) — те же \(56\) г.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Резистор нагревается током и остывает в воздухе, а его сопротивление зависит от температуры скачком. Сначала найдите из второго опыта коэффициент теплоотдачи, потом выясните, на какой ветви графика окажется резистор при \(80\) В.

Ответ

Максимальный ток \(I_{\max}=1{,}6\) А, минимальный \(I_{\min}=0{,}8\) А; период \(T\approx0{,}19\) с (нагрев от \(99\) до \(100\,{}^\circ\text{C}\) занимает \(0{,}092\) с, охлаждение — \(0{,}096\) с).

Решение

Что происходит. Резистор — нагреватель, мощность которого \(P=U^2/R\) зависит от температуры через скачок сопротивления с гистерезисом. Он остывает в воздухе по закону \(k(t-t_0)\). При \(60\) В нагрев и теплоотдача уравновешиваются при \(80\,{}^\circ\text{C}\). При \(80\) В равновесия нет: при \(R=50\) Ом нагрев сильнее теплоотдачи вплоть до \(100\,{}^\circ\text{C}\), где сопротивление удваивается и мощность падает вдвое, так что резистор остывает до \(99\,{}^\circ\text{C}\), где сопротивление возвращается, — и всё повторяется. Колебания температуры — в пределах одного градуса, а ток меняется скачками между двумя значениями.

Обозначения. \(t\) — температура резистора в градусах Цельсия, \(\tau\) — время, \(k\) — мощность теплоотдачи на один градус разности температур: мощность теплоотдачи равна \(k(t-t_0)\). Тепловой баланс резистора за малый промежуток \(d\tau\) (закон сохранения энергии: тепло от тока минус тепло, ушедшее в воздух, идёт на нагрев): \[C\,dt=\Bigl[\frac{U^2}{R}-k(t-t_0)\Bigr]d\tau .\]

1. Коэффициент \(k\) из второго опыта. Температура установилась на \(t_3=80\,{}^\circ\text{C}\), \(dt=0\). Резистор нагревался от комнатной температуры, то есть по нижней (синей) ветви графика, и \(80\,{}^\circ\text{C}\) ниже скачка: \(R=R_1=50\) Ом. Мощность тока равна мощности теплоотдачи: \[\frac{U_1^2}{R_1}=k(t_3-t_0)\quad\Rightarrow\quad k=\frac{60^2}{50\cdot60}=1{,}2\ \frac{\text{Вт}}{\text{К}}.\] Обратите внимание: сопротивление в этом опыте — \(50\) Ом, а не \(100\) Ом. Резистор не может оказаться на верхней ветви, пока не нагрелся выше \(100\,{}^\circ\text{C}\), а при \(R=100\) Ом и \(60\) В равновесие было бы при \(50\,{}^\circ\text{C}\) — с условием не согласуется.

2. Опыт при 80 В: почему колебания. При \(R_1=50\) Ом мощность \(P_1=80^2/50=128\) Вт. Если бы сопротивление не менялось, температура стремилась бы к \(t_0+P_1/k=20+128/1{,}2\approx127\,{}^\circ\text{C}\). Но при \(100\,{}^\circ\text{C}\) сопротивление скачком становится \(100\) Ом, мощность \(P_2=80^2/100=64\) Вт, равновесная температура была бы \(20+64/1{,}2\approx73\,{}^\circ\text{C}\). Она ниже \(99\,{}^\circ\text{C}\) — резистор остывает, пока не дойдёт до \(99\,{}^\circ\text{C}\), где сопротивление падает до \(50\) Ом. Оба равновесия лежат по другую сторону скачка и недостижимы: на графике они отмечены светлыми кружками, а резистор доходит только до скачка.

Сопротивление меняется скачком, а температура — нет (у резистора конечная теплоёмкость), поэтому температура ходит в пределах \(99\)–\(100\,{}^\circ\text{C}\).

3. Ток. Напряжение постоянное, \(I=U_2/R\): \[I_{\max}=\frac{80}{50}=1{,}6\text{ А (на ветви }R_1\text{)},\qquad I_{\min}=\frac{80}{100}=0{,}8\text{ А (на ветви }R_2\text{)}.\]

4. Период. Нагрев с \(99\) до \(100\,{}^\circ\text{C}\) идёт при \(R=50\) Ом. Решим уравнение баланса, разделив переменные (при постоянных \(P_1\), \(k\)): \[\tau_1=\frac Ck\ln\frac{P_1-k(99-t_0)}{P_1-k(100-t_0)}=2{,}5\text{ с}\cdot\ln\frac{128-94{,}8}{128-96}=2{,}5\ln\frac{33{,}2}{32}\approx0{,}092\text{ с}.\] Охлаждение со \(100\) до \(99\,{}^\circ\text{C}\) идёт при \(R=100\) Ом, мощность \(P_2\); теперь теплоотдача сильнее нагрева: \[\tau_2=\frac Ck\ln\frac{k(100-t_0)-P_2}{k(99-t_0)-P_2}=2{,}5\ln\frac{96-64}{94{,}8-64}=2{,}5\ln\frac{32}{30{,}8}\approx0{,}096\text{ с}.\] Период \(T=\tau_1+\tau_2\approx0{,}19\) с.

Проверка. Размерность: \(C/k=\text{Дж/К}\,/\,(\text{Вт/К})=\text{с}\), логарифм безразмерен. Второй способ: за \(1\,{}^\circ\text{C}\) температура меняется мало, и избыток мощности можно считать постоянным — по значению в середине интервала, \(99{,}5\,{}^\circ\text{C}\). Нагрев: \(\tau_1\approx\dfrac{C\cdot1\text{ К}}{128-1{,}2\cdot79{,}5}=\dfrac{3}{32{,}6}=0{,}092\) с; охлаждение: \(\tau_2\approx\dfrac{3}{1{,}2\cdot79{,}5-64}=\dfrac{3}{31{,}4}=0{,}096\) с, совпало с точным расчётом. Частота колебаний около \(5\) Гц.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Цепь линейна: токи — линейные функции обеих ЭДС. Найдите токи через батареи как функции \(\mathcal E_1\) и \(\mathcal E_2\) и потребуйте, чтобы изменения токов были равны нулю.

Ответ

1) \(\mathcal E_2\) надо уменьшить на \(6\) В; 2) \(\mathcal E_2\) надо уменьшить на \(0{,}375\) В.

Решение

Что происходит. Цепь состоит из резисторов и двух идеальных батарей, поэтому все токи — линейные функции \(\mathcal E_1\) и \(\mathcal E_2\). Находим токи через батареи при произвольных ЭДС, затем требуем, чтобы после изменения ЭДС (\(\Delta\mathcal E_1=-1{,}5\) В, \(\Delta\mathcal E_2=x\)) токи через нужную батарею остались прежними. Удобнее всего метод узловых потенциалов: у цепи два незаданных потенциала.

Обозначения. Левый провод — узел \(L\), его потенциал \(\varphi_L=0\). Правый провод — узел \(P\). Плюс батареи \(\mathcal E_2\) присоединён слева (длинная черта), значит \(\varphi_L-\varphi_P=\mathcal E_2\), то есть \(\varphi_P=-\mathcal E_2\). Плюс батареи \(\mathcal E_1\) — сверху (длинная черта), в узле \(A\), минус — в узле \(B\): \(\varphi_A-\varphi_B=\mathcal E_1\). Токи: \(I_a\) — от \(L\) к \(A\) через верхний левый \(R\), \(I_b\) — от \(A\) к \(P\) через \(3R\), \(I_c\) — от \(L\) к \(B\), \(I_d\) — от \(B\) к \(P\); \(I_1\) — ток через \(\mathcal E_1\) в направлении ЭДС (от \(B\) к \(A\) внутри батареи), \(I_2\) — ток через \(\mathcal E_2\) в направлении ЭДС (справа налево по нижней ветви).

1. Закон Ома для резисторов. Пусть \(\varphi_B=b\), тогда \(\varphi_A=b+\mathcal E_1\): \[I_a=\frac{0-\varphi_A}{R}=-\frac{b+\mathcal E_1}{R},\quad I_b=\frac{\varphi_A+\mathcal E_2}{3R},\quad I_c=-\frac bR,\quad I_d=\frac{b+\mathcal E_2}{R}.\]

2. Закон сохранения заряда для пары узлов \(A\), \(B\). Батарея \(\mathcal E_1\) соединяет их напрямую, поэтому на участке с узлами \(A\) и \(B\) заряд не накапливается: сумма токов, вытекающих из этой пары через резисторы, равна нулю: \[-I_a+I_b-I_c+I_d=0 \;\Rightarrow\; \frac{b+\mathcal E_1}{R}+\frac{b+\mathcal E_1+\mathcal E_2}{3R}+\frac bR+\frac{b+\mathcal E_2}{R}=0 .\] Умножим на \(3R\): \(10b+4\mathcal E_1+4\mathcal E_2=0\), откуда \[b=-0{,}4(\mathcal E_1+\mathcal E_2),\qquad \varphi_A=0{,}6\,\mathcal E_1-0{,}4\,\mathcal E_2 .\]

3. Токи через батареи. Закон сохранения заряда в узле \(A\): ток \(I_1\) втекает из батареи, \(I_a\) втекает через резистор, \(I_b\) вытекает через \(3R\): \[I_1=I_b-I_a=\frac{0{,}2(\mathcal E_1+\mathcal E_2)}{R}-\frac{0{,}4\,\mathcal E_2-0{,}6\,\mathcal E_1}{R}=\frac{0{,}8\,\mathcal E_1-0{,}2\,\mathcal E_2}{R}.\] Закон сохранения заряда в узле \(L\): ток \(I_2\) втекает из батареи, \(I_a\) и \(I_c\) вытекают: \[I_2=I_a+I_c=\frac{0{,}4\,\mathcal E_2-0{,}6\,\mathcal E_1}{R}+\frac{0{,}4(\mathcal E_1+\mathcal E_2)}{R}=\frac{0{,}8\,\mathcal E_2-0{,}2\,\mathcal E_1}{R}.\] Обратите внимание: \(I_1\) зависит от обеих ЭДС. Изменение одной батареи меняет ток через другую, это и позволяет исправить ток подбором второй ЭДС.

4. Изменения токов. Токи — линейные функции ЭДС, поэтому изменения токов определяются теми же формулами с изменениями ЭДС. Подставим \(\Delta\mathcal E_1=-1{,}5\) В, \(\Delta\mathcal E_2=x\): \[R\,\Delta I_1=0{,}8\cdot(-1{,}5)-0{,}2x=-1{,}2-0{,}2x,\qquad R\,\Delta I_2=0{,}8x-0{,}2\cdot(-1{,}5)=0{,}8x+0{,}3 .\] Пункт 1: \(\Delta I_1=0\), \(x=-6\) В. Пункт 2: \(\Delta I_2=0\), \(x=-0{,}375\) В. Обе ЭДС надо уменьшить: во втором случае на \(0{,}375\) В, в первом — на \(6\) В.

Проверка. Размерность: \(\mathcal E/R\) — ампер. Предел: при \(\mathcal E_1=\mathcal E_2=0\) все токи нулевые. Числом, при \(\mathcal E_1=5\) В, \(\mathcal E_2=7\) В: \(b=-4{,}8\), \(\varphi_A=0{,}2\), токи (в единицах \(1/R\)): \(I_a=-0{,}2\), \(I_b=2{,}4\), \(I_c=4{,}8\), \(I_d=2{,}2\); сумма вытекающих из пары \(A\), \(B\) равна \(0{,}2+2{,}4-4{,}8+2{,}2=0\), \(I_1=I_b-I_a=2{,}6=0{,}8\cdot5-0{,}2\cdot7\), \(I_2=I_a+I_c=4{,}6=0{,}8\cdot7-0{,}2\cdot5\), сходится.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.