Всесоюзная, 1982/83, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Обе звезды обращаются вокруг общего центра масс, а он движется прямо. Амплитуда синусоиды — это радиус орбиты одной звезды вокруг центра масс, и её угловой размер связывает расстояние до Сириуса с угловым размером земной орбиты. Дальше — закон тяготения для обращения звёзд и то же самое для Земли вокруг Солнца.

Ответ

\(\dfrac{m^3}{(M+m)^2}=\Bigl(\dfrac{\alpha}{\beta}\Bigr)^3\Bigl(\dfrac{T_{\text{З}}}{T}\Bigr)^2M_{\text{С}}\), откуда \(m\approx 1{,}0\,M_{\text{С}}\).

Решение

Что происходит. Две звезды обращаются вокруг общего центра масс по окружностям с одним периодом \(T\). Центр масс системы движется прямолинейно и равномерно, а орбиты видны «плашмя», поэтому Сириус А прочерчивает на небе волнистую линию — прямую плюс круговое смещение; её амплитуда — угловой радиус орбиты Сириуса А. Главная идея: из двух углов \(\alpha\) и \(\beta\) получить радиус орбиты \(r_A\) в радиусах земной орбиты, а затем сравнить обращение звёзд с обращением Земли вокруг Солнца: у обоих движений ключевой закон один, закон всемирного тяготения.

Обозначения. \(r_A\) и \(r_B\) — радиусы орбит Сириуса А и Сириуса В вокруг центра масс \(O\), \(a=r_A+r_B\) — расстояние между звёздами, \(D\) — расстояние до Сириуса, \(\omega=2\pi/T\) — угловая скорость обращения, \(T_{\text{З}}=1\) год.

1. Радиус орбиты Сириуса А в радиусах земной орбиты. Углы малые, поэтому угол — это отношение размера к расстоянию. Земная орбита видна с Сириуса под углом \(\beta=R_0/D\), амплитуда смещения Сириуса видна с Земли под углом \(\alpha=r_A/D\) (рисунок). Отсюда \[D=\frac{R_0}{\beta},\qquad r_A=\alpha D=\frac{\alpha}{\beta}R_0\approx 6{,}12\,R_0 .\]

2. Центр масс. Центр масс лежит на прямой, соединяющей звёзды, и делит её обратно пропорционально массам: \(Mr_A=mr_B\). Поэтому расстояние между звёздами \[a=r_A+r_B=r_A\frac{M+m}{m}.\]

3. Движение Сириуса А. Запишем второй закон Ньютона для Сириуса А: он движется по окружности радиусом \(r_A\) с угловой скоростью \(\omega\), и единственная сила — тяготение со стороны Сириуса В на расстоянии \(a\): \[M\omega^2r_A=\frac{GMm}{a^2}\quad\Rightarrow\quad \omega^2\,\frac{am}{M+m}=\frac{Gm}{a^2}\quad\Rightarrow\quad \omega^2a^3=G(M+m).\] Это третий закон Кеплера для двойной звезды.

4. Сравнение с Землёй. Для Земли вокруг Солнца тот же закон Ньютона даёт \(\omega_{\text{З}}^2R_0^3=GM_{\text{С}}\), \(\omega_{\text{З}}=2\pi/T_{\text{З}}\). Разделим шаг 3 на это равенство. Расстояние \(a\) выразим из шагов 1 и 2: \(a=\dfrac{\alpha}{\beta}R_0\dfrac{M+m}{m}\). \[\Bigl(\frac{T_{\text{З}}}{T}\Bigr)^2\Bigl(\frac{\alpha}{\beta}\Bigr)^3\Bigl(\frac{M+m}{m}\Bigr)^3=\frac{M+m}{M_{\text{С}}}.\] Обозначим \(x=m/M_{\text{С}}\), \(M=2{,}3\,M_{\text{С}}\); тогда \[x^3=\Bigl(\frac{\alpha}{\beta}\Bigr)^3\Bigl(\frac{T_{\text{З}}}{T}\Bigr)^2(2{,}3+x)^2=\frac{6{,}12^3}{50^2}(2{,}3+x)^2=0{,}0916\,(2{,}3+x)^2 .\] Кубическое уравнение решим подбором: при \(x=1{,}0\) левая часть равна \(1{,}00\), правая \(0{,}0916\cdot3{,}3^2=0{,}997\); при \(x=0{,}99\) левая \(0{,}970\), правая \(0{,}0916\cdot3{,}29^2=0{,}991\). Корень \(x\approx0{,}999\).

Ответ. В буквах — уравнение шага 4; в числах \(m\approx1{,}0\,M_{\text{С}}\).

Обратите внимание. Амплитуде синусоиды соответствует радиус орбиты \(r_A\) относительно центра масс, а не расстояние \(a\) между звёздами: \(a\) больше в \((M+m)/m\approx3{,}3\) раза.

Проверка. Второй способ: \(a=r_A(M+m)/m\approx6{,}12\cdot3{,}3\,R_0\approx20\,R_0\), то есть около 20 а.е.; по третьему закону Кеплера в годах и астрономических единицах \(M+m=a^3/T^2=20{,}2^3/2500\approx3{,}3\,M_{\text{С}}\), откуда \(m\approx1{,}0\,M_{\text{С}}\) — то же. Предельный случай: при \(\alpha\to0\) амплитуда исчезает, и уравнение даёт \(m\to0\), как и должно быть без спутника.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Слой газа в равновесии: давление меняется с высотой тем быстрее, чем плотнее газ, а плотность зависит от давления и температуры. Скорость роста \(\ln p\) со временем при постоянной скорости спуска определяется температурой в этот момент.

Ответ

1) \(v=\dfrac{RT_0}{\mu g}\,k_0\approx14\) м/с;  2) \(T_1=T_0\,\dfrac{k_0}{k_1}\approx 470\) К, где \(k=\dfrac{d\ln p}{dt}\) — наклон графика \(\ln p(t)\) (из графика: \(k_0\approx1{,}05\cdot10^{-3}\) с\(^{-1}\) при посадке, \(k_1\approx1{,}55\cdot10^{-3}\) с\(^{-1}\) на высоте 15 км). Точность чтения графика около 10 %.

Решение

Что происходит. Аппарат опускается равномерно, поэтому время и высота связаны линейно: \(dh=-v\,dt\). Атмосфера неподвижна, и давление на данной высоте определяется весом газа выше. В тонком слое это даёт дифференциальное соотношение между \(dp\) и \(dh\), в которое входит температура. Главная идея: наклон графика \(\ln p\) от времени пропорционален \(1/T\) в данный момент, так что в момент посадки, где температура известна, находим скорость, а по наклону графика на высоте 15 км — температуру там.

Обозначения. \(\mu=44\) г/моль — молярная масса CO\(_2\), \(t_0\) — момент посадки (конец графика), \(t_1\) — момент прохождения высоты \(h=15\) км, \(k=d\ln p/dt\).

1. Равновесие тонкого слоя. Возьмём слой газа толщиной \(dh\) и площадью сечения \(S\) на высоте \(h\). Он неподвижен, поэтому по второму закону Ньютона в проекции на вертикаль сумма сил равна нулю: давление снизу \(p(h)S\) направлено вверх, сверху \(p(h+dh)S\) и вес \(dm\,g\) — вниз. С \(dm=\rho S\,dh\): \[p(h)S-p(h+dh)S-\rho Sg\,dh=0\quad\Rightarrow\quad dp=-\rho g\,dh .\]

2. Плотность через давление. Для слоя запишем уравнение Менделеева — Клапейрона, температура внутри тонкого слоя постоянна: \(p=\dfrac{\rho}{\mu}RT\). Подставим \(\rho=\mu p/(RT)\): \[\frac{dp}{p}=-\frac{\mu g}{RT}\,dh\quad\Rightarrow\quad d\ln p=-\frac{\mu g}{RT(h)}\,dh .\] Применимо, пока атмосфера в равновесии и \(g\) почти не меняется: на 15 км отличие \(g\) порядка долей процента.

3. Переход ко времени. Аппарат опускается: \(dh=-v\,dt\). Тогда \[\frac{d\ln p}{dt}=\frac{\mu g v}{RT}\equiv k,\qquad\text{то есть}\quad T=\frac{\mu g v}{R\,k}.\] Условные единицы давления не мешают: нужен лишь наклон \(\ln p\), а он от единицы измерения не зависит.

Пункт 1. Посадка: \(t_0\approx3580\) с, \(T_0=700\) К. Наклон графика \(\ln p\) в конце: между \(t=3100\) с (\(p\approx34\)) и \(t_0\) (\(p\approx56\)) \[k_0=\frac{\ln(56/34)}{480\ \text{с}}\approx1{,}05\cdot10^{-3}\ \text{с}^{-1}.\] Из шага 3 при \(T=T_0\) \[v=\frac{RT_0}{\mu g}\,k_0=\frac{8{,}31\cdot700}{0{,}044\cdot10}\cdot1{,}05\cdot10^{-3}\ \text{м/с}\approx13{,}2\cdot10^{3}\ \text{м}\cdot1{,}05\cdot10^{-3}\ \text{с}^{-1}\approx14\ \text{м/с}.\]

Пункт 2. До посадки аппарат пролетал высоту 15 км за \(\Delta t=h/v=15000/13{,}9\approx1080\) с, то есть \(t_1=t_0-\Delta t\approx2500\) с. На графике \(\ln p\) в этот момент наклон: между \(t=2300\) с (\(p\approx10{,}2\)) и \(t=2700\) с (\(p\approx18{,}9\)) \[k_1=\frac{\ln(18{,}9/10{,}2)}{400\ \text{с}}\approx1{,}55\cdot10^{-3}\ \text{с}^{-1}.\] Скорость спуска та же, поэтому из шага 3 \(T\,k=\text{const}=\mu g v/R\), откуда \[T_1=T_0\frac{k_0}{k_1}=700\cdot\frac{1{,}05}{1{,}55}\approx 470\ \text{К}.\]

Обратите внимание. Наклон \(d\ln p/dt\) нельзя брать по двум произвольным точкам далеко друг от друга: он пропорционален \(1/T\), а температура меняется с высотой. Поэтому наклон берётся на коротком участке вокруг нужного момента, а у посадки — на последнем участке графика.

Проверка. Второй способ, независимый от наклонов: от \(t_1\) до \(t_0\) давление выросло в \(56/13{,}7\approx4{,}1\) раза, \(\ln\) этого \(1{,}41\). При линейном падении температуры от \(700\) К до \(470\) К на 15 км средняя (гармоническая) температура слоя \(\Delta T/\ln(T_0/T_1)\approx580\) К, и шаг 2 даёт \(\ln\dfrac{p_0}{p_1}=\dfrac{\mu gh}{R\,\overline T}=\dfrac{0{,}044\cdot10\cdot15000}{8{,}31\cdot580}\approx1{,}37\) — совпадает с графиком в пределах 3 %. Физический смысл: у поверхности жарче, плотность падает с высотой медленнее, поэтому \(\ln p\) растёт со временем быстрее на большей высоте.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Гальванометр без сопротивления соединяет две точки одним потенциалом. Токи через два резистора \(R\) при этом одинаковы. Запишите закон для напряжения на нижнем резисторе \(r\) и на катушке и сравните их.

Ответ

1) \(J_\infty=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}\);  2) \(q=\dfrac{\mathcal{E}L}{2r(R+r)}\), ток течёт через гальванометр от точки над катушкой к точке над правым резистором \(r\).

Решение

Что происходит. В момент замыкания ток катушки равен нулю и растёт, потому что в ней возникает ЭДС самоиндукции. Гальванометр без сопротивления — это провод: потенциалы его концов (точек \(A\) и \(B\)) всё время равны. Через него идёт ток, пока ток катушки не вышел на постоянное значение. Главная идея: условие равенства потенциалов \(A\) и \(B\) связывает ток гальванометра с скоростью изменения тока катушки, а интегрируя, получаем заряд без решения дифференциального уравнения.

Обозначения. \(A\) — узел над катушкой, \(B\) — узел над правым резистором \(r\). \(I_1\) и \(I_2\) — токи через левый и правый резисторы \(R\) вниз, \(J\) — ток через катушку вниз, \(I_\Gamma\) — ток через гальванометр от \(A\) к \(B\), \(I_r\) — ток через нижний правый резистор \(r\) вниз. Потенциал нижнего провода принимаем за нуль, потенциал верхнего провода равен \(\mathcal{E}\) (внутреннее сопротивление источника равно нулю).

Пункт 1. В установившемся режиме ток катушки постоянен, ЭДС самоиндукции \(L\,dJ/dt\) равна нулю, и катушка ведёт себя как резистор сопротивлением \(r\). Левая ветвь — резисторы \(R\) и \(r\) последовательно, правая — тоже \(R\) и \(r\), обе ветви подключены к напряжению \(\mathcal{E}\). По закону Ома для участка цепи ток в каждой ветви, в том числе через катушку, \[J_\infty=\frac{\mathcal{E}}{R+r}.\] Потенциалы \(A\) и \(B\) одинаковы (\(\mathcal{E}-I R\) с одним и тем же \(I\)), поэтому ток гальванометра в установившемся режиме равен нулю.

Пункт 2. Потенциалы \(A\) и \(B\) равны (сопротивление гальванометра нулевое), обозначим их \(V\).

Шаг 1. Закон Ома для каждого верхнего резистора \(R\): напряжение на нём \(\mathcal{E}-V\), поэтому \(I_1=I_2=\dfrac{\mathcal{E}-V}{R}\).

Шаг 2. Правило узлов для точки \(A\): \(I_1=J+I_\Gamma\); для точки \(B\): \(I_r=I_2+I_\Gamma\). Отсюда \(J=I_1-I_\Gamma\), \(I_r=I_1+I_\Gamma\).

Шаг 3. Напряжение \(V\) равно напряжению на нижнем правом резисторе: \(V=I_rr=(I_1+I_\Gamma)\,r\). С другой стороны, это напряжение на катушке: падение на её сопротивлении плюс ЭДС самоиндукции, \(V=Jr+L\dfrac{dJ}{dt}\) (положительное направление тока вниз, ЭДС самоиндукции препятствует росту тока). Подставим \(J=I_1-I_\Gamma\): \[(I_1+I_\Gamma)\,r=(I_1-I_\Gamma)\,r+L\frac{dJ}{dt}\quad\Rightarrow\quad 2rI_\Gamma=L\frac{dJ}{dt}.\]

Шаг 4. Заряд через гальванометр — интеграл тока за всё время от замыкания ключа до установления. Ток катушки растёт от \(0\) до \(J_\infty\): \[q=\int_0^\infty I_\Gamma\,dt=\frac{L}{2r}\int_0^{J_\infty}dJ=\frac{L}{2r}\,J_\infty=\frac{\mathcal{E}L}{2r(R+r)}.\] Знак: \(dJ/dt>0\), значит \(I_\Gamma>0\), ток идёт от \(A\) к \(B\) — слева направо на схеме: пока катушка не пропускает ток, часть тока левого резистора уходит через гальванометр в правую ветвь.

Обратите внимание. Гальванометр с нулевым сопротивлением не «уравновешивает мост»: мост сбалансирован лишь в установившемся режиме. В переходном процессе ток через гальванометр есть, и он определяется скоростью роста тока в катушке.

Проверка. Размерность: \(\mathcal{E}L/(rR)\) — это \(\dfrac{\text{В}\cdot\text{Гн}}{\text{Ом}^2}=\dfrac{\text{В}\cdot\text{Ом}\cdot\text{с}}{\text{Ом}^2}=\text{А}\cdot\text{с}\), то есть заряд. Второй способ: из шагов 1–3 находим \(J(t)=J_\infty(1-e^{-t/\tau})\) с \(\tau=\dfrac{L(R+2r)}{2r(R+r)}\) и \(I_\Gamma(0)=\dfrac{\mathcal{E}}{R+2r}\) при \(J(0)=0\); тогда \(I_\Gamma(t)=I_\Gamma(0)\,e^{-t/\tau}\) и \(q=I_\Gamma(0)\tau=\dfrac{\mathcal{E}L}{2r(R+r)}\) — то же. Численная проверка интегрированием уравнений при \(\mathcal{E}=1\), \(R=2\), \(r=1\), \(L=1\) даёт \(q=1/6\) в тех же единицах, и формула также даёт \(1/6\). Предел \(L\to0\): \(q\to0\), как и должно быть без самоиндукции.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Свет от каждого предмета попадает в глаз только через зрачок. Проследите лучи в обратную сторону: от зрачка через объектив наружу. Где они собираются?

Ответ

Может: нужно поместить предмет на оси объектива в изображении зрачка, на расстоянии \(b=\dfrac{aF}{a-F}\) от объектива (чуть дальше фокуса \(F\)). Минимальный размер \(d_{\min}\approx d\,\dfrac{F}{a-F}\); при \(F=5\) см, \(a=60\) см, диаметре зрачка \(d=4\) мм получаем \(b\approx5{,}5\) см, \(d_{\min}\approx0{,}4\) мм — меньше мухи.

Решение

Что происходит. Свет от далёких предметов, чтобы попасть в глаз, должен пройти зрачок. Лучи, идущие в зрачок, можно проследить в обратную сторону: от зрачка через объектив наружу. Объектив даёт изображение зрачка — маленькое пятно перед объективом. Все лучи, которые доходят до глаза, проходят через это пятно, откуда бы ни шёл свет. Главная идея: непрозрачный предмет, закрывающий изображение зрачка, перекрывает все лучи сразу, то есть всё поле зрения.

Модель и данные. Объектив — тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием \(F=5\) см, зрачок глаза на оси на расстоянии \(a=60\) см от объектива (вытянутая рука), диаметр зрачка \(d=4\) мм. Расстояние \(a\) больше \(F\), а предметы далеки.

1. Изображение зрачка. Для зрачка как предмета на расстоянии \(a\) запишем формулу тонкой линзы; изображение на расстоянии \(b\) с другой стороны (на рисунке слева, лучи обратимы): \[\frac1a+\frac1b=\frac1F\quad\Rightarrow\quad b=\frac{aF}{a-F}=\frac{60\cdot5}{55}\ \text{см}\approx5{,}5\ \text{см}.\] Это чуть дальше фокуса: \(b-F=\dfrac{F^2}{a-F}\approx0{,}45\) см.

2. Размер изображения зрачка. Увеличение линзы равно \(b/a=F/(a-F)\approx0{,}09\). Изображение зрачка имеет размер \[d_{\min}=d\,\frac{b}{a}=d\,\frac{F}{a-F}=4\ \text{мм}\cdot0{,}09\approx0{,}4\ \text{мм}.\]

3. Почему этого достаточно. Любой луч от далёкого предмета, прошедший зрачок, до объектива прошёл через изображение зрачка: изображение — это место, где собираются лучи, идущие из зрачка назад, а ход лучей обратим. Лучи от предметов в разных направлениях проходят через это место под разными углами, но все через одно и то же пятно (рисунок). Предмет размером не меньше \(d_{\min}\), помещённый в это пятно, заслоняет весь свет, и глаз не видит ничего — поле зрения закрыто целиком, хотя муха и размыта, ведь она далеко от плоскости, на которую глаз «настроен».

Обратите внимание. Размер мухи нужно сравнивать не с объективом (около 3 см), а с изображением зрачка (доли миллиметра). Муха, пролетающая вблизи самого объектива, закрыла бы лишь часть поля; вне нужного места — только часть лучей.

Проверка. Предел \(a\to\infty\) (глаз далеко): \(b\to F\), \(d_{\min}\to0\) — все лучи сходятся в фокусе, и точка в фокусе закрывает всё. Предел \(a\to F\): \(b\to\infty\) — изображение зрачка уходит далеко и растёт, закрыть всё поле нечем. Размер мухи (около 5 мм) в десятки раз больше \(d_{\min}\), так что условие выполнено с запасом, даже если зрачок шире или муха чуть смещена.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Там, где пучки пересекаются, они интерферируют: возникают тонкие слои света и тени. Частица, летящая поперёк слоёв, по очереди попадает в свет и в тень. Найдите расстояние между слоями и сколько слоёв в секунду она пересекает.

Ответ

\(v=\nu d=\dfrac{\nu\lambda}{2\sin(\alpha/2)}\approx0{,}20\) м/с (расстояние между интерференционными полосами \(d=\dfrac{\lambda}{2\sin(\alpha/2)}=0{,}63\) мкм).

Решение

Что происходит. В области пересечения двух когерентных пучков возникает интерференционная картина: слои с большой и малой интенсивностью света, параллельные биссектрисе угла между пучками. Частица, движущаяся поперёк биссектрисы, пересекает слои один за другим, и рассеянный ею свет то ярче, то слабее: сигнал фотоэлемента периодичен. Главная идея: за период сигнала частица проходит расстояние \(d\) между соседними максимумами, поэтому \(v=d\nu\).

Обозначения. Ось \(x\) — вдоль скорости частицы (поперёк биссектрисы), ось \(y\) — вдоль биссектрисы. Пучки — плоские волны с волновыми векторами \(\vec k_1\) и \(\vec k_2\), \(|\vec k|=2\pi/\lambda\), каждый составляет угол \(\alpha/2\) с биссектрисой.

1. Расстояние между максимумами. Фазы двух волн в точке \((x,y)\) отличаются по закону \[\Delta\varphi=(\vec k_1-\vec k_2)\cdot\vec r=2\cdot\frac{2\pi}{\lambda}\,x\sin\frac{\alpha}{2},\] потому что проекции \(\vec k_1\) и \(\vec k_2\) на ось \(y\) равны, а на ось \(x\) — равны по модулю и противоположны. Разность фаз не зависит от \(y\), поэтому максимумы — плоскости, параллельные биссектрисе (на рисунке пунктир, в точках пересечения гребней волн). Максимум там, где \(\Delta\varphi=2\pi m\): \[x_m=m\,\frac{\lambda}{2\sin(\alpha/2)}\quad\Rightarrow\quad d=\frac{\lambda}{2\sin(\alpha/2)}=\frac{0{,}63\ \text{мкм}}{2\cdot0{,}5}=0{,}63\ \text{мкм}.\]

2. Скорость частицы. Частица движется равномерно поперёк слоёв, расстояние между максимумами \(d\). Рассеянный свет максимален каждый раз, когда частица в максимуме; период сигнала \(T=1/\nu\) — время прохода расстояния \(d\): \[\begin{aligned} v&=\frac{d}{T}=d\nu=\frac{\nu\lambda}{2\sin(\alpha/2)}\\ &=320\cdot10^3\ \text{Гц}\cdot0{,}63\cdot10^{-6}\ \text{м}=0{,}20\ \text{м/с}. \end{aligned}\]

Обратите внимание. Частота сигнала задаётся скоростью и расстоянием между полосами, а не частотой света \(\sim5\cdot10^{14}\) Гц: фотоэлемент следит только за медленным изменением интенсивности при пролёте частицей полос.

Проверка. Размерность: \(\text{Гц}\cdot\text{м}=\text{м/с}\). Предел \(\alpha\to0\): пучки сливаются, \(d\to\infty\), полос нет и сигнал исчезает (\(\nu\to0\)). Второй способ — эффект Доплера: частицу, движущуюся поперёк биссектрисы, свет первого пучка догоняет с проекцией скорости \(v\sin(\alpha/2)\), свет второго — с \(-v\sin(\alpha/2)\); рассеянный в сторону биссектрисы свет двух пучков имеет частоты, различающиеся на \(\Delta f=\dfrac{2v\sin(\alpha/2)}{\lambda}\), и фотоэлемент регистрирует биения именно на этой частоте: \(\nu=\Delta f\), \(v=\dfrac{\nu\lambda}{2\sin(\alpha/2)}\) — то же.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.