Всесоюзная, 1987/88, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Ускорение свободного падения зависит от массы под ногами и от расстояния до центра. Спускаясь на малую глубину, мы теряем массу тонкого водяного слоя и приближаемся к центру; «неизменно» значит, что оба эффекта сокращают друг друга.

Ответ

\(g=2\pi G\rho_0 R\approx 2{,}7\text{ м/с}^2\) (\(\rho_0\) "— плотность воды, \(R\) "— радиус планеты).

Решение

Что происходит. Внутри океана на расстоянии \(r\) от центра ускорение свободного падения создаёт только масса \(M(r)\), лежащая ближе к центру: \(g=GM(r)/r^2\) (поле шарового слоя снаружи от точки внутри него равно нулю, поле шара "— как у точки). Когда мы опускаемся на малую глубину, \(M\) уменьшается на массу срезанного водяного слоя, а \(r\) уменьшается тоже. Первое уменьшает \(g\), второе увеличивает. Главная идея: \(g\) не меняется, значит изменения сокращаются, и это однозначно определяет полную массу планеты.

Обозначения. \(R=6400\text{ км}\) "— радиус планеты (поверхности океана), \(h=10\text{ км}\) "— глубина океана, \(\rho_0=1000\text{ кг/м}^3\) "— плотность воды, \(M\) "— масса всей планеты вместе с океаном, \(g=GM/R^2\) "— ускорение на поверхности.

1. Масса слоя. Опустимся от поверхности на малую глубину \(\Delta r\ll R\). Срезанный слой воды "— тонкая оболочка площадью \(4\pi R^2\) и толщиной \(\Delta r\), его масса \(\Delta M=4\pi R^2\rho_0\Delta r\). Под новой точкой остаётся масса \(M-\Delta M\) на расстоянии \(R-\Delta r\) от центра.

2. Условие постоянства \(g\). Ускорение внутри океана на глубине \(\Delta r\) равно ускорению на поверхности: \[\frac{G(M-\Delta M)}{(R-\Delta r)^2}=\frac{GM}{R^2} \;\Longrightarrow\; \Bigl(1-\frac{\Delta M}{M}\Bigr)\Bigl(1+\frac{2\Delta r}{R}\Bigr)=1 .\] Здесь использовано \((1-\Delta r/R)^{-2}\approx1+2\Delta r/R\) при \(\Delta r\ll R\). Отбрасывая произведение малых величин, получаем \(\Delta M/M=2\Delta r/R\).

3. Масса планеты. Подставим \(\Delta M=4\pi R^2\rho_0\Delta r\): \[\frac{4\pi R^2\rho_0\Delta r}{M}=\frac{2\Delta r}{R} \;\Longrightarrow\; M=2\pi\rho_0R^3 .\] Масса планеты определена, хотя ничего о недрах мы не знали.

4. Ускорение на поверхности. \[g=\frac{GM}{R^2}=2\pi G\rho_0R .\] Числом: \(g=2\cdot3{,}14\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot10^{3}\cdot6{,}4\cdot10^{6}\approx2{,}7\text{ м/с}^2\).

Обратите внимание. Радиус \(h=10\) км нужен лишь для проверки: условие \(\Delta r\ll R\) выполнено (\(h/R\approx1{,}6\cdot10^{-3}\)). Плотность и строение ядра в ответ не входят, достаточно, чтобы вода была вокруг. Точность условия \(10^{-5}\) ограничивает \(M\): если \(M=2\pi\rho_0R^3(1+\varepsilon)\), то изменение \(g\) на всей глубине равно \(2\varepsilon h/R\cdot g\), откуда \(|\varepsilon|\lesssim10^{-5}R/(2h)\approx3\cdot10^{-3}\), то есть ответ верен до трёх десятых процента.

Проверка. Размерность: \([G\rho R]=\dfrac{\text{м}^3}{\text{кг}\cdot\text{с}^2}\cdot\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot\text{м}=\text{м/с}^2\). Второй способ "— через разложение: при \(M=2\pi\rho_0R^3\) ускорение внутри океана \(g(r)=GM(r)/r^2\) имеет вид \(A/r^2+Br\), \(B=\tfrac43\pi G\rho_0\), с нулевой производной у поверхности, и отличается от \(g\) на глубине \(z\) лишь на \((z/R)^2\cdot g\); для \(z=h\) это \(2{,}4\cdot10^{-6}\), то есть меньше \(10^{-5}\) (график ниже). Средняя плотность планеты \(M/(\tfrac43\pi R^3)=1{,}5\rho_0\) "— разумное значение.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В системе отсчёта площадки (она движется поступательно, с ускорением \(\omega^2R\)) на монету действует сила инерции постоянной длины, вращающаяся с угловой скоростью \(\omega\). Если трения не хватает, чтобы удержать монету, она скользит, а сила трения скольжения имеет постоянную длину \(\mu mg\).

Ответ

Если \(\omega^2R\le\mu g\), монета неподвижна относительно площадки и движется по окружности радиусом \(R\) с угловой скоростью \(\omega\); следа нет. Если \(\omega^2R>\mu g\), монета скользит: относительно земли равномерно движется по окружности радиусом \(r=\mu g/\omega^2\) с угловой скоростью \(\omega\), а на площадке вычерчивает окружность радиусом \(\rho=\sqrt{R^2-(\mu g/\omega^2)^2}\), обходя её с той же угловой скоростью \(\omega\) и в том же направлении.

Решение

Что происходит. Площадка не вращается: все её точки движутся по одинаковым окружностям с ускорением \(a_0=\omega^2R\) (к центру своей окружности). Покоящаяся на ней монета должна иметь такое же ускорение, его даёт сила трения покоя, не больше \(\mu mg\). Если \(\omega^2R>\mu g\), монета отстаёт, скользит, и на неё действует сила трения скольжения постоянной величины \(\mu mg\). Главная идея: при скольжении на монету в лабораторной системе действует лишь эта сила постоянной величины, а в системе площадки "— ещё и вращающаяся сила инерции.

Пункт 1. Монета не скользит (\(\omega^2R\le\mu g\)). Если монета неподвижна относительно площадки, то ей нужна сила \(m\omega^2R\) "— сила трения покоя. Она допустима, пока \(m\omega^2R\le\mu mg\). Тогда монета повторяет движение площадки: окружность радиусом \(R\), угловая скорость \(\omega\), следа на площадке нет.

Пункт 2. Скольжение (\(\omega^2R>\mu g\)). Перейдём в систему отсчёта площадки: она движется поступательно с ускорением \(\vec a_0\), поэтому система неинерциальна, и на монету действует сила инерции \(-m\vec a_0\) величиной \(m\omega^2R\). Вектор \(\vec a_0\) направлен к центру окружности, по которой движется точка площадки, и поворачивается с угловой скоростью \(\omega\), значит и сила инерции поворачивается с той же \(\omega\), не меняясь по величине. Сила трения скольжения направлена против скорости монеты \(\vec u\) относительно площадки, её величина \(\mu mg\) постоянна.

Установившееся движение в системе площадки. Пусть вектор \(\vec u\) тоже вращается с угловой скоростью \(\omega\) и имеет постоянную длину \(u\) (проверим, что так можно). Тогда ускорение монеты относительно площадки направлено перпендикулярно \(\vec u\) (к центру траектории) и равно \(\omega u\). Второй закон Ньютона в системе площадки в векторной форме: \(m\vec a_{\text{отн}}=\vec F_{\text{ин}}+\vec F_{\text{тр}}\). Векторы \(\vec F_{\text{тр}}\) и \(m\vec a_{\text{отн}}\) взаимно перпендикулярны, образуют вместе с \(\vec F_{\text{ин}}\) прямоугольный треугольник, где \(\vec F_{\text{ин}}\) "— гипотенуза: \[(m\omega u)^2+(\mu mg)^2=(m\omega^2R)^2 .\] Отсюда \(u=\sqrt{\omega^4R^2-\mu^2g^2}/\omega\).

След на площадке. Монета движется относительно площадки с постоянной по величине скоростью \(u\), вектор которой поворачивается с угловой скоростью \(\omega\): это равномерное движение по окружности с угловой скоростью \(\omega\), радиус которой \[\rho=\frac{u}{\omega}=\sqrt{R^2-\Bigl(\frac{\mu g}{\omega^2}\Bigr)^2}.\] Обходит она эту окружность в ту же сторону, в какую вращается движение площадки. Положение центра этой окружности на площадке зависит от того, откуда монета начала скользить.

Движение относительно земли. В лабораторной системе единственная горизонтальная сила "— трение скольжения, её величина \(\mu mg\) постоянна, поэтому ускорение монеты по величине равно \(\mu g\) и направлено вдоль \(-\vec u\). Вектор \(\vec u\) вращается с \(\omega\), значит и ускорение вращается с \(\omega\): скорость монеты постоянна по величине, а сама монета движется по окружности с угловой скоростью \(\omega\) и ускорением \(\omega^2r=\mu g\), откуда \[r=\frac{\mu g}{\omega^2}.\] Это окружность меньше окружности площадки: \(r<R\).

Обратите внимание. Три радиуса связаны теоремой Пифагора, \(R^2=r^2+\rho^2\): на рисунке точка \(P\) площадки, центр окружности монеты и сама монета образуют прямоугольный треугольник с прямым углом у монеты (расстояние между монетой и \(P\) постоянно и равно \(\rho\), оно перпендикулярно радиусу \(r\)). Выход на такой режим идёт не мгновенно: пока скорость \(\vec u\) не вышла на постоянную длину и вращение, движение переходное. Постоянная по длине сила инерции и постоянная по величине сила трения скольжения гасят отклонения, поэтому режим устойчив.

Проверка. При \(\omega^2R=\mu g\) получаем \(\rho=0\): след сжимается в точку, монета перестаёт скользить, что согласуется с пунктом 1. При \(\mu\to0\): \(r\to0\) (монета остаётся на месте в лабораторной системе), \(\rho\to R\) "— на площадке монета описывает окружность радиусом \(R\), как и должно быть: земля неподвижна, площадка проезжает под монетой.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Над водой в закрытых коленах «насыщенный пар»: его давление зависит только от температуры, а температура кипения и есть та температура, при которой давление насыщенного пара равно внешнему. Справка про 23 этаж даёт, на сколько меняется давление пара при изменении температуры на \(0{,}25\,{}^\circ\text{C}\).

Ответ

\(\Delta h=\dfrac{2\rho_{\text{в}}H}{\rho}\approx18\text{ см}\); уровень в левом (более холодном) колене выше.

Решение

Что происходит. Над водой в каждом колене находится насыщенный водяной пар (модель: в закрытых коленах только вода и её пар; воздуха нет). Его давление зависит только от температуры: \(p_{\text{нас}}(100\,{}^\circ\text{C})=p_0\), нормальное атмосферное, а при \(99{,}5\,{}^\circ\text{C}\) оно меньше. Правое, более горячее колено давит на воду сильнее, поэтому вода в нём опускается, в левом поднимается, пока разность гидростатических давлений не уравновесит разность давлений пара. Количественно давление насыщенного пара подсказывает справка: вода кипит, когда давление насыщенного пара равно внешнему давлению, а на высоте 70 м внешнее давление ниже на вес столба воздуха.

Обозначения. \(H=70\text{ м}\), \(\rho_{\text{в}}=1{,}29\text{ кг/м}^3\) "— плотность воздуха при нормальных условиях, \(\rho=10^3\text{ кг/м}^3\) "— плотность воды, \(p_L\) и \(p_R\) "— давления пара в левом и правом коленах, \(\Delta h\) "— разность уровней.

1. Давление насыщенного пара и справка. На земле вода кипит при \(100\,{}^\circ\text{C}\), давление насыщенного пара при этом равно \(p_0\). На высоте \(H\) давление воздуха меньше на вес столба воздуха высотой \(H\) и сечением \(1\text{ м}^2\) (при нормальных условиях плотность воздуха \(\rho_{\text{в}}\) почти не меняется на таких высотах): \[\Delta p_H=\rho_{\text{в}}gH .\] Там вода кипит при температуре на \(0{,}25\,{}^\circ\text{C}\) ниже. Значит, понижение температуры от \(100\) до \(99{,}75\,{}^\circ\text{C}\) уменьшает давление насыщенного пара ровно на \(\Delta p_H\). На таком малом интервале давление насыщенного пара линейно зависит от температуры, поэтому при снижении на \(0{,}5\,{}^\circ\text{C}\) оно уменьшается вдвое сильнее: \[p_R-p_L=2\rho_{\text{в}}gH\approx2\cdot1{,}29\cdot9{,}8\cdot70\approx1{,}8\cdot10^{3}\text{ Па}.\]

2. Равновесие воды. Уровень воды в левом колене выше на \(\Delta h\). Давление в воде на уровне нижнего из двух свободных уровней (в правом колене) одно и то же слева и справа: слева оно равно \(p_L+\rho g\Delta h\), справа \(p_R\) (давлением столба пара пренебрегаем: плотность пара мала). Условие равновесия: \[p_R=p_L+\rho g\Delta h \;\Longrightarrow\; \Delta h=\frac{p_R-p_L}{\rho g}=\frac{2\rho_{\text{в}}H}{\rho}.\]

3. Число. \[\Delta h=\frac{2\cdot1{,}29\cdot70}{1000}\text{ м}\approx0{,}18\text{ м}=18\text{ см}.\] Ускорение свободного падения сократилось, поэтому знать \(g\) не нужно.

Обратите внимание. Размеры 60 и 80 см в условии нужны для проверки: уровни сместятся на \(\Delta h/2=9\) см каждый (площадь сечения колен одинакова, объём воды постоянен). Вода в левом колене поднимется на 9 см при 60 см свободной трубки, а в правом опустится на 9 см при 20 см прямой части ниже начального уровня (80 минус 60 см). Воздух в трубке считаем отсутствующим: при его наличии он сжимался бы и разность уровней была бы намного меньше.

Проверка. Размерность: \([\rho_{\text{в}}H/\rho]=\text{м}\). Предел: при равных температурах \(\Delta h=0\). Разумность: давление насыщенного пара у \(100\,{}^\circ\text{C}\) растёт примерно на \(3{,}5\) кПа на градус; по справке \(0{,}89\text{ кПа}/0{,}25\,{}^\circ\text{C}=3{,}5\text{ кПа}/{}^\circ\text{C}\) "— согласуется с таблицами.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Полоски фольги по очереди попадают в два положения: против обкладок (они соединены перемычкой, и конденсаторы \(C_1\) работают как цепочка) и против токосъёмников \(T_1\), \(T_2\) (там они отдают заряд на \(C_0\)). За один такой полуоборот заряд на \(C_0\) растёт в одно и то же число раз.

Ответ

\(U_N=U_0\left(\dfrac{C_0+C_1}{C_0+C_1/2}\right)^{2N}\).

Решение

Что происходит. В исходном положении полоска \(\Phi_1\) стоит против обкладки \(O_1\), полоска \(\Phi_2\) "— против \(O_2\), и токосъёмники \(T_3\), \(T_4\) перемычки касаются обеих полосок: полоски соединены между собой. Обкладка \(O_1\) подключена к «минусу» \(C_0\), а \(O_2\) "— к «плюсу», поэтому на полосках по индукции собирается заряд: \(+q\) на \(\Phi_1\) (против «минуса») и \(-q\) на \(\Phi_2\) (против «плюса»). Поворот по часовой стрелке уносит \(\Phi_1\) вверх к \(T_1\), а \(\Phi_2\) "— вниз к \(T_2\). \(T_1\) соединён с «плюсом», \(T_2\) "— с «минусом»: полоски отдают заряд на \(C_0\), и притом именно того знака, который уже есть на этой стороне. Заряд \(C_0\) растёт. Через пол-оборота картина повторяется с поменявшимися полосками. Главная идея: за каждые пол-оборота заряд узла растёт в одно и то же число раз.

Обозначения. \(V_k\) "— напряжение на \(C_0\) в исходном положении цилиндра (против обкладок) после \(k\) полуоборотов, \(V_0=U_0\); \(Q_k\) "— полный заряд «плюсового» узла (положительная обкладка \(C_0\), \(O_2\), \(T_1\)) в этом положении. Заряд полоски в положении против обкладок \(q_k\). Цилиндр непроводящий, полоски изолированы друг от друга, кроме моментов контакта.

1. Положение против обкладок. Полоски соединены перемычкой, суммарный заряд полосок равен нулю. Цепочка \(O_1\) "— \(\Phi_1\) "— перемычка "— \(\Phi_2\) "— \(O_2\) состоит из двух последовательных конденсаторов \(C_1\), она подключена параллельно \(C_0\) к тому же напряжению \(V\). Заряд на каждом из конденсаторов цепочки (последовательное соединение, заряды равны по модулю) равен \[q=\frac{C_1}{2}V .\] Эквивалентная ёмкость \(C_1/2\) включена параллельно \(C_0\), поэтому заряд «плюсового» узла \[Q=\Bigl(C_0+\frac{C_1}{2}\Bigr)V .\]

2. Поворот на \(90^\circ\) и передача заряда. Цилиндр поворачивают, полоски теряют контакт с перемычкой и уходят от обкладок: заряды \(+q\) на \(\Phi_1\) и \(-q\) на \(\Phi_2\) остаются на изолированных полосках. Затем \(\Phi_1\) касается \(T_1\), а \(\Phi_2\) "— \(T_2\). Ёмкость полосок к чему-либо мала, поэтому весь заряд \(+q\) с \(\Phi_1\) стекает на «плюсовой» узел, а \(-q\) с \(\Phi_2\) "— на «минусовый». Заряд «плюсового» узла увеличивается на \(q\): \[Q'=Q+q=\Bigl(C_0+\frac{C_1}{2}\Bigr)V+\frac{C_1}{2}V=(C_0+C_1)V .\]

3. Новое напряжение в исходном положении. Поворот на \(180^\circ\) приводит полоски в положение против обкладок, но в обратном порядке: \(\Phi_1\) против \(O_2\) и \(\Phi_2\) против \(O_1\). Это то же электрическое положение (перемычка снова соединяет полоски, \(T_3\) и \(T_4\) касаются другой пары концов), поэтому снова заряд узла делится между \(C_0\) и цепочкой \(C_1/2\) по закону пункта 1: \(Q'=\bigl(C_0+\tfrac{C_1}{2}\bigr)V'\). Отсюда \[V'=V\,\frac{C_0+C_1}{C_0+C_1/2}\equiv fV,\qquad f=\frac{C_0+C_1}{C_0+C_1/2}>1 .\] Напряжение растёт в \(f\) раз за пол-оборота.

4. После \(N\) оборотов. Один оборот "— два полуоборота, значит \(V_{2N}=U_0f^{2N}\): \[U_N=U_0\left(\frac{C_0+C_1}{C_0+C_1/2}\right)^{2N}=U_0\left(\frac{2C_0+2C_1}{2C_0+C_1}\right)^{2N}.\]

Обратите внимание. Напряжение сравнивается в одном и том же положении цилиндра "— в исходном, когда полоски стоят против обкладок. Если считать, что \(U_0\) было до первого присоединения полосок к \(C_0\), то в исходном положении напряжение \(U_0C_0/(C_0+C_1/2)\), и ответ получит этот множитель. Вращение против часовой стрелки дало бы обратное: \(\Phi_1\) ушла бы к \(T_2\) («минус») и забрала заряд, напряжение убывало бы.

Проверка. Пределы: при \(C_1\to0\) множитель \(f\to1\), напряжение не меняется "— полосок как будто нет; при \(C_1\gg C_0\) множитель \(f\to2\) "— заряд узла удваивается за пол-оборота. Закон сохранения заряда: заряд узла растёт ровно на \(q\), поступивший с полоски, а не появляется из ничего "— растущую энергию даёт работа внешней силы, которая раздвигает заряженные полоски и обкладки. На графике для \(C_1=C_0\) (\(f=4/3\)): после целого оборота напряжение \(U_0\cdot16/9\approx1{,}8\,U_0\), после трёх "— \(5{,}6\,U_0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сопротивление замкнутой сверхпроводящей катушки равно нулю, поэтому полный магнитный поток через неё не может измениться. Поток складывается из потока от катушки 1 и от собственного тока, и оба пропорциональны своим токам.

Ответ

\(I_2=-0{,}6\,I_1\), то есть \(0{,}6\,I_1\) в направлении, противоположном току в катушке \(1\).

Решение

Что происходит. У замкнутой катушки из сверхпроводника сопротивление равно нулю. Закон Ома для неё: \(\mathcal{E}=-\dfrac{d\Phi}{dt}=IR=0\). Значит \(d\Phi/dt=0\): полный магнитный поток через катушку \(2\) сохраняется. Когда ток \(I\) в катушке \(1\) растёт, поток от неё через катушку \(2\) растёт, и в катушке \(2\) возникает ток, чей поток компенсирует это изменение. Главная идея: ток катушки \(2\) линейно зависит от изменения тока катушки \(1\).

Обозначения. \(I\) "— ток катушки \(1\) (меняется), \(I_2\) "— ток катушки \(2\), \(L_2\) "— индуктивность катушки \(2\), \(M\) "— взаимная индуктивность катушек (катушки закреплены, \(M\) и \(L_2\) постоянны).

1. Закон сохранения потока. Полный поток через катушку \(2\) равен \(\Phi=MI+L_2I_2\) (поток от катушки \(1\) плюс поток собственного тока). В начальный момент \(I=I_1\), \(I_2=0\), поэтому \(\Phi=MI_1\) и остаётся таким всё время, пока катушка сверхпроводящая: \[MI+L_2I_2=MI_1 \;\Longrightarrow\; I_2=-\frac{M}{L_2}\,(I-I_1).\] Знак минус: ток \(I_2\) направлен против тока катушки \(1\), когда \(I>I_1\) (правило Ленца).

2. Из первого опыта. При \(I=2I_1\): \(I_2=-\dfrac{M}{L_2}I_1\). По условию модуль тока \(0{,}2I_1\), поэтому \(M/L_2=0{,}2\). (Сами \(M\) и \(L_2\) неизвестны, нужно только их отношение.)

3. Второй опыт. Ток катушки \(1\) увеличивают ещё в два раза, от \(2I_1\) до \(4I_1\), то есть \(I=4I_1\). Тогда \[I_2=-0{,}2\,(4I_1-I_1)=-0{,}6\,I_1 .\]

Обратите внимание. Ток \(I_2\) пропорционален не самому току \(I\), а его изменению от начального \(I_1\): ток катушки \(1\) вырос втрое от исходного (\(4I_1-I_1=3I_1\)), а не вдвое, поэтому ответ не \(0{,}4I_1\), а \(0{,}6I_1\). Сверхпроводящий ток не затухает: при каждом значении \(I\) величина \(I_2\) определяется только им.

Проверка. Размерность: \(M/L_2\) безразмерно, \(I_2\) измеряется в амперах. Предел: при \(I=I_1\) ток \(I_2=0\), как в начальный момент. Второй способ "— по приращениям: \(\Delta I_2=-0{,}2\,\Delta I\); первое приращение \(\Delta I=I_1\) даёт \(-0{,}2I_1\), второе \(\Delta I=2I_1\) даёт ещё \(-0{,}4I_1\), всего \(-0{,}6I_1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.