Всесоюзная, 1987/88, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Встреча с Юпитером меняет только направление скорости кометы относительно Юпитера, а не её модуль. Перейдите в систему отсчёта, связанную с Юпитером, найдите скорость кометы после встречи в системе Солнца, затем примените законы сохранения энергии и момента импульса на новой орбите.

Ответ

\(r_p=\dfrac{\sqrt3-1}{2}\cdot5{,}2\text{ а.\,е.}\approx1{,}9\text{ а.\,е.}\)

Решение

Что происходит. Комета падает из бесконечности с нулевой скоростью, поэтому её энергия в поле Солнца равна нулю, и на расстоянии \(R=5{,}2\) а. е. её скорость \(v_0\) равна параболической, направлена по радиусу к Солнцу (на рисунке условия падение идёт по вертикали). Юпитер движется по окружности радиуса \(R\) со скоростью \(v_J\) и тяжелее кометы настолько, что от встречи его скорость не меняется. В системе отсчёта Юпитера поле Юпитера неподвижно, комета влетает и вылетает с одной и той же по модулю скоростью, а меняется только направление. Главная идея — перевести скорость кометы в систему Юпитера, повернуть и вернуть в систему Солнца.

Обозначения. \(M\) — масса Солнца, \(v_J=\sqrt{GM/R}\) — скорость Юпитера (круговая орбита), \(\vec v_0\) — скорость кометы до встречи, \(\vec w\) — после встречи, \(\vec u\) и \(\vec u\,'\) — скорости кометы относительно Юпитера до и после встречи.

1. Скорость до встречи. До встречи на комету действует только Солнце, поэтому механическая энергия кометы сохраняется. Запишем закон сохранения энергии между «далеко от Солнца» (скорость нуль, потенциальная энергия нуль) и расстоянием \(R\): \[\frac{v_0^2}{2}-\frac{GM}{R}=0 \quad\Rightarrow\quad v_0=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt2\,v_J.\] Вектор \(\vec v_0\) направлен к Солнцу, \(\vec v_J\) перпендикулярен радиусу.

2. Скорость относительно Юпитера. Закон сложения скоростей: \(\vec u=\vec v_0-\vec v_J\). Векторы \(\vec v_0\) и \(\vec v_J\) перпендикулярны, поэтому \[u=\sqrt{v_0^2+v_J^2}=\sqrt3\,v_J.\]

3. Встреча. Во время встречи, которая коротка по сравнению с периодом обращения, поле Солнца почти не меняет скорость кометы. В системе Юпитера на комету действует только его неподвижное поле, поэтому механическая энергия кометы в этой системе сохраняется. Вдали от Юпитера до и после встречи потенциальная энергия в его поле равна нулю, значит \[u'=u=\sqrt3\,v_J.\] Обратите внимание: сохраняется модуль скорости в системе Юпитера. В системе Солнца энергия кометы растёт, потому что Юпитер движется и совершает над ней работу, и сохранять её там при встрече нельзя.

4. Скорость после встречи. По условию \(\vec w\) направлена противоположно \(\vec v_J\). Тогда \(\vec u\,'=\vec w-\vec v_J\) направлена тоже противоположно \(\vec v_J\), а её модуль — сумма модулей: \(u'=w+v_J\). Приравниваем: \[w+v_J=\sqrt3\,v_J \quad\Rightarrow\quad w=(\sqrt3-1)\,v_J\approx0{,}73\,v_J.\]

5. Новая орбита. Скорость \(\vec w\) перпендикулярна радиусу, а \(w<v_J\) (меньше круговой), поэтому точка встречи — афелий, как и сказано в условии. После встречи комета движется под действием одного Солнца, сохраняются энергия и момент импульса. Запишем их между афелием (расстояние \(R\), скорость \(w\)) и перигелием (расстояние \(r_p\), скорость \(v_p\), также перпендикулярная радиусу): \[w R=v_p r_p,\qquad \frac{v_p^2}{2}-\frac{GM}{r_p}=\frac{w^2}{2}-\frac{GM}{R}.\] Положим \(x=r_p/R\), \(k=w^2/v_J^2=(\sqrt3-1)^2=4-2\sqrt3\) и учтём \(GM=v_J^2R\). Тогда \(v_p=w/x\) и уравнение энергии принимает вид \(\dfrac{k}{2x^2}-\dfrac1x=\dfrac k2-1\), то есть \[(2-k)\,x^2-2x+k=0.\] Корень \(x=1\) — афелий, второй корень по теореме Виета \(x=\dfrac{k}{2-k}\): \[x=\frac{4-2\sqrt3}{2\sqrt3-2}=\frac{\sqrt3-1}{2}\approx0{,}366.\]

Ответ: \(r_p=\dfrac{\sqrt3-1}{2}\,R\approx0{,}366\cdot5{,}2\text{ а.\,е.}\approx1{,}9\text{ а.\,е.}\) Обратите внимание на модель: считаем орбиту Юпитера круговой, а подход кометы к его орбите — радиальным, как на рисунке условия.

Проверка. Второй способ: большая полуось \(a=\dfrac{GM}{2\,(GM/R-w^2/2)}=\dfrac{R}{2-k}=0{,}683\,R\), откуда \(r_p=2a-R=0{,}366\,R\). Предельные случаи: при \(w=v_J\) (\(k=1\)) орбита круговая и \(r_p=R\); при \(w\to0\) комета падает на Солнце, \(r_p\to0\). Численное интегрирование движения даёт наименьшее расстояние \(0{,}366\,R\). Смысл: Юпитер развернул комету в обратную сторону и забрал часть её энергии, она стала связанной с афелием у орбиты Юпитера.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Не решайте уравнение движения целиком: запишите второй закон Ньютона для малого промежутка времени и сложите по всему движению. Сила сопротивления даст слагаемое вдоль перемещения, сила Лоренца — слагаемое, перпендикулярное ему.

Ответ

\(s_2=\dfrac{2s_0s_1}{\sqrt{s_0^2+3s_1^2}}=\dfrac{30}{\sqrt{13}}\text{ см}\approx8{,}3\text{ см}.\)

Решение

Что происходит. Сила сопротивления \(-\beta\vec v\) тормозит частицу, сила Лоренца изгибает траекторию в спираль, но работы не совершает. Главная идея — не искать траекторию: оба слагаемых силы пропорциональны малому перемещению \(d\vec r=\vec v\,dt\), поэтому суммируются в перемещение от точки входа до остановки. Модель: поле однородно и перпендикулярно плоскости, в которой лежит начальная скорость, значит, движение плоское.

Обозначения. \(m\), \(q\) — масса и заряд частицы, \(\beta\) — коэффициент сопротивления, \(\vec v_0\) — начальная скорость, \(\vec s\) — вектор перемещения от точки входа до точки остановки, \(B\) — индукция поля.

1. Среда без поля. Запишем второй закон Ньютона для частицы за малый промежуток \(dt\): \(m\,d\vec v=-\beta\vec v\,dt=-\beta\,d\vec r\). Сложим по всему движению, от входа до остановки (скорость от \(\vec v_0\) до нуля): \[-m\vec v_0=-\beta\vec s_0 \quad\Rightarrow\quad s_0=\frac{mv_0}{\beta}=10\text{ см}.\] Траектория — отрезок прямой, перемещение равно пути.

2. Среда с полем. Добавляется сила Лоренца \(q\vec v\times\vec B\), и за время \(dt\) она даёт \(q\,\vec v\,dt\times\vec B=q\,d\vec r\times\vec B\). Закон из пункта 1 принимает вид \(m\,d\vec v=-\beta\,d\vec r+q\,d\vec r\times\vec B\). Сложим по всему движению, величины \(\beta\), \(q\), \(\vec B\) постоянны: \[m\vec v_0=\beta\vec s-q\,\vec s\times\vec B.\] Вектор \(\vec s\) лежит в плоскости движения, \(\vec B\) перпендикулярен этой плоскости, поэтому \(\vec s\times\vec B\perp\vec s\), а его модуль равен \(sB\). Слагаемые правой части взаимно перпендикулярны, и модуль суммы находится по теореме Пифагора (рисунок): \[m v_0=s\sqrt{\beta^2+q^2B^2} \quad\Rightarrow\quad s=\frac{mv_0}{\sqrt{\beta^2+q^2B^2}}.\]

3. Подстановка данных. По пункту 1 \(\beta=mv_0/s_0\). Для поля \(B\) получаем \(\dfrac1{s_1^2}=\dfrac{\beta^2+q^2B^2}{m^2v_0^2}=\dfrac1{s_0^2}+\dfrac{q^2B^2}{m^2v_0^2}\). Отсюда \(\left(\dfrac{qB}{mv_0}\right)^2=\dfrac1{s_1^2}-\dfrac1{s_0^2}\). Для поля \(B/2\) величина \(qB/(mv_0)\) уменьшается вдвое, а её квадрат — в четыре раза: \[\frac1{s_2^2}=\frac1{s_0^2}+\frac14\left(\frac1{s_1^2}-\frac1{s_0^2}\right)=\frac{3}{4s_0^2}+\frac1{4s_1^2} \quad\Rightarrow\quad s_2=\frac{2s_0s_1}{\sqrt{s_0^2+3s_1^2}}.\] Число: \(s_2=\dfrac{2\cdot10\cdot6}{\sqrt{100+108}}=\dfrac{120}{\sqrt{208}}=\dfrac{30}{\sqrt{13}}\text{ см}\approx8{,}3\text{ см}.\) Для поля \(B\) из тех же данных \(qB/\beta=\sqrt{s_0^2/s_1^2-1}=4/3\), для поля \(B/2\) — \(2/3\).

Обратите внимание: в условии это расстояния от точки входа, то есть длины векторов \(\vec s\); путь по спирали длиннее. Поэтому из ответа нельзя получить путь, зато он и не нужен.

Ответ: \(s_2=\dfrac{2s_0s_1}{\sqrt{s_0^2+3s_1^2}}=\dfrac{30}{\sqrt{13}}\text{ см}\approx8{,}3\text{ см}.\)

Проверка. Размерность: \(\beta\) и \(qB\) измеряются одинаково (сила на скорость), \(mv_0/\beta\) — длина. Пределы: при \(B\to0\) получаем \(s_0\), при очень сильном поле \(s\to mv_0/(qB)\) — радиус окружности частицы в магнитном поле, потому что сопротивление уже не успевает ничего сделать. Численное интегрирование уравнения движения даёт для трёх значений поля \(10{,}0\), \(6{,}0\) и \(8{,}3\) см, то есть тот же результат.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Пусть капля чуть выросла. Пар в закрытой полости потерял воду, и его давление упало; давление насыщенного пара над каплёй тоже упало. Равновесие устойчиво, если давление пара падает быстрее, чем давление насыщения над каплей.

Ответ

Равновесие устойчиво при \(r>r_{\text{кр}}\approx7{,}5\) мкм, где \(r_{\text{кр}}\) найдено из условия \(\dfrac{4\pi\rho RT}{\mu V}\,r^2=\left|\dfrac{d\Delta p}{dr}\right|\).

Решение

Что происходит. Над выпуклой каплей насыщенный пар имеет давление \(p_{\text{нас}}(r)=p_{\text{нас}}(\infty)+\Delta p(r)\), причём чем меньше капля, тем оно выше. Капля находится в равновесии с паром, когда давление пара в полости \(p_{\text{пар}}\) равно \(p_{\text{нас}}(r)\). Вода в полости не исчезает: если капля растёт, давление пара падает. Главная идея — сравнить, как быстро с ростом радиуса падают эти два давления: если пар обедняется быстрее, чем падает давление насыщения у капли, то случайно выросшая капля попадёт в недонасыщенный пар и испарится назад.

Обозначения. \(r_0\) — равновесный радиус капли, \(V=3\text{ см}^3\) — объём полости, \(\rho=1000\text{ кг/м}^3\) — плотность воды, \(\mu=0{,}018\text{ кг/моль}\), \(T=293\text{ К}\), \(a=-dp_{\text{пар}}/dr\), \(b=-d\Delta p/dr\) — скорости падения двух давлений при росте капли.

1. Как давление пара зависит от радиуса капли. Полость замкнута, масса воды в ней постоянна. Рост радиуса на \(dr\) увеличивает массу капли на \(\rho\,4\pi r^2\,dr\) (объём капли много меньше \(V\), плотность пара много меньше \(\rho\)), и столько же пар теряет: \(V\,d\rho_{\text{п}}=-\rho\,4\pi r^2\,dr\). Пар — идеальный газ, \(p_{\text{пар}}=\rho_{\text{п}}RT/\mu\) при постоянной \(T\), поэтому \[\frac{dp_{\text{пар}}}{dr}=-\frac{RT}{\mu}\cdot\frac{4\pi\rho\,r^2}{V} \quad\Rightarrow\quad a=Kr^2,\quad K=\frac{4\pi\rho RT}{\mu V}.\] Число: \(\dfrac{RT}{\mu}=\dfrac{8{,}31\cdot293}{0{,}018}\approx1{,}35\cdot10^5\text{ Дж/кг}\), \(K=\dfrac{4\pi\cdot10^3\cdot1{,}35\cdot10^5}{3\cdot10^{-6}}\approx5{,}7\cdot10^{14}\text{ Па/м}^3=5{,}7\cdot10^{-4}\text{ Па/мкм}^3\).

2. Условие устойчивости. В равновесии \(p_{\text{пар}}(r_0)=p_{\text{нас}}(r_0)\). Вырастим каплю на малую величину \(\delta\): давление пара станет \(p_{\text{пар}}(r_0)-a\delta\), давление насыщения над каплёй — \(p_{\text{нас}}(r_0)-b\delta\) (от \(r\) зависит только \(\Delta p\)). Если \(a<b\), то пар окажется пересыщенным относительно новой капли, и она продолжит расти — равновесие неустойчиво (левая картина). Если \(a>b\), пар недонасыщен, капля испаряется и возвращается к \(r_0\) (правая картина); при уменьшении капли рассуждение зеркально. Значит, устойчивость — это \(Kr^2>b(r)\). Обратите внимание: устойчивость определяют не сами давления, а их наклоны; равновесие при данном \(r_0\) существует, если подобрать массу воды, но не каждое из них устойчиво.

3. Наклон графика. Величина \(b(r)=-d\Delta p/dr\) — модуль наклона касательной к графику на рисунке 7. Снимем его в нескольких точках (на участке \(6\)–\(10\) мкм кривая близка к \(\Delta p\approx2\text{ Па}\cdot\text{мкм}/r\)) и сравним с \(Kr^2\), где \(Kr^2=5{,}7\cdot10^{-4}\,r^2\) Па/мкм при \(r\) в микрометрах:

Кривая \(Kr^2\) растёт, \(b(r)\) убывает; они пересекаются при \(r_{\text{кр}}\approx7{,}5\) мкм. Левее \(a<b\) (неустойчиво), правее \(a>b\) (устойчиво).

Ответ: равновесие капли устойчиво при \(r>r_{\text{кр}}\approx7{,}5\) мкм (по графику — между 7 и 8 мкм). Меньшие капли в этой полости в равновесии с паром неустойчивы.

Проверка. Размерность: \(\rho RT/\mu\) — плотность энергии (Па), деление на \(V\) и умножение на \(r^2\) дают Па/м, как у \(d\Delta p/dr\). Второй способ: на участке \(6\)–\(10\) мкм \(\Delta p\approx c/r\) с \(c\approx2\text{ Па}\cdot\text{мкм}\), тогда \(b=c/r^2\) и условие \(Kr^2>c/r^2\) даёт \(r>(c/K)^{1/4}=(2/5{,}7\cdot10^{-4})^{1/4}\text{ мкм}\approx7{,}7\text{ мкм}\), то есть то же в пределах точности чтения графика. Смысл: в такой маленькой полости воды в паре мало, и капля размером в несколько микрометров заметно «объедает» пар — этим и держится устойчивость.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Ёмкость \(C(t)=\varepsilon_0S/d\) колеблется около \(C=\varepsilon_0S/d_0\). Запишите второе правило Кирхгофа и оставьте члены первого порядка по \(m\); для колебаний заряда получится уравнение обычной \(RC\)-цепи с источником, дающим \(mU_0\sin\omega t\).

Ответ

\(P_{\text{нч}}=\dfrac12\,m^2\omega^2RC^2U_0^2\) при \(\omega\ll\dfrac1{RC}\);  \(P_{\text{вч}}=\dfrac{m^2U_0^2}{2R}\) при \(\omega\gg\dfrac1{RC}\), где \(C=\dfrac{\varepsilon_0S}{d_0}\). График: \(P\propto\omega^2\) при малых \(\omega\), затем рост замедляется, и \(P\) выходит на постоянное значение.

Решение

Что происходит. Ёмкость конденсатора меняется: \(C(t)=\dfrac{\varepsilon_0S}{d}=\dfrac{C}{1+m\sin\omega t}\) с \(C=\varepsilon_0S/d_0\). Поэтому заряд на пластинах должен меняться, и по цепи течёт переменный ток; средняя мощность на резисторе равна среднему от \(Ri^2\). Главная идея — при \(m\ll1\) ток первого порядка по \(m\) найти из линейного уравнения, а мощность — второго порядка. Пока частота низка, заряд успевает следовать за ёмкостью, при высокой частоте заряд почти не меняется, а напряжение на конденсаторе колеблется, и эту разность принимает на себя резистор.

Обозначения. \(q(t)\) — заряд на пластине, подключённой к плюсу батареи, \(i=dq/dt\) — ток в цепи, \(q_0=CU_0\) — заряд при неподвижной пластине.

1. Уравнение цепи. Запишем второе правило Кирхгофа для замкнутой цепи: напряжение батареи равно сумме напряжений на резисторе и конденсаторе, \[U_0=R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C(t)}=R\frac{dq}{dt}+\frac{q\,(1+m\sin\omega t)}{C}.\] Без колебаний (\(m=0\)) заряд постоянен и равен \(q_0=CU_0\).

2. Первый порядок по \(m\). Положим \(q=q_0+q_1\), где \(q_1\sim m\). Подставим и сократим \(U_0=q_0/C\); слагаемое \(q_1m\sin\omega t\) второго порядка и отбрасывается: \[R\frac{dq_1}{dt}+\frac{q_1}{C}=-\frac{q_0}{C}\,m\sin\omega t=-mU_0\sin\omega t.\] Это уравнение обычной \(RC\)-цепи с постоянным конденсатором \(C\) и источником, ЭДС которого \(\mathcal{E}=-mU_0\sin\omega t\). Ток \(i=dq_1/dt\) в установившемся режиме гармонический, его амплитуда — амплитуда тока в последовательной цепи \(R\), \(C\) при частоте \(\omega\): \[I=\frac{mU_0}{\sqrt{R^2+\dfrac{1}{\omega^2C^2}}}.\] Постоянной составляющей тока нет: заряд в среднем неизменен.

3. Средняя мощность. Среднее значение \(\sin^2\) за период равно \(\tfrac12\), поэтому \[P=\frac{R I^2}{2}=\frac{m^2U_0^2}{2R}\cdot\frac{\omega^2R^2C^2}{1+\omega^2R^2C^2}.\] Обратите внимание: мощность второго порядка по \(m\), поэтому ток нужен точно в первом порядке; нулевой порядок мощности не даёт, ведь при постоянной ёмкости и постоянном заряде тока нет.

4. Пределы. Низкая частота \(\omega RC\ll1\): знаменатель близок к единице, \(P\approx\dfrac12\,m^2\omega^2RC^2U_0^2\). Второй способ: заряд следует за ёмкостью, \(q=C(t)U_0\approx CU_0(1-m\sin\omega t)\), ток \(i=-CU_0m\omega\cos\omega t\) и \(\langle Ri^2\rangle=\tfrac12RC^2U_0^2m^2\omega^2\), то же. Высокая частота \(\omega RC\gg1\): дробь стремится к единице, \(P=\dfrac{m^2U_0^2}{2R}\): сопротивление конденсатора \(1/(\omega C)\) мало по сравнению с \(R\), и амплитуда тока определяется резистором, \(I=mU_0/R\).

5. График. Зависимость \(P/P_\infty=x^2/(1+x^2)\), \(x=\omega RC\), \(P_\infty=m^2U_0^2/(2R)\): при \(x=0{,}5;\ 1;\ 2;\ 5\) она равна \(0{,}2;\ 0{,}5;\ 0{,}8;\ 0{,}96\). Кривая начинается как парабола \(P\propto\omega^2\), на \(\omega=1/(RC)\) достигает половины предельного значения и затем выходит на горизонталь \(m^2U_0^2/(2R)\) (пунктир на рисунке — парабола низких частот).

Ответ: \(P_{\text{нч}}=\dfrac12\,m^2\omega^2RC^2U_0^2\), \(P_{\text{вч}}=\dfrac{m^2U_0^2}{2R}\), \(C=\dfrac{\varepsilon_0S}{d_0}\); график — по рисунку.

Проверка. Размерность: \(U_0^2/R\) — мощность, \(\omega RC\) безразмерно, \(RC^2\omega^2U_0^2=(U_0^2/R)(\omega RC)^2\) — мощность. Физический смысл: на высокой частоте заряд заморожен, напряжение на конденсаторе \(q_0/C(t)\) колеблется как \(U_0(1+m\sin\omega t)\), отличаясь от \(U_0\) на \(mU_0\sin\omega t\), и именно эту добавку к напряжению принимает \(R\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Мощность постоянного тока — это произведение напряжения между жилой и оболочкой на ток. Напряжение выражается через напряжённость поля у жилы (поле падает как \(1/r\)), ток — через индукцию у жилы. Оба ограничения действуют у поверхности внутренней жилы.

Ответ

1) Мощность вырастет в 4 раза;  2) \(P_{\max}=\dfrac{2\pi E_{\max}B_{\max}}{\mu_0}\,\dfrac{d^2}{4}\ln\dfrac Dd\approx1{,}1\cdot10^{8}\text{ Вт}\) (около 110 МВт).

Решение

Что происходит. По жиле идёт ток \(I\) вперёд, по оболочке — назад, между ними напряжение \(U\) и полезная мощность \(P=UI\). Пока сверхпроводники сверхпроводят, потерь нет, и мощность ограничена только тем, что поле у жилы не должно превысить \(B_{\max}\) (иначе пропадёт сверхпроводимость) и \(E_{\max}\) (иначе пробьётся изоляция). Главная идея — выразить \(U\) через \(E_{\max}\), \(I\) через \(B_{\max}\) и оценить, где поля наибольшие.

Обозначения. \(a=d/2\) — радиус жилы, \(b=D/2\) — внутренний радиус оболочки, \(r\) — расстояние от оси, \(\lambda\) — заряд жилы на единицу длины.

1. Электрическое поле и напряжение. Запишем теорему Гаусса для коаксиального цилиндра радиуса \(r\) между жилой и оболочкой: поток поля через боковую поверхность длины \(l\) равен \(E\cdot2\pi rl\) и пропорционален заряду \(\lambda l\) внутри, поэтому \(E(r)=A/r\) с постоянной \(A\propto\lambda\). Поле наибольшее у жилы: \(E_{\max}=A/a\), откуда \(A=E_{\max}a\). Напряжение между жилой и оболочкой \[U=\int_a^b E\,dr=A\ln\frac ba=E_{\max}\,a\ln\frac ba.\]

2. Магнитное поле и ток. По условию \(B=\mu_0I/(2\pi r)\) в зазоре, так что и \(B\) наибольшее у жилы: \(B_{\max}=\mu_0I/(2\pi a)\). Отсюда наибольший допустимый ток \[I=\frac{2\pi a\,B_{\max}}{\mu_0}.\] Обратите внимание: у наружной оболочки оба поля меньше, чем у жилы, в \(b/a\) раз (рисунок), поэтому ограничивает именно поверхность жилы. И напряжение, и ток можно довести до предела одновременно: \(U\) задаёт источник, \(I\) — нагрузка, они независимы.

3. Предельная мощность. Перемножим: \[P_{\max}=UI=\frac{2\pi E_{\max}B_{\max}}{\mu_0}\;a^2\ln\frac ba.\]

4. Увеличение диаметров вдвое. При \(a\to2a\), \(b\to2b\) отношение \(b/a\) и \(\ln(b/a)\) не меняются, а \(a^2\) растёт в четыре раза. Максимальная мощность увеличится в 4 раза.

5. Кабель \(D=8\) см, \(d=3\) см. Здесь \(a=1{,}5\) см, \(b=4\) см, \(E_{\max}=2\cdot10^6\) В/м. Постоянная \(\dfrac{2\pi E_{\max}B_{\max}}{\mu_0}=\dfrac{2\pi\cdot2\cdot10^6\cdot5\cdot10^{-2}}{4\pi\cdot10^{-7}}=5\cdot10^{11}\text{ Вт/м}^2\), и \[P_{\max}=5\cdot10^{11}\cdot(1{,}5\cdot10^{-2})^2\cdot\ln\frac83\approx5\cdot10^{11}\cdot2{,}25\cdot10^{-4}\cdot0{,}98\approx1{,}1\cdot10^{8}\text{ Вт}.\] Предельные значения тока и напряжения при этом \(I=2\pi aB_{\max}/\mu_0\approx3{,}8\cdot10^{3}\) А и \(U=E_{\max}a\ln(b/a)\approx2{,}9\cdot10^{4}\) В.

Ответ: 1) в 4 раза; 2) \(P_{\max}\approx1{,}1\cdot10^{8}\text{ Вт}\approx110\text{ МВт}\).

Проверка. Размерность: \(B_{\max}/\mu_0\) — ток на метр (А/м), \(E_{\max}B_{\max}/\mu_0\) — Вт/м\(^2\), умноженная на \(a^2\), — ватты. Второй способ: мощность — поток вектора Пойнтинга \(S=EH\) через зазор, \(P=\int_a^b\dfrac Ar\cdot\dfrac{I}{2\pi r}\,2\pi r\,dr=AI\ln\dfrac ba=UI\), то же. Замечание: при фиксированном \(D=8\) см мощность как функция \(d\) достигает наибольшего значения при \(a=b/\sqrt e\), то есть \(d\approx4{,}9\) см и \(P\approx1{,}5\cdot10^{8}\) Вт; заданный кабель даёт около \(75\,\%\) этого максимума (рисунок).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.