Всесоюзная, 1987/88, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Разгонять автомобиль может только сила трения о дорогу, и её модуль ограничен. На прямой она вся идёт на разгон, на повороте часть её нужна, чтобы поворачивать.

Ответ

\(t\approx0{,}14\text{ с}\); скорость выше \(10\text{ м/с}\) не удастся увеличить при \(R\le20\text{ м}\).

Решение

Что происходит. Автомобиль разгоняется и поворачивает только за счёт силы трения покоя между шинами и дорогой (дорога горизонтальна, сопротивлением воздуха пренебрегаем). Эта сила ограничена по модулю: \(F\le\mu mg\). На прямой участке вся она направлена вдоль движения. На кольце её приходится делить: одна составляющая даёт центростремительное ускорение, другая разгоняет. Полное ускорение по модулю не может превысить прежнее максимальное значение.

Обозначения. \(m\) — масса автомобиля, \(\mu\) — коэффициент трения шин о дорогу, \(a_{\max}\) — наибольшее возможное по модулю ускорение, \(a_\tau\) — касательное ускорение (меняет скорость), \(a_n=v^2/R\) — нормальное (центростремительное).

1. Предельное ускорение. На прямом участке автомобиль набирает скорость при наибольшем ускорении, поэтому \[a_{\max}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{10{,}5\text{ м/с}-10{,}0\text{ м/с}}{0{,}1\text{ с}}=5\text{ м/с}^2\qquad(\mu=a_{\max}/g\approx0{,}5).\]

2. Разгон на кольце. Запишем второй закон Ньютона для автомобиля векторно: \(m\vec a=\vec F_{\text{тр}}\), ускорение раскладываем на касательную и нормальную составляющие (рисунок). Они перпендикулярны, поэтому по теореме Пифагора \[a_\tau^2+a_n^2=a^2\le a_{\max}^2 .\] Наибольшая скорость набора — при \(a=a_{\max}\). Тогда \[a_\tau=\sqrt{a_{\max}^2-\Bigl(\frac{v^2}{R}\Bigr)^2}.\]

Скорость меняется всего на 5 %, от \(10{,}0\) до \(10{,}5\text{ м/с}\), поэтому берём среднюю \(v=10{,}25\text{ м/с}\): \(a_n=v^2/R\approx3{,}5\text{ м/с}^2\) и \[a_\tau=\sqrt{5^2-3{,}5^2}\approx3{,}6\text{ м/с}^2 .\] Касательное ускорение постоянно с точностью до этого приближения, и \(\Delta v=a_\tau t\), откуда \[t=\frac{\Delta v}{a_\tau}=\frac{0{,}5\text{ м/с}}{3{,}6\text{ м/с}^2}\approx0{,}14\text{ с}.\] Обратите внимание: ускорение на кольце не сравнивают с \(5\text{ м/с}^2\) по одной составляющей. Предельным по модулю остаётся полное ускорение, и поворот забирает у разгона часть сцепления с дорогой.

3. Когда разгон невозможен. Автомобиль не может увеличить скорость, если вся сила трения уходит на поворот: \(a_\tau=0\), то есть \(v^2/R=a_{\max}\). При скорости \(v=10\text{ м/с}\) это даёт \[R=\frac{v^2}{a_{\max}}=\frac{(10\text{ м/с})^2}{5\text{ м/с}^2}=20\text{ м}.\] Чем меньше радиус, тем больше нужное нормальное ускорение; при \(R\le20\text{ м}\) скорость \(10\text{ м/с}\) уже предельная (выше — занос).

Проверка. Размерность: \(\text{м/с}\big/\text{м/с}^2=\text{с}\). Предел \(R\to\infty\): \(a_n\to0\), \(a_\tau\to a_{\max}\), \(t\to0{,}1\text{ с}\), как на прямой. При \(R=20\text{ м}\) время разгона стремится к бесконечности: сцепления на разгон не остаётся. Численное интегрирование \(t=\int_{10}^{10{,}5}dv\big/\sqrt{a_{\max}^2-v^4/R^2}\) даёт \(0{,}140\text{ с}\), то есть замена средней скоростью точна.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта воды: там течения нет, и плот просто тормозится силой сопротивления, пропорциональной скорости. Пройденный до остановки путь равен произведению начальной скорости на время релаксации, а само это время найдите по изгибу кривой на рисунке.

Ответ

\(Y=v_0\tau\approx15{,}5\text{ м}\) (по рисунку получается 15–16 м); время релаксации \(\tau=m/k\approx50\text{ с}\).

Решение

Что происходит. Сила сопротивления зависит от скорости относительно воды, а не берега. В системе отсчёта воды (она движется равномерно, значит, инерциальна) течения нет, и плот просто тормозится: его скорость относительно воды убывает, не меняя направления, пока плот не остановится относительно воды, то есть не поплывёт вместе с ней. Расстояние от берега течение не меняет — оно направлено вдоль берега. Поэтому нужно найти, насколько плот успеет отплыть от берега, пока тормозится.

Обозначения. Ось \(x\) — вдоль берега по течению, ось \(y\) — от берега; \(\vec u\) — скорость течения (\(u=0{,}3\text{ м/с}\)), \(\vec v_0\) — начальная скорость плота относительно берега (\(v_0=0{,}3\text{ м/с}\), вдоль оси \(y\)), \(\vec v'\) — скорость плота относительно воды, \(m\) — масса плота, \(k\) — коэффициент сопротивления, \(\tau=m/k\).

1. Движение относительно воды. Начальная скорость плота относительно воды \(\vec v'_0=\vec v_0-\vec u\): она направлена под \(45^\circ\) к берегу (против течения и от берега). Единственная горизонтальная сила — сопротивление \(\vec F=-k\vec v'\) (сила тяжести уравновешена силой Архимеда). Запишем второй закон Ньютона для плота в системе воды и разделим на \(m\): для малого промежутка \(dt\) \[d\vec v'=-\frac{\vec v'}{\tau}\,dt=-\frac{d\vec r'}{\tau},\] где \(d\vec r'=\vec v'\,dt\) — смещение плота относительно воды. Просуммируем от начала движения до остановки относительно воды (скорость \(\vec v'\) меняется от \(\vec v'_0\) до нуля, \(\vec r'\) — смещение за всё время): \[0-\vec v'_0=-\frac{\vec r'}{\tau}\quad\Rightarrow\quad\vec r'=\tau\,\vec v'_0 .\] Плот остановится относительно воды в точке, смещённой на \(\tau\vec v'_0\). Его \(y\)-составляющая равна \(v_0\tau\), потому что \(v'_{0y}=v_0\). Течение вдоль берега \(y\) не меняет, поэтому \[Y=v_0\tau .\] Это и есть расстояние от берега. Осталось найти \(\tau\).

2. Траектория относительно берега. Величина \(\vec v'\) убывает по экспоненте, \(\vec v'=\vec v'_0e^{-t/\tau}\) (из \(d\vec v'=-\vec v'\,dt/\tau\)), а её направление не меняется. Тогда в системе берега \[v_y=v_0e^{-t/\tau},\qquad y=v_0\tau\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)=Y\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).\] Относительно воды плот движется по прямой под \(45^\circ\) (\(v'_{0x}=-u\), \(v'_{0y}=v_0\), \(u=v_0\)), так что за время \(t\) смещение вдоль течения в системе воды равно \(-y\), а вода сама сместилась на \(ut\). Значит, в системе берега \(x=ut-y\), то есть \(x+y=ut\). Выразим время через \(y\): \(t=-\tau\ln(1-y/Y)\). Так как \(u\tau=v_0\tau=Y\), получаем уравнение траектории \[x+y=-Y\ln\Bigl(1-\frac{y}{Y}\Bigr).\]

3. Снимаем данные с рисунка. Масштаб: отрезок «1 м» на рисунке — около пяти клеток миллиметровки; берег — нижняя линия. Конец показанного участка: \(y\approx8{,}0\text{ м}\), \(x\approx3{,}3\text{ м}\), так что \(x+y\approx11{,}3\text{ м}\). Подбираем \(Y\) в уравнении траектории: при \(Y=15\) м получается \(11{,}4\) м, при \(Y=16\) м — \(11{,}1\) м, значит, \(Y\approx15{,}3\text{ м}\). Другие точки кривой подтверждают значение около \(15{,}5\text{ м}\) (отсчёт по рисунку ведёт к 15–16 м):

Расстояние от берега в конце концов \[Y\approx15{,}5\text{ м},\qquad \tau=\frac{Y}{v_0}\approx\frac{15{,}5\text{ м}}{0{,}3\text{ м/с}}\approx52\text{ с}.\]

Обратите внимание: в системе берега плот сразу получает ускорение вдоль течения (\(a_x=u/\tau\)), поэтому траектория начинается вертикально и загибается по течению; но предельное расстояние от берега зависит только от \(v_0\tau\).

Проверка. Размерность: \(v_0\tau=\text{м/с}\cdot\text{с}=\text{м}\). Если течения нет (\(u=0\)), плот едет прямо и остановится в \(v_0\tau\) от берега — то же значение: течение расстояние не меняет. Траектория, построенная по найденной \(Y\), ложится на все четыре отсчитанные точки рисунка и приближается к прямой \(y=Y\) только при \(x\to\infty\): плот асимптотически подплывает к ней и уносится течением вдоль берега.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Вещество медленно теряет тепло в окружающую среду; мощность потерь можно считать постоянной. Тогда выделенное тепло пропорционально времени, и энергию любого участка графика можно выразить через его длительность.

Ответ

\(c_{\text{ж}}\approx8\text{ кДж/(кг·К)}\), \(c_{\text{тв}}\approx19\text{ кДж/(кг·К)}\) (точность около \(15\,\%\)).

Решение

Что происходит. Калориметр медленно отдаёт тепло окружающей среде. Сначала остывает жидкость, потом при постоянной температуре \(55\,^\circ\text{C}\) идёт кристаллизация (температура не меняется, пока всё вещество не затвердеет), затем остывает твёрдое вещество. Температура за опыт меняется всего на \(6\,^\circ\text{C}\), поэтому мощность теплопотерь \(P\) считаем постоянной. Тогда за любое время \(\Delta\tau\) вещество отдаёт \(P\,\Delta\tau\), и по длительности участков графика можно сравнивать энергии.

Обозначения. \(m\) — масса вещества, \(\lambda=200\text{ кДж/кг}\), \(c_{\text{ж}}\) и \(c_{\text{тв}}\) — искомые удельные теплоёмкости, \(\Delta\tau\) — длительность участка, \(\Delta t\) — изменение температуры на участке (рисунок).

1. Данные с графика. Масштаб: 1 минута — 5 клеток по горизонтали, \(1\,^\circ\text{C}\) — 1 клетка по вертикали. Жидкость остывает от \(57{,}6\,^\circ\text{C}\) до \(55\,^\circ\text{C}\) за \(\Delta\tau_{\text{ж}}\approx0{,}5\text{ мин}\) (\(\Delta t_{\text{ж}}\approx2{,}6\,^\circ\text{C}\)). Плато (плавление) длится от \(1{,}5\) до \(6{,}3\text{ мин}\), \(\Delta\tau_{\text{пл}}\approx4{,}8\text{ мин}\). Твёрдое остывает от \(55\,^\circ\text{C}\) до \(52{,}2\,^\circ\text{C}\) за \(\Delta\tau_{\text{тв}}\approx1{,}3\text{ мин}\) (\(\Delta t_{\text{тв}}\approx2{,}8\,^\circ\text{C}\)).

2. Три баланса энергии. Энергия, отданная веществом, равна \(P\,\Delta\tau\) на каждом участке: при остывании жидкости это \(mc_{\text{ж}}\Delta t_{\text{ж}}\), при кристаллизации — \(m\lambda\) (температура не меняется), при остывании твёрдого — \(mc_{\text{тв}}\Delta t_{\text{тв}}\): \[mc_{\text{ж}}\Delta t_{\text{ж}}=P\,\Delta\tau_{\text{ж}},\qquad m\lambda=P\,\Delta\tau_{\text{пл}},\qquad mc_{\text{тв}}\Delta t_{\text{тв}}=P\,\Delta\tau_{\text{тв}} .\] Мощность \(P\) и масса \(m\) неизвестны, но разделим первое и третье уравнения на второе — они сократятся: \[c_{\text{ж}}=\lambda\,\frac{\Delta\tau_{\text{ж}}}{\Delta t_{\text{ж}}\,\Delta\tau_{\text{пл}}},\qquad c_{\text{тв}}=\lambda\,\frac{\Delta\tau_{\text{тв}}}{\Delta t_{\text{тв}}\,\Delta\tau_{\text{пл}}} .\]

3. Числа. \[c_{\text{ж}}=200\text{ кДж/кг}\cdot\frac{0{,}5\text{ мин}}{2{,}6\text{ К}\cdot4{,}8\text{ мин}}\approx8\text{ кДж/(кг·К)},\qquad c_{\text{тв}}=200\text{ кДж/кг}\cdot\frac{1{,}3\text{ мин}}{2{,}8\text{ К}\cdot4{,}8\text{ мин}}\approx19\text{ кДж/(кг·К)}.\] Обратите внимание: теплопотери считаем постоянными, хотя температура меняется; поправку дали бы температура окружающей среды и закон охлаждения, но их нет в условии. Погрешность при таком чтении графика — около \(15\,\%\).

Проверка. Размерность: \(\text{кДж/кг}\cdot\text{мин}/(\text{К}\cdot\text{мин})=\text{кДж/(кг·К)}\). Второй способ: из плато мощность на единицу массы равна \(\lambda/\Delta\tau_{\text{пл}}=200/4{,}8\approx42\text{ кДж/(кг·мин)}\); жидкость за \(0{,}5\text{ мин}\) при \(8\text{ кДж/(кг·К)}\) отдаёт \(8\cdot2{,}6=21\text{ кДж/кг}\), то есть те же \(42\text{ кДж/(кг·мин)}\), а твёрдое — \(19\cdot2{,}8/1{,}3\approx41\). Физический смысл: чем медленнее остывает участок при той же мощности потерь, тем больше его теплоёмкость.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Амперметры без сопротивления — это провода, точки их подключения имеют одинаковые потенциалы. Посмотрите, под каким напряжением оказываются тогда все три резистора.

Ответ

\(I=0{,}4\text{ А}\) или \(I=0{,}35\text{ А}\): условие не говорит, какие два резистора поменяли и какой амперметр что показывал, и обе возможности осуществимы (см. решение).

Решение

Что происходит. Идеальный амперметр — провод. Верхний амперметр соединяет левый узел \(M\) с узлом \(K\) между вторым и третьим резисторами, нижний — узел \(N\) между первым и вторым с нижним правым узлом \(L\). Значит, потенциалы \(M\) и \(K\) одинаковы, потенциалы \(N\) и \(L\) тоже, и все три резистора оказываются под одним напряжением батареи \(U\) — включены параллельно. Токи \(I_i=U/R_i\) найдём через показания амперметров, а затем используем условие, что после обмена резисторов показания не изменились.

Обозначения. \(I_1,I_2,I_3\) — токи через резисторы \(R_1,R_2,R_3\), \(I\) — ток батареи, \(I_{A1}\) и \(I_{A2}\) — показания верхнего и нижнего амперметров, \(U\) — напряжение батареи.

1. Схема как параллельное соединение. Между \(M\) и \(N\) напряжение батареи \(U\) (\(N\) и \(L\) — одна точка), между \(N\) и \(K\) тоже \(U\) (\(K\) и \(M\) — одна точка), между \(K\) и \(L\) тоже \(U\). Положительный полюс батареи — левый вывод, ток течёт по схеме слева направо (рисунок), поэтому \(I_i=U/R_i>0\).

2. Токи через амперметры. В узле \(K\) ток от верхнего амперметра раздваивается и уходит в \(R_2\) (налево) и \(R_3\) (направо), поэтому \(I_{A1}=I_2+I_3\) (закон сохранения заряда для узла \(K\)). В узел \(N\) приходят токи \(I_1\) и \(I_2\) и уходят через нижний амперметр: \(I_{A2}=I_1+I_2\). Ток батареи \(I=I_1+I_2+I_3\).

3. Что значит «поменяли два резистора». Каждый резистор по-прежнему под напряжением \(U\), поэтому после обмена токи просто переставляются между местами. Разберём три варианта.

• Поменяли \(R_1\) и \(R_2\): новое показание верхнего амперметра \(I_1+I_3\) должно совпасть с \(I_2+I_3\), то есть \(I_1=I_2=x\); обозначим \(I_3=y\). Тогда \(I_{A1}=x+y\), \(I_{A2}=2x\).

• Поменяли \(R_2\) и \(R_3\): нижнее показание \(I_1+I_3\) должно совпасть с \(I_1+I_2\), то есть \(I_2=I_3=y\); обозначим \(I_1=x\). Тогда \(I_{A1}=2y\), \(I_{A2}=x+y\).

• Поменяли \(R_1\) и \(R_3\): оба показания остаются прежними только при \(I_1=I_3\), но тогда \(I_{A1}=I_2+I_3=I_{A2}\), а в условии \(0{,}2\ne0{,}3\). Такой обмен невозможен.

4. Числа. В обоих допустимых вариантах одно показание равно удвоенному току (обозначим его \(2z\)), другое — сумме токов \(x+y\); ток батареи равен другому показанию плюс \(z\): \(I=(x+y)+z\) (в первом варианте \(z=x\), во втором \(z=y\)). Если удвоенному току отвечает \(0{,}2\text{ А}\): \(z=0{,}1\text{ А}\), другое показание \(0{,}3\text{ А}\) (оставшийся ток \(0{,}2\text{ А}\)), и \(I=0{,}3+0{,}1=0{,}4\text{ А}\). Если удвоенному току отвечает \(0{,}3\text{ А}\): \(z=0{,}15\text{ А}\), другое показание \(0{,}2\text{ А}\) (оставшийся ток \(0{,}05\text{ А}\)), и \(I=0{,}2+0{,}15=0{,}35\text{ А}\).

Обратите внимание: условие не говорит, какой амперметр показывает \(0{,}2\text{ А}\) и какие резисторы менялись, а оба варианта (поменяли \(R_1\) с \(R_2\) или \(R_2\) с \(R_3\)) допускают оба распределения показаний, поэтому подходят оба значения тока.

Проверка. Размерность: ампер, сумма токов ветвей. Например, \(I_1=I_2=0{,}1\text{ А}\), \(I_3=0{,}2\text{ А}\): \(I_{A1}=I_2+I_3=0{,}3\text{ А}\), \(I_{A2}=I_1+I_2=0{,}2\text{ А}\), \(I=0{,}4\text{ А}\); после обмена \(R_1\) и \(R_2\) токи \(0{,}1;0{,}1;0{,}2\) остаются теми же, показания не меняются — верно. Второй пример (обмен \(R_2\) и \(R_3\)): \(I_1=0{,}2\text{ А}\), \(I_2=I_3=0{,}1\text{ А}\) даёт \(I_{A1}=0{,}2\text{ А}\), \(I_{A2}=0{,}3\text{ А}\), \(I=0{,}4\text{ А}\). Третий (обмен \(R_1\) и \(R_2\)): \(I_1=I_2=0{,}15\text{ А}\), \(I_3=0{,}05\text{ А}\) даёт \(I_{A1}=0{,}2\text{ А}\), \(I_{A2}=0{,}3\text{ А}\), \(I=0{,}35\text{ А}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.