Всесоюзная, 1988/89, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Если скорости точек А и Б одинаковы, то в системе отсчёта, движущейся вместе с точкой Б, точка А неподвижна: на что это указывает для вращения кубика?

Ответ

\(v_{\max}=\sqrt{13}\,v\approx3{,}6\,v\) (вторая возможность, когда точка В движется вниз, даёт \(\sqrt5\,v\)).

Решение

Что происходит. Кубик — твёрдое тело, его точки движутся согласованно: скорость любой точки равна скорости точки Б плюс скорость, которую даёт вращение кубика вокруг Б. Условие про равные скорости точек А и Б сразу говорит, где ось вращения. Дальше остаётся узнать, как вращение разгоняет остальные вершины, и выбрать наибольшую скорость.

Обозначения. Ось \(x\) — вдоль ребра БВ (от Б к В), ось \(y\) — вдоль ребра БА, ось \(z\) — вверх (рис.). Ребро кубика — \(a\). Верхние вершины над Б и над В обозначим Б\('\) и В\('\).

1. Ось вращения. Перейдём в систему отсчёта, которая поступательно движется со скоростью точки Б. В ней кубик только вращается вокруг точки Б, а скорость точки А равна \(\vec v_А-\vec v_Б=0\). Значит, точка А неподвижна, и ось вращения проходит через неё и через Б, то есть вдоль ребра АБ. Так как скорости А и Б одинаковы, движение кубика в этот момент — движение в вертикальной плоскости \(xz\), перпендикулярной ребру АБ: поступательная скорость \(\vec v_Б\) вниз плюс вращение вокруг оси \(y\).

2. Скорость точки В. Точка В отстоит от оси на расстояние \(a\) и в этой системе отсчёта движется по окружности вокруг неё, значит, её скорость направлена перпендикулярно ребру БВ, то есть вертикально. Обозначим \(u\) вертикальную проекцию (вверх) этой скорости. Тогда в неподвижной системе проекция скорости точки В на ось \(z\) равна \(-v+u\), а по условию её модуль \(2v\): \[-v+u=-2v\ \ \Rightarrow\ \ u=-v,\qquad\text{или}\qquad -v+u=2v\ \ \Rightarrow\ \ u=3v .\] Обратите внимание: условие даёт только модуль скорости точки В, а не направление, поэтому возможны два случая: В движется вниз или вверх. Считать надо оба: спрашивают, какую скорость точки могут иметь, то есть наибольшую из возможных.

3. Скорости остальных точек. Вращение вокруг оси \(y\) — это поворот в плоскости \(xz\): скорость точки перпендикулярна её отрезку до оси и пропорциональна расстоянию до оси. Если точка с координатами \((a,0)\) (это В) получает скорость \(u\) вверх, то точка \((0,a)\) (это Б\('\)) получает по модулю такую же скорость в направлении \(-x\), а точка \((a,a)\) (это В\('\)) — сумму обеих. В проекциях на оси \(x\) и \(z\) (с учётом \(\vec v_Б\) вниз): \[\vec v_{Б'}=(-u,\,-v),\qquad \vec v_{В'}=(-u,\ u-v),\qquad \vec v_{В}=(0,\ u-v).\] Остальные вершины повторяют эти значения, так как вдоль оси \(y\) скорость не меняется: А — как Б, Г — как В, верхние вершины над А и Г — как Б\('\) и В\('\).

Случай \(u=-v\) (В движется вниз): \(v_{Б'}=\sqrt{v^2+v^2}=\sqrt2\,v\), \(v_{В'}=\sqrt{v^2+(2v)^2}=\sqrt5\,v\).

Случай \(u=3v\) (В движется вверх): \(v_{Б'}=\sqrt{(3v)^2+v^2}=\sqrt{10}\,v\), \(v_{В'}=\sqrt{(3v)^2+(2v)^2}=\sqrt{13}\,v\).

4. Почему достаточно вершин. Скорость точки кубика \(\vec v=\vec v_Б+\vec\omega\times\vec r\) линейно зависит от её положения \(\vec r\), а модуль такой линейной величины на кубе наибольший в вершине (на ребре и грани она не превосходит значений на их концах). Поэтому наибольшую скорость ищем среди вершин.

Соберём ответ. Наибольшая скорость у вершины В\('\), которая лежит над точкой В, в случае, когда В движется вверх: \[v_{\max}=\sqrt{(3v)^2+(2v)^2}=\sqrt{13}\,v\approx3{,}6\,v .\] Если В движется вниз, наибольшая скорость — \(\sqrt5\,v\approx2{,}2\,v\).

Проверка. Твёрдость тела: проекции скоростей концов каждого ребра на это ребро равны. В случае \(u=3v\) у ребра В\('\)В: \(+2v\) и \(+2v\) на ось \(z\); у ребра Б\('\)В\('\): \(-3v\) и \(-3v\) на ось \(x\); у ребра Б\('\)Б: \(-v\) и \(-v\) на ось \(z\). Расстояния между вершинами не меняются. Предельный случай \(u=0\) — кубик летит поступательно, все точки имеют скорость \(v\); условие \(2v\) у точки В как раз требует вращения.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Колёса сидят на одной оси и вращаются с одной угловой скоростью, а идти им по окружностям разных радиусов: оба без проскальзывания катиться не могут. Работа внешней силы идёт на тепло трения скольжения.

Ответ

\(A_{\min}=2\pi\mu MgL\approx2\pi\mu Mg\,(R_2-R_1)\).

Решение

Что происходит. Пара обходит центр с угловой скоростью \(\Omega\), ось всегда направлена по радиусу, колёса стоят на радиусах \(R_1\) и \(R_2\). Диски насажены на общую ось, поэтому вращаются вокруг неё с одной и той же угловой скоростью \(\omega\), и при качении скорость нижней точки каждого колеса относительно его центра одна и та же. А центры колёс идут по окружностям разных радиусов с разными скоростями \(\Omega R_1\) и \(\Omega R_2\). Значит, колёса не могут одновременно катиться без проскальзывания: хотя бы одно проскальзывает, и работа внешней силы превращается в тепло трения скольжения. Главная идея — найти, как меньше всего пути проскальзывания приходится на весь круг.

Обозначения. \(r\) — радиус колёс, \(\Omega\) — угловая скорость обхода центра, \(\omega\) — угловая скорость колёс вокруг оси, \(u_1\) и \(u_2\) — скорости точек колёс, которыми они касаются земли, относительно земли (положительны вперёд, по ходу движения). Скорость центра колеса \(i\) равна \(\Omega R_i\), а скорость точки касания относительно центра колеса \(-\omega r\) (при качении вперёд она направлена назад). Отсюда \[u_1=\Omega R_1-\omega r,\qquad u_2=\Omega R_2-\omega r .\]

1. Тепло и путь проскальзывания. Сила трения скольжения на колесо равна \(\mu N\), а ось лёгкая, диски одинаковы и пара движется медленно, поэтому на каждое колесо давит сила \(Mg\): \(N=Mg\). Мощность тепловых потерь колеса — сила трения, умноженная на скорость проскальзывания, поэтому суммарная мощность потерь равна \[P=\mu Mg\,\bigl(|u_1|+|u_2|\bigr)=\mu Mg\,\bigl(|\Omega R_1-\omega r|+|\Omega R_2-\omega r|\bigr).\] Колесо, которое катится без проскальзывания (\(u=0\)), тепла не даёт, а колесо со скоростью проскальзывания \(u\) теряет \(\mu Mg\,|u|\) в секунду.

2. Закон сохранения энергии за весь круг. Возьмём систему «колёсная пара». За полный круг пара возвращается в то же состояние (скорость и вращение колёс прежние), её кинетическая энергия не изменилась, а стенки гладкие и работы не совершают. Тогда вся работа внешней силы пошла на тепло: \[A=\int_0^{T} P\,dt,\qquad \Omega T=2\pi .\] Нужна наименьшая работа, то есть наименьшее значение \(|u_1|+|u_2|\) в каждый момент.

3. Наименьшее проскальзывание. Разность скоростей проскальзывания не зависит от \(\omega\): \[u_2-u_1=\Omega\,(R_2-R_1)=\Omega L .\] Для любых двух чисел \(|u_1|+|u_2|\ge|u_2-u_1|\), причём равенство достигается, когда \(u_1\) и \(u_2\) имеют разные знаки (или одно из них равно нулю), то есть когда \(\omega r\) лежит между \(\Omega R_1\) и \(\Omega R_2\). Это можно сделать, например, при \(\omega r=\Omega R_1\) (внутреннее колесо катится, внешнее проскальзывает вперёд) или при \(\omega r=\Omega(R_1+R_2)/2\) (оба проскальзывают одинаково в разные стороны). Тогда мощность потерь минимальна и постоянна: \[P_{\min}=\mu Mg\,\Omega L .\]

4. Соберём ответ. Время круга \(T=2\pi/\Omega\): \[A_{\min}=P_{\min}T=\mu Mg\,\Omega L\cdot\frac{2\pi}{\Omega}=2\pi\mu MgL\approx2\pi\mu Mg\,(R_2-R_1).\] Скорость обхода \(\Omega\) сократилась: полное проскальзывание за круг определяется только геометрией — разностью радиусов.

Обратите внимание: работа определяется не силой трения, а путём проскальзывания. Колесо, которое катится без проскальзывания, тепла не выделяет, хотя проходит по земле путь \(2\pi R_i\). Считать работу как \(\mu Mg\cdot2\pi(R_1+R_2)\) (то есть весь путь обоих колёс) было бы ошибкой.

Проверка. Размерность: \(\mu MgL\) — сила на длину, джоуль. Предельный случай \(R_1\to R_2\) (\(L\to0\), обычная колёсная пара едет по окружности бесконечно большого радиуса, оба колеса идут одинаковым путём): \(A\to0\), колёса катятся без проскальзывания. При \(\mu\to0\) работа тоже нулевая. Второй способ — через путь: обод у обоих колёс за круг прокатывается на одну и ту же длину \(s\) (общая ось), а центры колёс обязаны пройти \(2\pi R_1\) и \(2\pi R_2\). Суммарное проскальзывание не меньше разности \(2\pi(R_2-R_1)\), и каждый метр проскальзывания стоит \(\mu Mg\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Отсчитывайте все температуры от комнатной. Радиаторы одинаковые, расход воды один: как связаны превышения температуры соседних радиаторов?

Ответ

\(t_2=t_{\text{к}}+\sqrt{(t_1-t_{\text{к}})(t_3-t_{\text{к}})}\approx46\,{}^\circ\text{C}\).

Решение

Что происходит. Горячая вода проходит радиаторы по очереди и остывает, каждый радиатор отдаёт полученное от воды тепло комнате. Все связи в задаче — пропорциональность разностям температур, а такие уравнения линейны и однородны, если температуры отсчитывать от комнатной. Радиаторы одинаковы, расход воды один и тот же, поэтому каждый радиатор действует на проходящую воду одинаково, и превышения температуры радиаторов над комнатой образуют геометрическую прогрессию.

Обозначения. \(\Theta_i=t_i-t_{\text{к}}\) — превышение температуры \(i\)-го радиатора над комнатной, \(W_i\) — превышение температуры воды на выходе из \(i\)-го радиатора (\(W_0\) — на входе в первый), \(c_m\) — теплоёмкость воды, проходящей за секунду (в \(\text{Дж}/(\text{с}\cdot\text{К})\); расход всюду одинаков), \(k\) — коэффициент теплоотдачи радиатора в комнату. Мощности \(Q_i\) — теплота, передаваемая в секунду.

1. Радиатор и комната. Режим установился: температура радиатора постоянна, значит, радиатор отдаёт комнате столько же теплоты, сколько получает от воды. По условию теплоотдача пропорциональна разности температур радиатора и комнаты: \[Q_i=k\Theta_i .\]

2. Остывание воды. Теплота, которую радиатор получил от воды, — это теплота, отданная остывающей водой: \[Q_i=c_m\,(W_{i-1}-W_i).\]

3. Вода и радиатор. Теплота передаётся от воды к радиатору пропорционально разности температур воды и радиатора: \[Q_i=\gamma\,(W_{i-1}-\Theta_i),\] где \(\gamma\) — постоянная одного радиатора. Эта формула верна и с учётом того, что вода внутри радиатора остывает по пути: в \(\gamma\) входят площадь контакта, расход и теплоёмкость воды, и вид зависимости остаётся тем же.

4. Связь соседних радиаторов. Приравняем пункты 1 и 3 и найдём превышение температуры радиатора через температуру приходящей воды: \[k\Theta_i=\gamma\,(W_{i-1}-\Theta_i)\ \Rightarrow\ \Theta_i=aW_{i-1},\qquad a=\frac{\gamma}{\gamma+k}.\] Из пунктов 1 и 2 найдём температуру воды на выходе: \[W_i=W_{i-1}-\frac{k\Theta_i}{c_m}=bW_{i-1},\qquad b=1-\frac{ka}{c_m}.\] Числа \(a\) и \(b\) определяются свойствами радиатора и расходом воды, поэтому одинаковы для всех трёх. Тогда \[\Theta_{i+1}=aW_i=b\,aW_{i-1}=b\,\Theta_i .\] Превышения температуры радиаторов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \(b\): \[\Theta_2^2=\Theta_1\Theta_3 .\]

5. Числа. \(\Theta_1=80-15=65\text{ К}\), \(\Theta_3=30-15=15\text{ К}\). Тогда \[\Theta_2=\sqrt{65\cdot15}\approx31{,}2\text{ К},\qquad t_2=t_{\text{к}}+\Theta_2\approx15+31\approx46\,{}^\circ\text{C}.\]

Соберём ответ. \[t_2=t_{\text{к}}+\sqrt{(t_1-t_{\text{к}})(t_3-t_{\text{к}})}=15+\sqrt{65\cdot15}\approx46\,{}^\circ\text{C}.\]

Обратите внимание: температуру второго радиатора нельзя брать средним арифметическим (\(47{,}5\,{}^\circ\text{C}\)). Каждый радиатор снижает превышение температуры в одно и то же число раз, а не на одно и то же число градусов.

Проверка. Знаменатель прогрессии \(b=\Theta_3/\Theta_2=15/31{,}2\approx0{,}48\) и \(\Theta_2/\Theta_1=31{,}2/65\approx0{,}48\) — совпадают, как и должно быть. Предельный случай: если вода в радиаторах почти не остывает (\(b\to1\)), то \(t_1\approx t_2\approx t_3\), и формула даёт \(t_2\to t_1\). Если вода остывает до комнатной уже в первом радиаторе (\(b\to0\)), то \(t_2,t_3\to t_{\text{к}}\), и формула даёт \(t_2\to t_{\text{к}}\). Физический смысл: каждый радиатор снимает с воды одну и ту же долю превышения температуры.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Закона Ома для лампочки нет, зато есть график \(I(U)\). В последовательной цепи ток общий, в параллельной — общее напряжение: по этим правилам и читайте график.

Ответ

1) \(I\approx0{,}27\) А;  2) \(R\approx21\) Ом (в пределах 19–25 Ом по точности графика);  3) да, перегорит лампочка, включённая последовательно с парой.

Решение

Что происходит. Лампочка — нелинейный элемент: её сопротивление меняется с напряжением, поэтому вместо закона Ома используем график \(I(U)\). Правила соединения остаются прежними: последовательно — общий ток, напряжения складываются; параллельно — общее напряжение, токи складываются. Читаем по графику (по клеткам, точность чтения \(\approx0{,}005\) А):

Пункт 1. Две лампочки последовательно. Ток через обе лампочки один, а по графику одному и тому же току отвечает одно и то же напряжение (кривая идёт вверх, каждому току соответствует единственное напряжение). Поэтому напряжения на лампочках одинаковы и в сумме дают \(5\) В: по \(2{,}5\) В. По графику (точка 1 на рисунке) \[I=I(2{,}5\text{ В})\approx0{,}27\text{ А}.\]

Пункт 2. Резистор параллельно одной лампочке. Лампочка 2 работает при \(3{,}5\) В, поэтому через неё течёт \(I(3{,}5)\approx0{,}29\) А — и это общий ток источника. На параллельном участке (лампочка 1 и резистор) напряжение \[U_1=5-3{,}5=1{,}5\text{ В}.\] Лампочка 1 при \(1{,}5\) В пропускает \(I(1{,}5)\approx0{,}22\) А (точка 3 на рисунке). Остальной ток уходит в резистор: \[I_R=0{,}29-0{,}22=0{,}07\text{ А},\qquad R=\frac{U_1}{I_R}=\frac{1{,}5\text{ В}}{0{,}07\text{ А}}\approx21\text{ Ом}.\] Обратите внимание: сопротивление находится как деление на разность двух близких токов, поэтому оно очень чувствительно к чтению графика: ошибка в \(0{,}005\) А в каждом токе даёт \(R\) от \(19\) до \(25\) Ом. Значащих цифр здесь две.

Пункт 3. Резистор заменён лампочкой. Теперь параллельно стоят две одинаковые лампочки: у них общее напряжение \(U_{\text{п}}\) и равные токи, поэтому ток пары равен \(2I(U_{\text{п}})\). Этот же ток течёт через лампочку, включённую последовательно с парой, под напряжением \(5-U_{\text{п}}\). Условие равенства токов: \[I(5-U_{\text{п}})=2\,I(U_{\text{п}}).\] Лампочка выдерживает не больше \(4\) В, поэтому \(5-U_{\text{п}}\le4\) В, то есть \(U_{\text{п}}\ge1\) В. Сравним токи на границе, при \(U_{\text{п}}=1\) В: ток пары \(2I(1)=2\cdot0{,}18=0{,}36\) А, а ток отдельной лампочки при \(4\) В всего \(0{,}30\) А. При росте \(U_{\text{п}}\) ток пары \(2I(U_{\text{п}})\) растёт, а ток \(I(5-U_{\text{п}})\) последовательной лампочки уменьшается — равенство ни при каком допустимом \(U_{\text{п}}\) не выполняется (рис.). Значит, последовательной лампочке при токе пары \(\approx0{,}30\) А придётся нести напряжение выше \(4\) В: каждая лампочка пары при этом получила бы \(\approx0{,}15\) А, то есть \(U_{\text{п}}\approx0{,}8\) В, а на последовательной оказалось бы \(\approx4{,}2\) В. Это выше предела \(4\) В, поэтому она перегорает.

Соберём ответ. В общем виде: \(I=I(U_0/2)\); \(R=\dfrac{U_0-U_{\text{раб}}}{I(U_{\text{раб}})-I(U_0-U_{\text{раб}})}\). Числами: \(I\approx0{,}27\) А; \(R\approx21\) Ом; при замене резистора лампочкой перегорит лампочка, включённая последовательно с парой (в последний момент по цепи идёт \(\approx0{,}3\) А, цепь после этого размыкается).

Проверка. Пункт 1: две одинаковые лампочки делят \(5\) В поровну, \(2{,}5<3{,}5\) В — рабочее напряжение не превышено. Пункт 2: сопротивление лампочки при \(1{,}5\) В равно \(1{,}5/0{,}22\approx6{,}8\) Ом, у резистора \(21\) Ом — он больше, значит, ток через него меньше, чем через лампочку (\(0{,}07<0{,}22\) А). Пункт 3, второй способ: пара при \(4\) В на соседней лампочке (то есть при \(1\) В на ней самой) пропускает \(0{,}36\) А, лампочке же при \(4\) В позволено только \(0{,}30\) А — токи не сходятся в сторону перегрузки.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.