Всесоюзная, 1989/90, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

У термометра своя теплоёмкость: при каждом погружении он обменивается теплотой с калориметром и меняет его температуру. Запишите баланс для каждого погружения и найдите отношения теплоёмкостей термометра и калориметров.

Ответ

Следующее показание \(t_5=\dfrac{2437}{32}\approx76{,}2\,{}^\circ\text{C}\); после большого числа переносов показания стремятся к \(t_\infty=\dfrac{8432}{155}\approx54{,}4\,{}^\circ\text{C}\).

Решение

Что происходит. Термометр сам имеет теплоёмкость. Погружаясь в калориметр, он приходит с его содержимым к общей температуре: горячий калориметр чуть остывает, холодный чуть нагревается. Показание — это установившаяся температура термометра и калориметра, в который он погружён. Главная идея — уравнение теплового баланса для одного погружения: теплоёмкости калориметров с жидкостью нам неизвестны, но их отношения к теплоёмкости термометра найдутся из самих показаний.

Обозначения. \(c\) — теплоёмкость термометра; \(C_1\) и \(C_2\) — теплоёмкости первого и второго калориметров с жидкостью; \(t_n\) — показание при \(n\)-м погружении: \(t_1=80\), \(t_2=16\), \(t_3=78\), \(t_4=19\,{}^\circ\text{C}\). Нечётные погружения — в первый калориметр, чётные — во второй. После \(n\)-го погружения у термометра и у калориметра, в котором он был, температура \(t_n\). Теплообмен с окружающей средой не учитываем: обмен теплотой идёт только между термометром и калориметром.

1. Отношение \(c/C_1\). Третье погружение: термометр с температурой \(t_2=16\,{}^\circ\text{C}\) опускают в первый калориметр, температура которого \(t_1=80\,{}^\circ\text{C}\). Запишем уравнение теплового баланса для системы термометр + первый калориметр: теплота, полученная термометром, равна теплоте, отданной калориметром: \[c\,(t_3-t_2)=C_1\,(t_1-t_3)\quad\Rightarrow\quad \frac{c}{C_1}=\frac{t_1-t_3}{t_3-t_2}=\frac{80-78}{78-16}=\frac1{31}.\]

2. Отношение \(c/C_2\). Четвёртое погружение: термометр с температурой \(t_3=78\,{}^\circ\text{C}\) опускают во второй калориметр с температурой \(t_2=16\,{}^\circ\text{C}\). Баланс для термометра и второго калориметра: \[c\,(t_3-t_4)=C_2\,(t_4-t_2)\quad\Rightarrow\quad \frac{c}{C_2}=\frac{t_4-t_2}{t_3-t_4}=\frac{19-16}{78-19}=\frac3{59}.\]

3. Следующее показание. Пятое погружение: термометр с температурой \(t_4=19\,{}^\circ\text{C}\) опускают в первый калориметр, температура которого сейчас \(t_3=78\,{}^\circ\text{C}\). Баланс тот же, что в пункте 1: \[c\,(t_5-t_4)=C_1\,(t_3-t_5)\quad\Rightarrow\quad t_5=\frac{t_3+\dfrac{c}{C_1}\,t_4}{1+\dfrac{c}{C_1}}=\frac{78+19/31}{1+1/31}=\frac{2437}{32}\approx76{,}2\,{}^\circ\text{C}.\] Обратите внимание: термометр опускают в калориметр с температурой \(78\,{}^\circ\text{C}\), а не \(80\,{}^\circ\text{C}\): после третьего погружения первый калориметр уже остыл.

4. Много переносов. Три тела — термометр и два калориметра — не обмениваются теплотой с окружающей средой, поэтому сумма их тепловых энергий сохраняется. Пока температуры калориметров различны, каждый перенос уменьшает разность: термометр забирает теплоту у горячего и отдаёт холодному. В пределе температуры калориметров и термометра сравниваются и равны \(t_\infty\). Сохраняющуюся сумму \(C_1t+C_2t+ct\) найдём после четвёртого погружения: первый калориметр при \(78\,{}^\circ\text{C}\), термометр и второй калориметр при \(19\,{}^\circ\text{C}\). Выразим теплоёмкости через \(c\): \(C_1=31\,c\), \(C_2=\dfrac{59}{3}\,c\). Закон сохранения энергии для всей системы между состоянием после четвёртого погружения и предельным: \[C_1\cdot78+(C_2+c)\cdot19=(C_1+C_2+c)\,t_\infty\quad\Rightarrow\quad t_\infty=\frac{31\cdot78+\frac{59}{3}\cdot19+19}{31+\frac{59}{3}+1}=\frac{8432}{155}\approx54{,}4\,{}^\circ\text{C}.\] Сходится медленно: на графике показания первого и второго калориметров лишь к сотому переносу сблизились до \(54{,}9\) и \(53{,}7\,{}^\circ\text{C}\) — разность около \(1\,{}^\circ\text{C}\).

Проверка. Второй способ для пункта 3: энергия системы термометр + первый калориметр сохраняется, \(31\cdot78+1\cdot19=2437=32\,t_5\), то есть \(t_5=76{,}16\). Предельный случай: при \(c\to0\) термометр ничего не меняет, и показания \(80\), \(16\) повторялись бы. Здесь \(c/C_1\) и \(c/C_2\) малы, но не равны нулю, поэтому показания медленно дрейфуют навстречу друг другу. Значение \(t_\infty\) лежит между \(16\) и \(80\,{}^\circ\text{C}\) и ближе к температуре первого калориметра: его теплоёмкость больше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Пока скорости мела и доски различны, на мел действует постоянная сила трения скольжения, и он движется равноускоренно. Разберите два случая: мел успел набрать скорость доски или не успел.

Ответ

Если \(\mu g t<v\) (мел не успел разогнаться до скорости доски): длина следа \(vt-\dfrac{\mu g t^2}{2}\), полное смещение \(vt-\mu g t^2\). Если \(\mu g t\geqslant v\): длина следа \(\dfrac{v^2}{2\mu g}\), полное смещение \(0\).

Решение

Что происходит. Доска рванула вперёд, мел остался позади: относительно доски он скользит назад и оставляет след. Сила трения скольжения \(\mu mg\) постоянна и направлена вперёд, к скорости доски, поэтому мел разгоняется с ускорением \(a=\mu g\). Когда доску мгновенно останавливают, мел ещё движется вперёд и скользит по неподвижной доске, тормозясь той же силой трения, то есть с тем же по модулю ускорением. Он возвращается по собственному следу. Всё зависит от того, успел ли мел за время \(t\) разогнаться до скорости доски: это даёт два случая. В решении мы смотрим на движение в системе отсчёта стола и находим пути мела и доски.

Обозначения. Ось \(x\) направлена по скорости доски; \(v\) — скорость доски в течение \(t\); \(a=\mu g\) — модуль ускорения мела при скольжении. Мел — точка, трение скольжения.

Случай 1: \(\mu g t<v\), мел не успел разогнаться. Скорость мела растёт от нуля с ускорением \(\mu g\): второй закон Ньютона для мела в проекции на ось \(x\) даёт \(ma=\mu mg\), а значит, скольжение продолжается весь промежуток \(t\).

1. Первый этап, время \(0\ldots t\). Мел и доска движутся, скорость мела к моменту \(t\) равна \(u=\mu g t\). Путь доски \(vt\), путь мела \(\mu g t^2/2\). Мел отстал от доски на \[s_1=vt-\frac{\mu g t^2}{2}.\] Это путь скольжения назад относительно доски, и он же — длина следа в этот момент.

2. Второй этап, после остановки доски. Доска стоит, мел скользит по ней вперёд со скоростью \(u=\mu g t\), и сила трения теперь направлена назад. Второй закон Ньютона даёт торможение \(\mu g\), мел останавливается за время \(t\) и проходит путь \[\Delta=\frac{u^2}{2\mu g}=\frac{\mu g t^2}{2}.\] Обратите внимание: на втором этапе мел скользит вперёд, то есть по уже нарисованному следу, поэтому след новой длины не оставляет, если \(\Delta\le s_1\). Проверим: \(\Delta\le s_1\iff\dfrac{\mu g t^2}{2}\le vt-\dfrac{\mu g t^2}{2}\iff\mu g t\le v\), а это условие случая 1.

3. Ответ для случая 1. Длина следа — наибольшее удаление от начальной точки \(O\), то есть \(s_1\). Полное смещение мела относительно доски — расстояние от \(O\) до конечного положения: \[s=s_1-\Delta=vt-\mu g t^2.\]

Случай 2: \(\mu g t\geqslant v\), мел успел разогнаться до скорости доски. Мел достигает скорости \(v\) за время \(\tau=v/(\mu g)\le t\).

4. До \(\tau\). Пока скорости различны, мел скользит назад. Относительная скорость падает по линейному закону от \(v\) до нуля за время \(\tau\), поэтому путь скольжения — площадь треугольника на графике относительной скорости: \[s_1=\frac{v\tau}{2}=\frac{v^2}{2\mu g}.\]

5. От \(\tau\) до \(t\). Скорости мела и доски равны, доска движется равномерно, и трение покоя равно нулю: мел едет вместе с доской. Относительного смещения нет, след не растёт.

6. После остановки. Мел имеет скорость \(v\) и скользит вперёд по неподвижной доске, торможение \(\mu g\): путь \(v^2/(2\mu g)\) в точности равен \(s_1\). Мел возвращается в начальную точку \(O\) и останавливается там.

7. Ответ для случая 2. Длина следа \(s_1=\dfrac{v^2}{2\mu g}\); мел вернулся в исходную точку относительно доски, полное смещение равно нулю.

Проверка. Размерность: \(vt\) и \(\mu g t^2\) — метры, \(v^2/(\mu g)\) — метры. На границе случаев \(\mu g t=v\) формулы совпадают: след \(vt-\dfrac{\mu g t^2}{2}=\dfrac{vt}{2}=\dfrac{v^2}{2\mu g}\) и смещение \(vt-\mu g t^2=0\). Предельный случай \(\mu\to0\): мел стоит на месте, а доска уходит под ним, след \(vt\) и смещение \(vt\) — верно. При большом \(\mu\) мел сразу «приклеен», след \(v^2/(2\mu g)\to0\). Физический смысл: трение разгоняет и тормозит мел на одной и той же длине, поэтому в случае 2 он возвращается назад.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Нить закреплена не на сосуде, поэтому сосуд «чувствует» свинец только через воду. Посмотрите, как изменилась сила давления воды на дно и в какой точке дна она приложена.

Ответ

\(N_1'=N_1+\dfrac{Mg}{2n}\),  \(N_2'=N_2+\dfrac{Mg}{2n}\).

Решение

Что происходит. Свинец вытесняет воду, уровень в сосуде поднимается, и давление воды на дно растёт. Это давление одинаково во всех точках дна, поэтому добавка к силе, действующей на сосуд, приложена в центре дна. Расстояния \(l\) и \(L\) в ответ не войдут. Ключевой закон: давление жидкости на глубине \(H\) равно \(p_0+\rho gH\).

Обозначения. \(\rho\) — плотность воды, \(V\) — объём свинца, \(S\) — площадь дна, \(H\) — глубина воды над дном, \(F_{\text{А}}\) — сила Архимеда на свинец, \(p_0\) — атмосферное давление. Нить закреплена на перекладине, которая не связана с сосудом, поэтому нить на сосуд не действует.

1. Что вытесняет свинец. Из плотности свинца \(n\rho\) находим объём \(V=\dfrac{M}{n\rho}\). На погружённый свинец действует сила Архимеда \[F_{\text{А}}=\rho gV=\frac{Mg}{n}.\] По третьему закону Ньютона свинец давит на воду с той же силой, направленной вниз. Эта сила приложена к воде там, где висит свинец, но вода передаёт давление дальше по-своему: на следующем шаге видно, что на дно оно ложится равномерно.

2. Сила давления воды на дно. Стенки сосуда вертикальны, поэтому давление воды на стенки даёт силы только горизонтальные, и вертикальную силу на сосуд создаёт одно дно. Давление на дно везде равно \(p_0+\rho gH\), значит, вода давит на дно силой \[F=(p_0+\rho gH)S,\] которая приложена в центре дна: давление на прямоугольное дно распределено равномерно. Произведение \(HS\) — объём воды под уровнем. До погружения это объём воды \(V_{\text{в}}\), после погружения — объём воды плюс объём свинца: \(V_{\text{в}}+V\). Атмосферное давление \(p_0\) действует и снаружи, и его вклад не меняется. Отсюда добавка к силе на дно \[\Delta F=\rho g V=\frac{Mg}{n},\] приложенная в центре дна (рис.).

3. Силы в опорах. Рассмотрим сам сосуд (без воды) в равновесии. На него действуют сила тяжести сосуда, сила давления воды на дно \(F\) (вниз, в центре дна; вертикальных сил от вертикальных стенок нет) и силы реакции опор: сумма вертикальных сил и сумма моментов относительно центра равны нулю. Сила тяжести сосуда не менялась, меняется только \(F\): она выросла на \(\Delta F\). Поэтому \[N_1'+N_2'=N_1+N_2+\frac{Mg}{n}.\] Добавка \(\Delta F\) приложена в центре, её момент относительно центра равен нулю, поэтому моменты сил реакции изменились одинаково: \(N_1'-N_1=N_2'-N_2\). Тогда каждая сила выросла на половину добавки: \[N_1'=N_1+\frac{Mg}{2n},\qquad N_2'=N_2+\frac{Mg}{2n}.\] Обратите внимание: может показаться, что сосуд нагрузился «в точке, где висит свинец», и тогда силы в опорах изменились бы по-разному и зависели бы от \(l\) и \(L\). На деле сила Архимеда передаётся сосуду через давление воды на дно, а оно равномерно, поэтому \(l\) и \(L\) в ответ не входят.

Проверка. Размерность: \(Mg/n\) — сила, как и \(N_1\). Предел \(n\to\infty\) (свинец очень плотный, вытесняет ничтожный объём): \(\Delta F\to0\), силы не меняются. Предел \(n=1\) (плотность свинца равна плотности воды): \(\Delta F=Mg\), весь вес свинца переходит на сосуд — нить его уже не держит, так и должно быть. Второй способ для суммы: рассмотрим систему сосуд + вода + свинец. Нить держит теперь \(T'=Mg-F_{\text{А}}\) вместо \(Mg\), значит, опоры принимают на \(F_{\text{А}}=Mg/n\) больше, как и в формуле выше.

Ответ: \(N_1'=N_1+\dfrac{Mg}{2n}\), \(N_2'=N_2+\dfrac{Mg}{2n}\). Для свинца \(n\approx11\): каждая сила возрастает примерно на \(0{,}045\,Mg\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Амперметры не идеальные: у каждого есть одинаковое сопротивление \(r\). Токи в резисторах найдите по узлам, затем запишите, что сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Ответ

Ток нижнего амперметра \(I_x=19\) мА; \(R_x=3r\approx148\) Ом, где \(r\approx49\) Ом — сопротивление амперметра.

Решение

Что происходит. Три ветви с амперметрами соединяют общий провод слева с тремя точками столбика из трёх резисторов. Через батарейку течёт сумма всех токов, а в резисторах токи разные: чем ниже, тем больше. У амперметров есть собственное сопротивление: именно поэтому их токи различны. Главная идея — два замкнутых контура между соседними ветвями: в каждом из них сумма падений напряжения равна нулю. Это даёт отношение \(R_x/r\) и ток \(I_x\), а затем из контура с батарейкой находим сами сопротивления.

Обозначения. \(r\) — сопротивление одного амперметра; \(R\) — сопротивление одного резистора \(R_x\); \(I_x\) — ток нижнего амперметра; токи ветвей направлены вправо, как стрелки на рисунке. Узлы столбика: \(P_1\) — между верхним и средним резисторами, \(P_2\) — между средним и нижним.

1. Токи в резисторах. Закон сохранения заряда в узле: сумма токов в узел равна сумме токов из него. Верхний конец столбика — только верхний амперметр, поэтому ток верхнего резистора \(I_\text{в}\). В узел \(P_1\) входят \(I_\text{в}\) сверху и \(I_\text{с}\) из средней ветви, ток среднего резистора \(I_\text{в}+I_\text{с}\). В узел \(P_2\) добавляется \(I_x\), ток нижнего резистора \(I_\text{в}+I_\text{с}+I_x\) — он же течёт через батарейку.

2. Верхний контур. Обойдём контур по часовой стрелке: верхний амперметр, верхний резистор, средний амперметр против тока. Электрическое поле тока потенциально, источников в этом контуре нет, значит сумма падений напряжения равна нулю (второе правило Кирхгофа). Падение на элементе — произведение тока на сопротивление, при обходе против тока знак меняется: \[I_\text{в}\,r+I_\text{в}\,R-I_\text{с}\,r=0\quad\Rightarrow\quad \frac{R}{r}=\frac{I_\text{с}-I_\text{в}}{I_\text{в}}=\frac{4-1}{1}=3 .\]

3. Средний контур. Так же: средний амперметр по току, средний резистор с током \(I_\text{в}+I_\text{с}\), нижний амперметр против тока: \[I_\text{с}\,r+(I_\text{в}+I_\text{с})\,R-I_x\,r=0\quad\Rightarrow\quad I_x=I_\text{с}+\frac{R}{r}\,(I_\text{в}+I_\text{с})=4+3\cdot5=19\ \text{мА}.\]

4. Сопротивление резистора. Обойдём контур с батарейкой: от плюса через нижний амперметр (ток \(I_x\)) и нижний резистор (ток \(I_\text{в}+I_\text{с}+I_x=24\) мА). Сумма падений напряжения равна напряжению батарейки: \[U_0=I_x\,r+R\,(I_\text{в}+I_\text{с}+I_x)=r\cdot(19+3\cdot24)\ \text{мА}=91\,r\cdot1\ \text{мА}.\] Отсюда \[r=\frac{U_0}{91\ \text{мА}}=\frac{4{,}5\ \text{В}}{91\cdot10^{-3}\ \text{А}}\approx49\ \text{Ом},\qquad R_x=R=3r\approx148\ \text{Ом}.\] Обратите внимание: считать амперметры идеальными (\(r=0\)) нельзя: тогда верхний контур дал бы \(I_\text{в}R=0\), то есть \(I_\text{в}=0\), а ток по условию \(1\) мА. Именно сопротивление амперметров делает токи ветвей разными.

Проверка. Размерность: \(R/r\) безразмерно, \(I_x\) в миллиамперах, \(U_0\) в вольтах. Второй способ — напряжение батарейки по верхней ветви: \(U_0=I_\text{в}r+R\,(3I_\text{в}+2I_\text{с}+I_x)=r\,(1+3\cdot30)\ \text{мА}=91\,r\cdot1\ \text{мА}\), по средней ветви: \(U_0=I_\text{с}r+R\,(2I_\text{в}+2I_\text{с}+I_x)=r\,(4+3\cdot29)\ \text{мА}=91\,r\cdot1\ \text{мА}\). Все три пути от плюса к минусу дают одно и то же напряжение, как и должно быть. Ток нижнего амперметра растёт с каждой ветвью (\(1<4<19\)): ниже по столбику к ней приложено большее напряжение.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.