ВсОШ, 1992–2001, 10 класс, экспериментальный тур

Ответ

Концентрацию соли определяют по массе соли, добавленной к снегу к моменту достижения минимальной температуры смеси (по таблице измерений), и массе снега.

Решение

Приготовим некоторое количество навесков соли.

Взвесим на весах калориметр, затем наполовину заполним его снегом и вновь взвесим. Таким образом, по разнице показаний весов определим массу снега.

Будем порциями добавлять соль в калориметр, перемешивая содержимое и контролируя температуру смеси. Результаты занесём в таблицу.

Из анализа табличных данных определим количество соли, добавленной к снегу, для получения минимальной температуры.

Определим концентрацию соли. Выполним оценку точности измерений.

Ответ

\(l = \dfrac{4N^2}{\pi}\dfrac{\rho I}{U}\), где \(N\) — число диаметров проволоки, умещающихся на её длине, \(U\) и \(I\) — напряжение на проволоке и сила тока в ней.

Решение

Оценим внутренние сопротивления амперметра \(R_A\), вольтметра \(R_V\) и сопротивление \(R\) исследуемой проволоки. Установим, что \(R_V \gg R\), \(R_A \approx R\). Исходя из сделанных оценок, соберём цепь, схема которой изображена на рис. 39. По измеренным значениям напряжения \(U\) и силы тока \(I\) определим сопротивление \(R\) проволоки.

Известно, что сопротивление проволоки \[R = \rho\dfrac{l}{S} = \rho\dfrac{4l}{\pi D^2},\] где \(\rho\) — удельное сопротивление металла, из которого изготовлена проволока, \(l\), \(D\) — её длина и диаметр. Выразим длину проволоки через её диаметр. Для этого достаточно проволоку по частям приложить к реостату. Пусть \(l = ND\), где \(N\) — число диаметров, которое умещается на длине \(l\). В результате получим \[R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{4N^2\rho}{\pi l},\] откуда окончательно имеем \[l = \dfrac{4N^2}{\pi}\dfrac{\rho I}{U}.\]

Ответ

а) \(\Gamma_\alpha = F_{\text{об}}/F_{\text{ок}}\) — объективом служит линза с наибольшим фокусным расстоянием, окуляром — с наименьшим; б) линза в задней фокальной плоскости объектива не меняет угловое увеличение, но увеличивает угловое поле зрения.

Решение

Рекомендации для организаторов. Одна линза должна быть длиннофокусная с \(F \approx 50\) см, две другие линзы с одинаковым фокусным расстоянием \(F \approx 20\) см.

а) В зрительной трубе задний фокус объектива должен совпадать с передним фокусом окуляра (рис. 40). Угловое увеличение зрительной трубы \[\Gamma_\alpha = \dfrac{F_{\text{об}}}{F_{\text{ок}}} = \dfrac{\beta}{\alpha},\tag{1}\] где \(F_{\text{об}}\) — фокусное расстояние объектива, \(F_{\text{ок}}\) — фокусное расстояние окуляра. Из (1) следует, что увеличение зрительной трубы будет максимальным, если \(F_{\text{об}}\) максимально, а \(F_{\text{ок}}\) минимально.

Проведём измерения фокусных расстояний имеющихся линз и, выбрав соответствующую пару, соберём зрительную трубу с максимальным угловым увеличением.

б) Построим ход лучей, падающих на объектив под малым углом \(\alpha\) к главной оптической оси системы. Часть лучей, например, луч (1), проходит мимо окуляра. Из оптической схемы (рис. 41) видно, что установка в задней фокальной плоскости объектива ещё одной линзы не меняет угловое увеличение, но некоторые лучи, ранее не попадавшие в окуляр, теперь смогут пройти через него. Делаем вывод: линза, установленная в задней фокальной плоскости объектива, увеличивает угловое поле зрения системы.

Ответ

\(I_{\text{обр}} = \dfrac{Q}{\tau} = \dfrac{CU}{\tau}\), где \(\tau\) — время разряда конденсатора через «запертый» диод.

Решение

Рекомендации для организаторов. У германиевых диодов обратный ток, как правило, составляет несколько десятков микроампер, т. е. на порядок больше, чем у кремниевых. В работе рекомендуется использовать именно германиевые диоды, так как в этом случае влиянием контактной разности потенциалов и термоэффектами можно пренебречь.

Соберём электрическую цепь согласно схеме (рис. 42). Зарядим конденсатор, а затем будем разряжать его через «запертый» диод. Среднее значение силы тока найдём как отношение заряда, накопленного на конденсаторе, ко времени \(\tau\) разряда: \[I_{\text{обр}} = \dfrac{Q}{\tau} = \dfrac{CU}{\tau}.\]

Ответ

\(\alpha = 1 - \dfrac{S}{\pi r^2}\), где \(S\) — площадь диафрагмы, \(\pi r^2\) — площадь линзы; зависимость \(\alpha\) от \(V_{\text{мол}}/V_{\text{вод}}\) качественно показана на рис. 44.

Решение

Рекомендации для организаторов. Эксперимент желательно проводить в затемнённом помещении.

Расположим на одной линии лампочку, матовое стекло с диафрагмой, кювету с водой (в которую предварительно нужно добавить несколько капель молока), собирающую линзу и экран. На экране должно появиться светлое пятно — изображение отверстия в диафрагме. Диафрагму вырезаем ножницами из чёрной бумаги.

Другие лампочку, матовое стекло с диафрагмой и линзу расположим так, чтобы изображение отверстия в диафрагме на экране оказалось рядом с первым изображением (рис. 43). Частично диафрагмируя вторую линзу, можно добиться того, что пятна на экране будут казаться одинаково яркими.

Коэффициент поглощения \(\alpha\) можно теперь вычислить как отношение площади диафрагмы \(S\) к площади линзы \(\pi r^2\), где \(r\) — радиус линзы: \[\alpha = 1 - \dfrac{S}{\pi r^2}.\] Отношение объёмов молока и воды можно найти, предварительно измерив в относительных единицах объёмы одной капли молока и воды соответственно. Для этого достаточно накапать поочерёдно в пустую кювету до одного и того же уровня молоко и воду. Отношение числа капель будет обратно пропорционально их объёмам.

Качественно результаты эксперимента представлены на рис. 44.

Ответ

\(\sigma_{\text{х}} = \sigma_{\text{в}}\dfrac{N_{\text{в}}}{N_{\text{х}}}\), где \(N_{\text{в}}\) и \(N_{\text{х}}\) — числа капель воды и неизвестной жидкости, уравновешивающих весы.

Решение

Рекомендации для организаторов. 1. Рычажные весы могут быть любыми, разновес не требуется!

2. В качестве пипетки можно использовать обычную медицинскую. Подойдёт любое устройство, позволяющее капать достаточно медленно.

3. В качестве неизвестной жидкости лучше всего использовать этиловый спирт. В принципе подойдёт любая жидкость с коэффициентом поверхностного натяжения, сильно отличающимся от воды. Однако необходимо предостеречь от использования масел, так как должна быть возможность чисто отмыть пипетку от этой жидкости. В крайнем случае можно использовать мыльную воду.

Два сосуда взвешиваем на весах. Далее в один из них закапываем определённое количество капель (\(N_{\text{в}}\)) воды, а во второй — неизвестную жидкость до тех пор, пока весы не уравновесятся. Поскольку масса \(m\) капли пропорциональна коэффициенту поверхностного натяжения \(\sigma\) и обратно пропорциональна количеству капель в сосуде, мы можем записать \[\sigma_{\text{х}} = \sigma_{\text{в}}\dfrac{N_{\text{в}}}{N_{\text{х}}},\] где \(N_{\text{х}}\) — число капель неизвестной жидкости.

Ответ

1) \(\delta \sim F\); 2) \(\delta \sim L^3\); 3) \(\delta \sim h^{-3}\); в целом \(\delta \sim F\left(\dfrac{L}{h}\right)^3\).

Решение

Сложим рейки в виде бутерброда (плоскость к плоскости) и прижмём струбциной один конец к столу. Рейки должны располагаться в горизонтальной плоскости перпендикулярно краю стола. Допустим, более тонкая рейка оказалась снизу. Накинем на её свободный конец капроновую петлю.

1) За ту же петлю зацепим динамометр, к которому приложим силу \(F\). Снимем зависимость прогиба \(\delta\) рейки от силы \(F\). Прогиб нижней рейки относительно верхней (прямой) измерим с помощью миллиметровой бумаги. Искомая зависимость имеет вид \[\delta \sim F.\] 2) Меняя расстояние \(L\) от петли до закреплённого края реек, снимем зависимость прогиба \(\delta\) от \(L\). Она имеет вид: \[\delta \sim L^3.\] 3) Поменяем местами верхнюю и нижнюю рейки. Повторим измерения из пункта 2). Сравним серии измерений пунктов 2) и 3). Найдём зависимость \(\delta\) от толщины \(h\) рейки: \[\delta \sim h^{-3}.\] Обобщим результаты измерений в пунктах 1), 2), 3): \[\delta \sim F\left(\dfrac{L}{h}\right)^3.\]

Ответ

\(\sigma = \dfrac{\rho gh}{2}\cdot\dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}\), где \(h = V/S\) — толщина слоя жидкости, \(R_1\) — радиус пятна, \(R_2 = h/2\).

Решение

Нальём на поверхность парафина воду, объём которой равен \(V\). Толщина слоя воды \(h = V/S\). Площадь \(S\) водной поверхности определим по клеткам миллиметровой бумаги.

Среднее давление \(p\) в налитой на бумагу воде равно \(\rho gh/2\).

С другой стороны, сила поверхностного натяжения жидкости создаёт давление \[p = \sigma\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right),\tag{1}\] где \(R_1\) — радиус водяного пятна, \(R_2 = h/2\). Отсюда найдём коэффициент поверхностного натяжения: \[\sigma = \dfrac{\rho gh}{2}\dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}.\]

Ответ

График зависимости \(T\) от \(L\) (рис. 45): по книге — примерно линейная зависимость в диапазоне углов, где сохраняется изохронность колебаний.

Решение

Определим диапазон углов поворота крутильного маятника, в котором сохраняется изохронность колебаний. Снимем зависимость периода колебаний от расстояния грузов до оси вращения (оси подвеса). Построим график зависимости \(T\) от \(L\) (рис. 45).

Ответ

При небольшой силе нормальной реакции опоры \(N\) закон \(F_{\text{тр}} = \mu N\) выполняется; когда наждачная бумага начинает разрушать поверхность трибометра, сила трения скольжения начинает зависеть от площади опоры.

Решение

Рекомендации для организаторов. Наждачную бумагу желательно подобрать более грубую. Динамометр должен обеспечивать измерение силы трения скольжения при установке на брусок всех грузов, входящих в комплект оборудования.

Закрепим кнопками на поверхности бруска наждачную бумагу. Исследуем зависимость силы трения скольжения от силы нормальной реакции опоры и от площади соприкосновения бруска с опорой. При небольшой силе \(N\) реакции опоры зависимость \(F_{\text{тр}} = \mu N\) выполняется. В случае, когда наждачная бумага начинает разрушать поверхность трибометра, сила трения скольжения начинает зависеть от площади опоры.

Ответ

\(R_{\text{л}} = R_2\left(\dfrac{R_3}{R_1} - 1\right)\), где \(R_3\) — сопротивление, при котором накал лампочки не зависит от положения переключателя.

Решение

Рекомендации для организаторов. Сопротивления \(R_1\) и \(R_2\) следует подобрать так, чтобы накал лампочки был очень слабым. Например, \(R_1 = 24\) Ом, \(R_2 = 12\) Ом. В этом случае \(R_3 \approx 50\) Ом.

Соберём электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 46.

Установим максимальное сопротивление \(R_3\). Затем начнём его уменьшать, систематически меняя положение переключателя. Подберём такое значение \(R_3\), при котором накал лампочки не зависит от положения переключателя. Это возможно тогда, когда напряжение на лампочке остаётся одним и тем же в обоих положениях переключателя: \[U_1 = U\dfrac{R_{\text{л}}R_2}{R_{\text{л}}(R_1 + R_2) + R_1R_2},\tag{1}\] \[U_2 = U\dfrac{R_{\text{л}}}{R_{\text{л}} + R_3}.\tag{2}\] Из (1) и (2) получим \[R_{\text{л}} = R_2\left(\dfrac{R_3}{R_1} - 1\right).\]

Ответ

\(p_x\) находят из закона Бойля–Мариотта: \((p_{\text{атм}} + \rho gh)\,l = (p_x + \rho gH)\,L\).

Решение

Закрепим вдоль пробирки с помощью скотча полоску миллиметровой бумаги. Сделаем из пробирки «картезианского водолаза», поместив её вверх дном в бутылку с водой (рис. 47, а). Закроем бутылку и сожмём её (рис. 47, б). Проведём измерения расстояний \(l\), \(L\), \(h\) и \(H\) в этих двух состояниях.

Пренебрегая неплоскостностью дна пробирки, запишем закон Бойля–Мариотта: \[(p_{\text{атм}} + \rho gh)\,l = (p_x + \rho gH)\,L,\] где \(p_{\text{атм}}\) — атмосферное давление (определяем по комнатному барометру), \(p_x\) — искомое давление, \(\rho\) — плотность воды, \(g\) — ускорение свободного падения, \(l\) и \(L\) — высоты столба воздуха в пробирке, \(h\) и \(H\) — высоты столба жидкости на уровнях жидкости в пробирке.

Отсюда находим искомое давление \(p_x\), причём все длины измеряем миллиметровой бумагой.

Ответ

\(L = c_{\text{в}}(t_2 - t_1)\left(\dfrac{\tau_2}{\tau_1}\right)\left(\dfrac{h_1}{h_1 - h_2}\right)\).

Решение

Рекомендации для организаторов. Стеклянный стакан должен быть цилиндрической формы.

Для уменьшения тепловых потерь стеклянный стакан поместим в пенопластовый. Нальём в стеклянный стакан воду, измерим её температуру \(t_1\) и начальный уровень \(h_1\). Опустим в стакан с водой кипятильник, включим его и измерим время \(\tau_1\), за которое вода нагреется до температуры \(t_2 = 100\,^\circ\)С. Полагая, что всё тепло, выделенное кипятильником, пошло на нагрев воды, запишем уравнение теплового баланса: \[Q_1 = P\tau_1 = mc_{\text{в}}(t_2 - t_1),\tag{1}\] где \(P\) — мощность нагревательного элемента кипятильника, \(m\) — масса воды.

Дадим воде покипеть в течение времени \(\tau_2\), после чего выключим кипятильник и измерим уровень \(h_2\) воды, оставшейся в стакане. Запишем для процесса кипения воды уравнение теплового баланса: \[Q_2 = P\tau_2 = L\Delta m,\tag{2}\] где \(\Delta m\) — масса испарившейся воды. Очевидно, что \[\dfrac{\Delta m}{m} = \dfrac{h_1 - h_2}{h_1}.\tag{3}\] Из (1)–(3) получим \[L = c_{\text{в}}(t_2 - t_1)\left(\dfrac{\tau_2}{\tau_1}\right)\left(\dfrac{h_1}{h_1 - h_2}\right).\]

Ответ

Шкала термометра линейна с ценой деления \(\dfrac{4\,^\circ\text{С}}{h_1 - h_2}\); по уровню \(h_3\) спирта, установившемуся в куске льда, находят температуру.

Решение

Рекомендации для организаторов. Лёд можно приготовить в морозильной камере холодильника. Температура льда должна быть около \(-10\,^\circ\)С.

Изготовим и прокалибруем шкалу термометра. Для этого нальём воду в стакан, поместим туда же некоторое количество льда и термометр. (Воду не следует перемешивать!) Уровень \(h\) (а значит и температура) спирта в капилляре термометра станет быстро понижаться и, достигнув значения \(h_1\), застабилизируется. Это произойдёт при прекращении конвекции в воде, когда плотность воды на дне стакана будет максимальной. Известно, что плотность воды максимальна при \(4\,^\circ\)С. Мы получим одну реперную температурную точку. Если воду перемешать, то уровень спирта понизится до \(h_2\), а температура установится на значении \(0\,^\circ\)С (вторая реперная точка). Коэффициент температурного расширения спирта постоянен. Следовательно, шкала термометра линейна. Её цена деления \[\dfrac{4\,^\circ\text{С}}{h_1 - h_2}.\tag{1}\] Опустим термометр в выданный кусок льда и измерим уровень \(h_3\) спирта в капилляре термометра. Переведём по формуле (1) высоту \(h_3\) в температуру.

Ответ

\(v \sim \sqrt{H}\), где \(H\) — высота уровня жидкости над отверстием; постоянную скорость обеспечивает сосуд Мариотта (рис. 48).

Решение

Рекомендации для организаторов. Диаметр трубочек должен быть примерно 4 мм. Длина одной из них 4–6 см, длина другой \(\approx 20\) см.

1. Проделаем в бутылке шилом несколько отверстий на разной высоте и закроем их все (кроме одного) пластилином. В отверстие вставим короткую трубочку. Установим получившееся устройство на подставку и заполним водой. Скорость вытекания жидкости можно измерить по дальности струи. Запишем закон сохранения энергии \(\rho\dfrac{v^2}{2} = \rho gH\). Из него следует, что \(v \sim \sqrt{H}\).

2. Постоянство скорости истечения жидкости обеспечим с помощью сосуда Мариотта (рис. 48). Его устройство: в герметичный сосуд сквозь пробку вставляется длинная трубка, сообщающаяся с атмосферой. В этом случае до тех пор, пока уровень воды в бутылке не опустится до нижнего края трубки, перепад давлений жидкости в сосуде будет постоянным и равным \(\rho gH\), где \(\rho\) — плотность воды, \(H\) — высота столба воды.

Давление воздуха внутри бутылки равно \(p = p_0 - \rho gh\), где \(p_0\) — атмосферное давление, \(h\) — длина погружённой в воду части вертикальной трубки.

Трубку \(T\) вставляем в боковую поверхность бутылки для того, чтобы струя не «прилипала» к стенке, а была горизонтальной на выходе из \(T\).

Ответ

1) Шести измерений (по всем парам выводов) достаточно; накоротко замкнуты выводы 2 и 4 (вольтметр показал полное напряжение батарейки 4,5 В). 2) В ящике два резистора, каждый сопротивлением \(R_V\) (внутреннее сопротивление вольтметра), включённые между выводами 1, 2 и 3, 4 (схема на рис. 50).

Решение

Рекомендации для организаторов. В «чёрный ящик» следует впаять два одинаковых резистора, сопротивление которых равно внутреннему сопротивлению вольтметра. Вольтметр должен быть магнитоэлектрической системы.

1. Вольтметр, подключённый непосредственно к батарейке, показывает 4,5 В. Соединяем последовательно батарейку и вольтметр. Подключаем получившийся прибор поочерёдно к парам выводов «чёрного ящика» и заносим показания вольтметра в таблицу:

Достаточно выполнить шесть измерений, чтобы найти короткозамкнутые выводы «чёрного ящика». Измерение № 5 свидетельствует, что накоротко замкнуты выводы 2 и 4.

2. В общем случае любую схему, состоящую из омических сопротивлений и имеющую три вывода, можно свести к схеме из трёх сопротивлений, соединённых «треугольником» (рис. 49, а) или «звездой» (рис. 49, б).

Так как выводы 2 и 4 замкнуты, делаем заключение, что измерения № 1 и № 3 эквивалентны. Аналогично, эквивалентны измерения № 4 и № 6. Сравним оставшиеся измерения № 1, № 2 и № 4. Показания вольтметра в измерениях № 1 и № 4 одинаковы и составляют \(U/2\), значит в схеме (рис. 49, а) \(R_1 = R_3\) или в схеме (рис. 49, б) \(r_1 = r_3\). Кроме того, в случае а сопротивление \(R_2\) с неизбежностью должно быть много больше внутреннего сопротивления вольтметра (\(R_V\)). Можно считать, что \(R_2 = \infty\).

В случае б измерение № 2 показывает, что \(r_1 + r_3 = 2R_V\). Из \(r_1 = r_3\) следует, что \(r_1 = r_3 = R_V\). Поскольку \(r_1 + r_2 = r_3 + r_2 = R_V\), получаем, что \(r_2 = 0\). Вывод — схемы а и б эквивалентны.

Схема «чёрного ящика» такова:

Ответ

При «расточительном» способе прочность колеблется около среднего значения случайным образом; при «экономном» возникает кажущаяся зависимость — прочность как будто растёт с уменьшением длины, потому что нить сперва рвётся на самых слабых участках.

Решение

Рекомендации для организаторов. В качестве нити следует взять либо достаточно тонкую хлопчатобумажную нить, либо шерстяную пряжу. Длины нити, выдаваемой участникам, должно хватить для измерения каждым из способов не менее трёх раз. Необходимо заранее проверить, что нить неоднородна по прочности вдоль всей длины.

В обоих способах нить выбранной длины закрепляем в штативе и нагружаем грузами до тех пор, пока она не разорвётся.

Поскольку прочность нити на различных участках неодинакова, при «расточительном» способе на любой длине куска прочность колеблется относительно некоторого среднего значения случайным образом.

При «экономном» способе мы сперва разрываем нить на самом слабом участке, затем — на самом слабом из оставшихся, и так далее. В результате возникает «зависимость», порождающая впечатление, что прочность нити растёт по мере уменьшения длины куска.

Ответ

\(F_{\text{ск}} = \dfrac{F_{\text{п}} + F_1}{2}\) (где \(F_{\text{п}}\) — максимальная сила трения покоя, \(F_1\) — показание динамометра в момент остановки бруска), \(\mu = F_{\text{ск}}/P\), \(P\) — вес бруска с грузами.

Решение

Рекомендации для организаторов. Брусок и пластину следует взять от лабораторного трибометра, проследив, чтобы явление срыва было достаточно заметным. При необходимости можно обработать трущиеся поверхности мелкой шкуркой.

Максимальное растяжение пружины динамометра \(x_0\) определяем по максимальному значению силы трения покоя \(F_{\text{п}} = kx_0\), где \(k\) — жёсткость пружины динамометра. После того как брусок срывается с места, он движется под действием равнодействующей двух сил: силы трения скольжения и силы упругости пружины динамометра. По закону сохранения энергии \[\dfrac{kx_0^2}{2} = \mu mg(x_0 - x_1) + \dfrac{kx_1^2}{2},\] где \(\mu\) — коэффициент трения скольжения, \(x_1\) — растяжение пружины в момент остановки бруска (малой скоростью движения динамометра мы пренебрегаем). Это уравнение имеет два корня: \(x_1 = x_0\) и \(x_1' = \dfrac{2\mu mg}{k} - x_0\). Учитывая, что брусок сдвинулся с места, выбираем второй корень. Показания динамометра \(F_1\) в момент остановки бруска, максимальная сила трения покоя \(F_{\text{п}}\) и сила трения скольжения \(F_{\text{ск}}\) связаны соотношением \[F_{\text{ск}} = \dfrac{F_{\text{п}} + F_1}{2}.\] Найдём вес \(P\) бруска с грузами. При скольжении бруска сила реакции опоры \(N = P\), а сила трения \(F_{\text{ск}} = \mu N\). Отсюда найдём \(\mu\).

Ответ

Отношение масс грузов обратно отношению количеств грузов каждого типа, при которых магнит отрывается.

Решение

Рекомендации для организаторов. Требуются ферромагнитные грузы. Для этого подойдут монетки достоинством 1 и 5 копеек. Если магнит тяжёлый, предпочтительнее могут оказаться гвозди двух типов. Сила притяжения магнита должна быть достаточна для того, чтобы, будучи подвешенным к одному из грузов, удерживать собственный вес магнита и не меньше десяти грузов.

Подвесим магнит (за полюс) на грузе и будем постепенно увеличивать количество грузов первого типа, подвешенных на нижнем полюсе (рис. 51). В некоторый момент магнит упадёт. Повторим, подвешивая на нижнем полюсе грузы второго типа. Отношение количеств грузов, требующихся для отрыва магнита, обратно отношению масс грузов.

Ответ

\(P = \dfrac{\Delta mg}{\Delta S}\) — по наклону прямой \(m(S)\), где \(S\) — площадь пятна контакта шарика со стеклом.

Решение

Рекомендации для организаторов. Воздушный шарик лучше брать диаметром 15–20 см в надутом состоянии, а его форма не должна быть вытянутой. Шарик следует брать достаточно мягкий. В любом случае его не нужно надувать слишком сильно. Примерный размер куска органического стекла \(15 \times 15\) см, толщина 3 мм. Для проведения работы достаточно 3–4 грузов массой от 100 г до 500 г. Если используются нестандартные грузы, то необходимо выдать весы для их взвешивания. Фломастер должен оставлять на органическом стекле чёткий след. Для этого необходимо использовать специальные фломастеры для рисования на прозрачных плёнках.

Надуваем воздушный шарик. Накладываем на шарик кусок органического стекла (рис. 52), а сверху ставим первый груз. Отмечаем фломастером границу касания шарика с органическим стеклом. Повторяем эксперимент для остальных грузов. Используя миллиметровую бумагу, измеряем площадь контуров нарисованных на органическом стекле.

Вес груза уравновешен силой, с которой воздух в шарике давит на площадку, по которой стекло соприкасается с шариком: \(mg = PS\). Отложим на графике в координатах \(m\), \(S\) экспериментально найденные точки. Проведём через эти точки прямую. Чтобы не учитывать массу пластинки, прямая должна быть приподнята на величину \(S_0\) площади пятна, создаваемого пластинкой без грузов. Таким образом давление в шарике определяем по формуле: \(P = \Delta mg/\Delta S\).

Ответ

\(\rho = \dfrac{I_0}{I_1}\dfrac{\pi d^2}{4l}R_0\), где \(I_0\) — сила тока через резистор \(R_0\), \(I_1\) — через проволоку, \(d\) — диаметр, \(l\) — длина проволоки.

Решение

Так как сопротивление резистора и нихромовой проволоки порядка десятков ом, то внутренним сопротивлением батарейки можно пренебречь. Тогда, поочерёдно измеряя силу тока через резистор и проволоку, определяем сопротивление нихромовой проволоки. Длину её измеряем линейкой. Чтобы определить диаметр \(d\) проволоки, её плотно намотаем на круглый карандаш — виток к витку — и разделим длину намотки \(l\), измеренную линейкой, на число витков \(n\). Удельное сопротивление материала проволоки находим по формуле \[\rho = \dfrac{I_0}{I_1}\dfrac{\pi d^2}{4l}R_0,\] где \(I_0\) — сила тока через резистор \(R_0\), \(I_1\) — сила тока через проволоку.

Ответ

\(C_1 = C_0\left(\dfrac{U_0}{U_1} - 1\right)\); ёмкость \(C_2\) определяется аналогично.

Решение

Изготовим вольтметр, соединив последовательно с гальванометром резистор, имеющий большое сопротивление. С помощью этого вольтметра определим в относительных единицах напряжение \(U_0\) на батарейке. Затем зарядим от батарейки эталонный конденсатор. На его пластинах накопится заряд \[q_0 = U_0C_0.\tag{1}\] Параллельно эталонному конденсатору подсоединим один из исследуемых конденсаторов, например, \(C_1\). Измерим напряжение \(U_1\) на получившейся батарее конденсаторов: \[U_1 = \dfrac{q_0}{C_0 + C_1}.\tag{2}\] Из (1) и (2) следует, что \[C_1 = C_0\left(\dfrac{U_0}{U_1} - 1\right).\tag{3}\] Аналогичным образом определим ёмкость конденсатора \(C_2\).

Ответ

\(x = \dfrac{\Delta L}{L} = \dfrac{2N + 1}{(N + 1)^2}\), где \(N\) — число колебаний в одной плоскости, за которое направление колебаний груза вернётся к первоначальному.

Решение

Возможны два вида колебания груза на нитях: в плоскости чертежа, при этом \[T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L - \Delta L}{g}},\tag{1}\] перпендикулярно плоскости чертежа, при этом \[T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.\tag{2}\] Из (1) и (2) находим \[\dfrac{L - \Delta L}{L} = \left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2.\tag{3}\] Но по условию задачи часы использовать нельзя. Выход из положения можно найти следующим способом. Отклонив груз в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа, а затем влево или вправо, мы возбуждаем оба вида колебаний. Груз при этом будет описывать узкую эллиптическую траекторию с изменяющимся направлением движения. Считая, что число колебаний, при котором направление колебаний станет первоначальным, равно \(N\), запишем \[T_1(N + 1) = T_2N.\tag{4}\] Из выражений (3) и (4) получим \[\dfrac{L - \Delta L}{L} = \left(\dfrac{N}{N + 1}\right)^2.\] Отсюда следует \[\dfrac{\Delta L}{L} = 1 - \left(\dfrac{N}{N + 1}\right)^2 = \dfrac{2N + 1}{(N + 1)^2}.\]

Ответ

Оба способа основаны на законе Бойля–Мариотта \(p_0V = \text{const}\): 1) погружение закрытой сверху трубки в воду с измерением уровня воды в трубке; 2) измерение высоты столба воздуха в трубке с каплей воды при вертикальном и горизонтальном положениях.

Решение

Возможны два способа измерения.

1. Опустив свободный конец трубки в воду и закрыв пластилином верхний торец трубки, начать погружать её в воду, сохраняя вертикальное положение. При этом измеряются положения уровня воды в трубке.

2. Набрав в трубку столбик воды, не касающийся ни одного из его торцов, и закрыв один из торцов пластилином, измерить высоту столба воздуха, заключённого в трубке при её вертикальном и горизонтальном положениях.

В обоих случаях для измерения используется закон Бойля–Мариотта \(p_0V = \text{const}\).

Ответ

\(\mu \approx \dfrac{h_1 - h_2}{R\left(\sin\alpha_1 - \sin(-\alpha_2)\right)}\); по графику \(\mu(h_1 - h_2)\) экстраполяцией к нулю находят коэффициент трения скольжения; коэффициент трения покоя \(\mu_{\text{п}} = \operatorname{tg}\alpha_{1\min}\).

Решение

Сила трения скольжения (рис. 53), действующая со стороны бумаги на кнопку, \[F_{\text{тр}} = \mu N = \mu\left(mg\cos\alpha + \dfrac{mv^2}{R}\right).\] Элементарная работа силы трения \[dA = F_{\text{тр}}\,dS = \mu\left(mg\cos\alpha + \dfrac{mv^2}{R}\right)R\,d\alpha.\]

При перемещении кнопки по дуге окружности от места старта (угол \(\alpha_1\)) до места смены направления движения (угол \(\alpha_2\)) работа \(A\) силы трения совершается за счёт убыли потенциальной энергии \(\Delta E_{\text{п}}\): \[\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} dA = -mg(h_1 - h_2).\tag{1}\] При уменьшении \(h_1\) разность \((h_1 - h_2) \to 0\), а это сопровождается стремлением к 0 слагаемого \(\dfrac{mv^2}{R}\). В этом случае выражение (1) можно упростить: \[\mu mg\left(\sin\alpha_1 - \sin(-\alpha_2)\right)R \simeq mg(h_1 - h_2),\] откуда следует \[\mu \simeq \dfrac{h_1 - h_2}{R\left(\sin\alpha_1 - \sin(-\alpha_2)\right)}.\tag{2}\] Проведём серию измерений \(\mu\) от \((h_1 - h_2)\) и построим соответствующий график (рис. 54).

Точка пересечения полученной прямой с осью ординат даст нам значение коэффициента трения скольжения. Максимальное значение коэффициента трения покоя найдём из условия \[\mu_{\text{п}} = \operatorname{tg}\alpha_{1\min}.\]

Ответ

Ускорение растёт с \(\sin\alpha\) линейно; ход зависимости резко меняется после достижения угла \(\alpha_{\text{к}}\), при котором возникает проскальзывание шарика (рис. 55).

Решение

Укрепляем желоб на штативе достаточно высоко над столом под некоторым углом \(\alpha\) к горизонту. С помощью отвеса и рулетки можно найти \(\sin\alpha\). Ускорение определим, измерив длину желоба (пройденный путь) и вычислив скорость шарика в конце пути. Для этого достаточно знать положение шарика в момент удара о стол, которое удобно фиксировать, используя лист копировальной бумаги, положенный на лист обычной бумаги, закреплённой на столе с помощью кнопок. Ход искомой зависимости резко меняется после достижения значения угла наклона \(\alpha_{\text{к}}\), при котором возникает проскальзывание шарика (рис. 55).

Ответ

\(p_1 = p_0 - (p_0 - p_2)\dfrac{T_1l_2}{T_2l_1}\), где \(l_1\) и \(l_2\) — длины частей пробирки, свободных от воды, при температурах \(t_1\) и \(t_2\).

Решение

Поместим пробирку вверх дном в сосуд с горячей водой. Выждав некоторое время (\(\sim 10\) минут), дождёмся того, что в пробирке возникнет насыщенный пар при температуре \(t_1 = 60\,^\circ\)С. Измерим длину \(l_1\) части пробирки, свободной от воды. Затем прикроем пробирку пробкой и перенесём её в сосуд с водой, находящейся при комнатной температуре \(t_2\). Пробирка по-прежнему остаётся вверх дном. Вынимаем пробку. Примерно через 10 мин в пробирке установится давление насыщенного пара \(p_2\), соответствующее \(t_2\). Пусть при этом длина пробирки, свободная от воды, равна \(l_2\).

Поскольку количество воздуха в пробирке не меняется, можно записать для двух рассмотренных случаев систему уравнений: \[(p_0 - p_1)l_1S = \nu RT_1,\tag{1}\] \[(p_0 - p_2)l_2S = \nu RT_2.\tag{2}\] Здесь \(S\) — площадь отверстия пробирки, \(T_1 = 273 + t_1\), \(T_2 = 273 + t_2\). Решая систему уравнений (1) и (2), найдём искомое давление \[p_1 = p_0 - (p_0 - p_2)\dfrac{T_1l_2}{T_2l_1}.\]

Ответ

\(B_{\text{м}} = B\cos\varphi\,\operatorname{tg}\alpha\), где \(\alpha\) — угол отклонения стрелки компаса.

Решение

Из рис. 56 видно, что горизонтальная проекция индукции магнитного поля Земли \[B_0 = B\cos\varphi.\tag{1}\] Расположим компас и магнит так, чтобы ось магнита была перпендикулярна направлению «север–юг» (рис. 56), а расстояние от центра магнита до оси вращения стрелки компаса \(l = 30\) см. При этом стрелка компаса отклоняется на угол \(\alpha\). Из рис. 57 следует, что \[B_{\text{м}} = B_0\operatorname{tg}\alpha,\tag{2}\] где \(B_{\text{м}}\) — искомая индукция поля магнита. Из (2) и (1) находим \[B_{\text{м}} = B\cos\varphi\operatorname{tg}\alpha.\tag{3}\]

Ответ

1) \(U_{\text{заж}} \le Un\), где \(U\) — напряжение источника, \(n\) — номер точки, при касании которой лампа вспыхнула. 2) Погрешность приблизительно равна напряжению источника \(U\); её можно уменьшить в \(k\) раз, зарядив от источника \(k\) последовательно соединённых конденсаторов (напряжение на каждом \(U/k\)).

Решение

1. Соберём электрическую схему в соответствии с рис. 58. Подсоединим проводники к источнику тока и, соблюдая полярность, зарядим батарею однотипных конденсаторов.

Свободным концом проводника, подсоединённого к неоновой лампе, последовательно прикоснёмся к точкам 1, 2, 3, 4, …{} и так далее. Если разность потенциалов между точками \(a\) и \(b\) достигнет напряжения зажигания, то неоновая лампа вспыхнет на короткое время \(U_{\text{заж}} \le Un\).

2. Погрешность определения \(U_{\text{заж}}\) приблизительно равна напряжению источника тока. Чем меньше \(U\), тем меньше абсолютная погрешность, но больше необходимое число \(m\) конденсаторов.

Погрешность можно существенно уменьшить, если заряжать от источника не каждый конденсатор в отдельности, а, начиная с номера \(n\), определённого в п. 1, зарядить от источника оставшиеся \(k = m - (n - 1)\) последовательно соединённые конденсаторы. Тогда напряжение на каждом из этих конденсаторов окажется равным \(U/k\). Подсоединяя теперь неоновую лампу к батарее из \(n - 1\) конденсаторов, заряженных до напряжения \(U/k\), можно в \(k\) раз уменьшить абсолютную ошибку измерения напряжения зажигания. В этом случае все \(k\) конденсаторов должны иметь одинаковую ёмкость.

Ответ

Удлинение \(\Delta l_n\) пропорционально \(n^2\) (зависимость параболическая, \(k \sim 1/n\)); \(k = \dfrac{mg}{\Delta l_1 - \Delta l_2}\), \(M = m\left(\dfrac{2\Delta l_2}{\Delta l_1 - \Delta l_2}\right)\); период колебаний \(T \sim n\).

Решение

Запишем закон Гука \(F = k\cdot\Delta l\), где \(k\) — коэффициент упругости пружины, \(\Delta l\) — её удлинение. С другой стороны, известно, что \(F \sim \dfrac{\Delta l}{l}\), где \(l\) — длина пружины. Очевидно, что \(l \sim n\), где \(n\) — число витков пружины. Из приведённых выше соотношений получаем искомую зависимость \[k \sim \dfrac{1}{n}.\tag{1}\] Закрепляем один конец пружины в лапке штатива (рис. 59) и измеряем длину пружины в зависимости от числа её витков.

Зависимость получается параболической, так как масса пружины \(m \sim n\), а коэффициент упругости \(k \sim \dfrac{1}{n}\). Для наглядности строим график удлинения пружины от числа витков в координатах \(\sqrt{\Delta l_n/\Delta l_1}\) от \(n\) (рис. 60).

Дважды измеряем удлинение пружины: один раз с шариком, прикреплённым к нижнему концу пружины, другой раз без него. Пусть масса пружины равна \(M\). Тогда по закону Гука \[\left(\dfrac{M}{2} + m\right)g = k\Delta l_1,\] \[\dfrac{M}{2}g = k\Delta l_2.\] Решая эту систему уравнений, найдём \[k = \dfrac{mg}{\Delta l_1 - \Delta l_2},\] \[M = m\left(\dfrac{2\Delta l_2}{\Delta l_1 - \Delta l_2}\right).\] Зажимаем в лапку штатива часть витков пружины и определяем зависимость периода колебаний от числа свободных витков. Получаем линейную зависимость, которая согласуется с теорией.

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M_n}{k_n}}\), и т.к. \(M_n \sim n\), \(k_n \sim \dfrac{1}{n}\), то период оказывается пропорциональным числу витков пружины: \[T \sim n.\]

Ответ

\(\mathcal{E}\) и \(r\) находят из системы (1), (2); \(C_1 = \dfrac{\Delta t}{(R + R_V)\,\Delta\ln(I/I_0)}\); \(C_2 = C_1\left(\sqrt[n]{\dfrac{\mathcal{E}}{U_0}} - 1\right)\) (обозначения — в решении).

Решение

Собираем электрическую цепь согласно схеме на рис. 61. Эквивалентное сопротивление \(R_{\text{э}}\) участка цепи с параллельно соединённым резистором с сопротивлением \(R\) и вольтметром, внутреннее сопротивление которого равно \(R_V\): \[R_{\text{э}} = \dfrac{RR_V}{R + R_V}.\] Запишем показание вольтметра \(U_1\): \[U_1 = \mathcal{E}\dfrac{R_{\text{э}}}{R_{\text{э}} + r}.\tag{1}\] Собираем электрическую цепь согласно схеме на рис. 62. Вновь запишем показание вольтметра \[U_2 = \mathcal{E}\dfrac{R_V}{r + R + R_V}.\tag{2}\] Решая систему уравнений (1) и (2), находим внутреннее сопротивление источника \(r\) и его ЭДС \(\mathcal{E}\).

Определяем ёмкость \(C_1\) конденсатора. Для этого сначала заряжаем конденсатор, а затем разряжаем его через вольтметр и последовательно соединённый с ним резистор. На миллиметровой бумаге строим график \(I(t)\), где \(I = \dfrac{U}{R_V}\). Известно, что \(I = I_0\exp\left(-\dfrac{t}{C_1(R + R_V)}\right)\), а \(I_0 = \dfrac{\mathcal{E}}{R + R_V}\). Отсюда \(\ln\left(\dfrac{I}{I_0}\right) = -\dfrac{t}{C_1(R + R_V)}\).

Окончательно получим \[C_1 = \dfrac{\Delta t}{(R + R_V)\,\Delta\ln\left(\dfrac{I}{I_0}\right)}.\]

Ёмкость \(C_2\) конденсатора можно определить другим способом. Заряжаем \(C_1\) до напряжения \(U = \mathcal{E}\), а затем разряжаем через \(C_2\). Проводим некоторое количество (\(n\)) разрядок \(C_1\) через \(C_2\). На конденсаторе \(C_1\) останется заряд \(Q_n\): \[Q_n = \dfrac{Q_0}{\left(1 + \dfrac{C_2}{C_1}\right)^n}.\tag{3}\] Измеряем остаточное напряжение \(U_0\) на конденсаторе \(C_1\). Поскольку \(Q_n = C_1U_0\), а \(Q_0 = C_1\mathcal{E}\), из (3) получим \[U_0 = \dfrac{\mathcal{E}}{\left(1 + \dfrac{C_2}{C_1}\right)^n}.\tag{4}\] Из (4) находим \(C_2 = C_1\left(\sqrt[n]{\dfrac{\mathcal{E}}{U_0}} - 1\right)\).

Ответ

Расстояние между стёклами равно длине отрезка \(CD\), построенного по линиям зрения (рис. 63); погрешность \(\approx 2h\), где \(h\) — толщина стёкол.

Решение

Отогнём у листа бумаги два уголка так, как показано на рис. 63. На лист установим ящик. На линии зрения, проходящей через уголок \(A\) и изображение \(B_1\) уголка \(B\) в левом стекле, сделаем карандашом отметку и проведём прямую \(AB_1\). Затем на линии зрения, проходящей через уголок \(A\) и изображение \(B_2\) уголка \(B\) в правом стекле, сделаем другую отметку и проведём прямую \(AB_2\). Аналогичным образом проведём прямые \(BA_1\) и \(BA_2\). Измерим расстояние \(CD\). Оно равно расстоянию между стёклами в ящике.

Погрешность измерения расстояния \(H\) между стёклами зависит от толщины \(h\) этих стёкол и составляет \(\approx 2h\).

Ответ

Мощность кипятильника \(P \approx 117\) Вт (погрешность 5 Вт); количество теплоты, потерянной в окружающую среду при нагревании, \(Q \approx 96\) кДж.

Решение

Рекомендации для организаторов. Для относительного увеличения эффекта потерь энергии кипятильник следует включать в цепь с пониженным напряжением (например, 100 В).

Количество теплоты, которое получает в единицу времени система «вода–сосуд», определяем из выражения \[\dfrac{\Delta Q}{\Delta t} = (m_1c_1 + m_2c_2)\dfrac{\Delta T}{\Delta t},\tag{1}\] где \(m_1\), \(m_2\) и \(c_1\), \(c_2\) — известные массы и удельные теплоёмкости воды и сосуда соответственно.

Удельная теплоёмкость системы «вода–сосуд» постоянна в течение всего эксперимента, поэтому для краткости обозначим её символом \(A\), т.е. \[A = m_1c_1 + m_2c_2.\] Пусть мощность кипятильника равна \(P\). Обозначим количество теплоты, переходящее в единицу времени от сосуда с водой к окружающему воздуху, символом \(P_-\). Запишем условие теплового баланса \[P = P_- + \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} = P_- + A\dfrac{\Delta T}{\Delta t}.\tag{2}\] Обратим внимание на то, что \(P_-\) зависит от температуры, т.е. \(P_- = P_-(T)\). Чтобы найти \(P_-\) при заданной температуре \(T\), прервём нагревание сосуда с водой (отключим кипятильник и вытащим его из воды) и проследим за изменением температуры системы от времени, т.е. найдём отношение \(\dfrac{\Delta T}{\Delta t}\). В этом случае \[P_- = A\left(\dfrac{\Delta T}{\Delta t}\right)_{T_1}.\tag{3}\] Повторим опыт с нагреванием системы «вода–сосуд» и последующим прерыванием нагрева при разных температурах.

Приведём данные трёх серий измерений (рис. 64), отличающихся выбором момента времени прерывания процесса нагревания. В первом случае нагревание до температуры 83 \(^\circ\)С длилось 34 мин, во втором — 15 мин до 61 \(^\circ\)С, в третьем — 4 мин до 36 \(^\circ\)С. По графику (или соответствующей таблице) легко установить, что в согласии с формулой (3)

\[P(83^\circ) \simeq P(61^\circ) \simeq 113\text{ Вт}.\] При нагревании воды до 36 \(^\circ\)С найденное значение мощности несколько выше: \[P(36^\circ) \simeq 126\text{ Вт}.\] Полученные по трём измерениям среднее значение мощности и её среднестатистическая погрешность соответственно равны 117 Вт и 5 Вт. Мощность потерь для выбранных моментов времени принимала следующие значения: \[P_-(83^\circ) \simeq 76\text{ Вт},\ P_-(61^\circ) \simeq 38\text{ Вт},\] \[P_-(36^\circ) \simeq 13\text{ Вт}.\] Искомое количество потерянной теплоты \(Q\) можно оценить, определив площадь под графиком (рис. 65) зависимости \(P_-\) от времени нагрева до соответствующей температуры. Находим ответ: \(Q \simeq 96\) кДж.

Ответ

Между выводами \(A\) и \(B\) — диод; между \(D\) и \(B\) — резистор \(R_{DB} = 1\) кОм, параллельно которому включён конденсатор \(C \approx 1000\) мкФ (схема на рис. 70).

Решение

Проверим вольтметром отсутствие источника тока внутри «чёрного ящика». Соберём цепь для снятия вольтамперной характеристики его участков цепи (рис. 66). Поочерёдно снимаем вольтамперные характеристики всех пар выводов «чёрного ящика» при прямой и обратной полярности включения источника тока.

По виду вольтамперной характеристики (рис. 67) участка цепи \(AB\) определяем, что он содержит диод. Вольтамперная характеристика участка цепи \(DB\) (рис. 68) имеет линейный характер, что говорит о наличии резистора. По закону Ома для участка цепи вычисляем сопротивление \(R_{DB} = 1\) кОм.

Резкий отброс стрелки миллиамперметра при подключении участка цепи \(DB\) к источнику тока и её последующее плавное установление на новом уровне свидетельствуют, что параллельно с резистором включён конденсатор.

При максимальном сопротивлении переменного резистора получается, что конденсатор и два резистора по 1 кОм включены параллельно (рис. 69). Если в этом случае отключить источник тока, то конденсатор будет разряжаться за время \(t \approx 1\) с. Чтобы оценить ёмкость \(C\) конденсатора, запишем закон сохранения энергии:

\[I_{\text{ср}}^2R_1t = \dfrac{1}{2}CU_{\max}^2,\] где \(I_{\text{ср}} \approx U_{\text{ср}}/R\), \(U_{\text{ср}} \approx \dfrac{U_{\max}}{2}\), \(R_1 = R/2 = 0{,}5\) кОм.

Ёмкость \(C \approx 1000\) мкФ.

Электрическая схема «чёрного ящика» приведена на рис. 70.

Ответ

\(\mu = \dfrac{L}{x} - \sqrt{\left(\dfrac{L}{x}\right)^2 - 1}\), где \(L\) — длина карандаша, \(x\) — горизонтальная проекция карандаша при предельном угле \(\alpha\) (рис. 71).

Решение

Линейку, обёрнутую листом бумаги, ставим вертикально на другой такой же лист бумаги, лежащий на столе. Прислоняем к линейке карандаш (заточенный с двух сторон) под углом \(\alpha\), предельным, при котором карандаш ещё не скользит (рис. 71). Условия равновесия карандаша определяются равенством нулю суммы всех действующих на него сил и равенством нулю моментов сил относительно общего полюса. Запишем в проекциях на горизонтальную и вертикальную координатные оси условие равенства нулю суммы сил:

\[N_2 - F_{\text{тр}1} = 0,\tag{1}\] \[N_1 + F_{\text{тр}2} - mg = 0.\tag{2}\] Определим моменты сил относительно полюса \(O\): \[mg\dfrac{L}{2}\cos\alpha - N_2L\sin\alpha - F_{\text{тр}2}L\cos\alpha = 0,\tag{3}\] здесь \(L\) — длина карандаша.

Решая системы уравнений (1)–(3), получим \[\mu = \dfrac{L}{x} - \sqrt{\left(\dfrac{L}{x}\right)^2 - 1}.\]

Ответ

\(c_1 = c_2\dfrac{m_2}{m_1}\dfrac{\Delta t_2}{\Delta t_1}\), где индекс 2 — алюминиевый образец, \(\Delta t_1\) и \(\Delta t_2\) — изменения температуры образцов за одинаковые промежутки времени при одинаковых разностях температур с окружающей средой.

Решение

Чтобы определить материал, из которого изготовлен один из образцов, следует найти теплоёмкость металла методом охлаждения и затем сравнить найденную теплоёмкость с табличными данными.

Металлический образец, имеющий температуру более высокую, чем температура окружающей среды, в этой среде охлаждается. Количество теплоты, теряемой образцом металла за малый промежуток времени \(\Delta\tau\), равно \[\Delta Q = -c\rho V\Delta t,\tag{1}\] где \(c\) — удельная теплоёмкость металла, \(\rho\) — его плотность, \(V\) — объём образца, \(\Delta t\) — изменение температуры образца.

Это же количество теплоты может быть найдено из закона сохранения энергии \[\Delta Q = \alpha(t - t_0)S\Delta\tau,\tag{2}\] где \(t_0\) — температура окружающей среды, \(t\) — температура образца, \(\alpha\) — коэффициент теплоотдачи, \(S\) — площадь поверхности образца. Сравнивая выражения (1) и (2), получаем \[-c\rho V\Delta t = \alpha(t - t_0)S\Delta\tau.\tag{3}\] Выражение (3) перепишем в виде \[\dfrac{\Delta t}{t - t_0} = -\dfrac{\alpha S}{cm}\Delta\tau,\tag{4}\] где \(m = \rho V\) — масса образца; знак минус показывает, что с увеличением времени \(\Delta\tau\) температура образца убывает.

Определив из опыта температуры образцов для ряда значений времени, на миллиметровой бумаге строим соответствующие графики.

Находя из графиков \(\Delta t_1\) и \(\Delta t_2\) для двух образцов при одинаковых разностях температур \((t - t_0)_1\) и \((t - t_0)_2\) и при одинаковых \(\Delta\tau\), запишем \[\dfrac{\Delta t_1}{\Delta t_2} = \dfrac{c_2m_2}{c_1m_1},\tag{5}\] откуда \[c_1 = c_2\cdot\dfrac{m_2}{m_1}\cdot\dfrac{\Delta t_2}{\Delta t_1}.\tag{6}\] Величины \(\alpha\) и \(S\) принимаем одинаковыми для обоих образцов в одних и тех же интервалах температур.

Образцы по очереди помещаем в горячую воду. После нагревания образца до 80–90 \(^\circ\)С вынимаем его и протираем. В канал образца помещаем термометр, закрепляя его в штативе. С помощью секундомера через каждые 30 с записываем температуру образца до температуры, примерно на 10 \(^\circ\)С превышающей \(t_0\). По ряду полученных из опыта значений температуры для каждого из двух образцов на листке миллиметровой бумаги в координатах \((t - t_0)\) и \(\tau\) строим графики.

По формуле (6) вычисляем удельную теплоёмкость \(c_1\).

Ответ

\(T_{\text{лг}} = T_{\text{лх}} + \dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{R_{\text{лг}}}{R_{\text{лх}}} - 1\right)\), где \(R_{\text{лх}}\) и \(R_{\text{лг}}\) — сопротивления нити в холодном и разогретом состояниях, найденные из измерений (формулы (4) и (6)).

Решение

Сначала определим ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока. Для этого соберём цепь, схема которой приведена на рис. 72. Измеряем силу тока \(I_1\) и вычисляем напряжение на зажимах источника тока: \[U_1 = \mathcal{E} - I_1r \approx \mathcal{E}.\tag{1}\]

Соберём цепь, схема которой изображена на рис. 73. Измерим силу тока \(I_2\) и вычислим напряжение на зажимах источника тока:

\[U_2 \approx I_2R_2 \approx \mathcal{E}\dfrac{R_1}{R_1 + r}.\tag{2}\] Из (2) найдём внутреннее сопротивление источника: \[r \approx R_1\left(\dfrac{\mathcal{E}}{I_2R_2} - 1\right).\tag{3}\] Для того чтобы измерить сопротивление \(R_{\text{лх}}\) нити накала лампочки при комнатной температуре, собираем цепь, схема которой приведена на рис. 74. Измеряем силу тока \(I_3\) и вычисляем \[R_{\text{лх}} \approx \dfrac{R_A}{\dfrac{\mathcal{E}}{I_3R_2} - 1} - R_1.\tag{4}\]

В цепи, схема которой дана на рис. 75, через лампочку течёт максимальный ток. Следовательно, и температура нити накала будет максимальной. Напряжение на лампочке найдём по формуле

\[U_{\text{лг}} \approx I_4R_2 \approx \mathcal{E}\dfrac{R_{\text{лг}}}{R_{\text{лг}} + r}.\tag{5}\] Из (5) выразим сопротивление \(R_{\text{лг}}\) разогретой спирали: \[R_{\text{лг}} = \dfrac{r}{\dfrac{\mathcal{E}}{I_4R_2} - 1}.\tag{6}\] Поскольку сопротивление спирали лампочки от температуры зависит линейно, можем записать \[R_{\text{лг}} = R_{\text{лх}}\left(1 + \alpha(T_{\text{лг}} - T_{\text{лх}})\right),\tag{7}\] где \(T_{\text{лг}}\) и \(T_{\text{лх}}\) — температуры спирали лампочки в разогретом и холодном состояниях.

Из (7) окончательно получим \[T_{\text{лг}} = T_{\text{лх}} + \dfrac{R_{\text{лг}}}{R_{\text{лх}}\alpha} - \dfrac{1}{\alpha}\quad\text{или}\quad T_{\text{лг}} = T_{\text{лх}} + \dfrac{1}{\alpha}\left(\dfrac{R_{\text{лг}}}{R_{\text{лх}}} - 1\right).\]

Ответ

\(\sigma = \dfrac{\rho gh}{2}\sqrt{\dfrac{V}{\pi H}}\).

Решение

Найдём радиус \(r\) капилляра. Для этого набираем в шприц определённый объём \(V\) жидкости, часть которой с помощью иглы переливаем в капилляр, и измерим миллиметровой бумагой высоту \(h\) столба жидкости. Освобождаем капилляр от воды и вновь заполняем его жидкостью из шприца. Так повторяем до тех пор, пока в шприце не закончится вся вода. Зная объём воды в шприце и просуммировав высоту столба воды в капилляре для каждого измерения (допустим, получилась высота \(H\)), можно по формуле \[r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi H}}\] найти радиус капилляра.

Опустим капилляр в ёмкость с жидкостью. За счёт сил поверхностного натяжения вода поднимется в капилляре на некоторую высоту \(h\). Этот подъём воды можно связать с избыточным давлением \[p = \dfrac{2\sigma}{r} = \rho gh.\tag{1}\] Из (1) получим выражение для определения коэффициента поверхностного натяжения \[\sigma = \dfrac{\rho gh}{2}\sqrt{\dfrac{V}{\pi H}}.\]

Ответ

Нужно экспериментально найти на боковой поверхности тела области и их границы, в которых тело поворачивается на угол меньше \(90^\circ\) либо совершает поворот вокруг оси, т. е. на угол больше \(180^\circ\).

Решение

В первую очередь необходимо определиться с системой координат. Наиболее целесообразно начало отсчёта установить в центре боковой поверхности тела, а оси расположить горизонтально и вертикально.

Перемещая груз при заданной координате \(x\) по вертикали, обнаружим, что при некотором положении груза тело переворачивается. Таким образом, чтобы решить задачу, необходимо экспериментально найти области и их границы на боковой поверхности тела, в которых тело либо поворачивается на угол, меньший \(90^\circ\), либо осуществляет поворот вокруг оси, т. е. на угол, больший \(180^\circ\).