ВсОШ, 1992–2001, 9 класс, экспериментальный тур

Ответ

Центр масс лежит в точке пересечения трёх вертикальных плоскостей, в которых лежала нить при начале скольжения тела (при трёх разных положениях тела и точках приложения силы).

Решение

Рекомендации для организаторов. Нить не должна выдерживать вес тела.

В качестве тела неправильной формы следует взять штатив, имеющий три ножки. К одной из ножек прикрепите струбцину (рис. 1).

Охватим нитью нижнюю часть стойки штатива. Соединим концы нити и потянем за них так, чтобы тело начало скользить.

Вертикальная плоскость, в которой лежит нить, проходит через центр масс тела.

Сменим точку приложения силы и повторим опыт.

Перевернём штатив на бок и ещё раз повторим опыт.

Центр масс тела лежит в точке пересечения трёх плоскостей.

Ответ

\(F_{\text{м}} \sim l\): сила взаимодействия гайки с магнитом пропорциональна расстоянию \(l\) между свободным полюсом и краем перемычки.

Решение

Поместим на лист миллиметровой бумаги гайку, которая через нить связана с динамометром. Измерим расстояние \(l\) между свободным полюсом магнита и краем металлической перемычки, соединённой с другим полюсом. Подведём магнит с перемычкой под лист миллиметровой бумаги. Для различных \(l\) снимем зависимость силы \(F\), действующей со стороны динамометра на гайку, от расстояния \(L\) между гайкой и серединой зазора \(l\).

Определим силу трения \(F_{\text{тр}}\) между гайкой и бумагой. Искомая сила \(F_{\text{м}} = F - F_{\text{тр}}\).

Из анализа экспериментальных данных получим \[F_{\text{м}} \sim l.\]

Ответ

\(\rho_{\text{пл}} = \rho\,h_2/h_1\), где \(h_1\) — изменение уровня воды при погружении куска, \(h_2\) — при плавании «кораблика» из него.

Решение

Погружаем в сосуд с водой кусок пластилина и измеряем линейкой изменение уровня \(h_1\) жидкости в сосуде. Изготавливаем из пластилина «кораблик» и пускаем его плавать в сосуде с водой. Вновь измеряем изменение уровня \(h_2\) жидкости. Плотность пластилина находим по формуле \[\rho_{\text{пл}} = \dfrac{m_{\text{пл}}}{V_{\text{пл}}} = \dfrac{\rho S\cdot h_2}{S h_1} = \rho\dfrac{h_2}{h_1}.\]

Ответ

Масса груза — максимальная масса разновесов, которую выдерживает мост, согнутый из бумаги в виде показанной на рисунке конструкции (стенки прижимаются к разновесам).

Решение

Рекомендации для организаторов. 1) Бумажные листы следует брать из одной пачки; 2) максимальная ширина (диаметр) разновесов не должна превышать 2 см.

Согнём из бумаги конструкцию, изображённую на рис. 2. Ширина «рабочей» части моста должна быть чуть больше диаметра разновесов. В этом случае стенки нагруженного моста прижмутся к разновесам и конструкция будет устойчива. Поочерёдно выставляя на середину моста разновесы, определяем максимально допустимую массу груза. Другие конструкции моста разрушаются при меньшей нагрузке.

Ответ

\(C_1 = \dfrac{c_{\text{уд}}}{N}\,\dfrac{m_{\text{г}}(T_{\text{г}} - T_{\text{г}2}) - m_{\text{х}}(T_{\text{х}2} - T_{\text{х}})}{T_{\text{х}2} - T_{\text{х}}}\) (обозначения — в решении).

Решение

Полезно провести предварительный эксперимент по оценке времени охлаждения горячей воды в стакане на 5–7 градусов. Время основного эксперимента должно быть в несколько раз меньше.

Для выполнения основного эксперимента обвяжем каждую из монет ниткой, оставив «поводок» длиной 10–15 см. Поместим с помощью поводка монеты в стакан с холодной водой и после того, как температура установится (скажем, на уровне \(T_{\text{х}}\)), перенесём за поводки монеты в стакан с горячей водой (её начальная температура \(T_{\text{г}}\)).

Запишем уравнение теплового баланса: \[NC_1(T_{\text{г}1} - T_{\text{х}}) = m_{\text{г}}c_{\text{уд}}(T_{\text{г}} - T_{\text{г}1}),\tag{1}\] где \(T_{\text{г}1}\) — установившаяся температура воды и монет, \(C_1\) — теплоёмкость монеты, \(N\) — количество монет, \(m_{\text{г}}\) — масса горячей воды.

Перенесём монеты в стакан с холодной водой. Выждем некоторое время. Измерим новое значение установившейся температуры \(T_{\text{х}1}\). Вновь запишем уравнение теплового баланса: \[NC_1(T_{\text{г}1} - T_{\text{х}1}) = m_{\text{х}}c_{\text{уд}}(T_{\text{х}1} - T_{\text{х}}),\tag{2}\] где \(m_{\text{х}}\) — масса холодной воды.

Совершим аналогичный цикл с переносом монет ещё раз. Запишем соответствующие уравнения (3) и (4) теплового баланса.

Решая систему уравнений (1)–(4), получим \[C_1 = \dfrac{c_{\text{уд}}}{N}\,\dfrac{m_{\text{г}}(T_{\text{г}} - T_{\text{г}2}) - m_{\text{х}}(T_{\text{х}2} - T_{\text{х}})}{T_{\text{х}2} - T_{\text{х}}}.\]

Ответ

\(\mu_2 = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha + 2\operatorname{tg}\beta}\), где \(\alpha\) — угол начала скольжения одной линейки по другой, \(\beta\) — критический угол наклонной линейки, опирающейся на вертикальную.

Решение

Рекомендации для организаторов. Желательно работу выполнять за лабораторным столом, рабочая поверхность которого покрыта линолеумом.

Выполним два опыта.

1-й. Измерим коэффициент трения \(\mu_1\) дерева по дереву путём определения угла \(\alpha\), при котором начинается скольжение одной линейки по другой (рис. 3). В этом случае \(\mu_1 = \operatorname{tg}\alpha\).

2-й. Установим одну линейку вертикально, а другую — под углом к плоскости стола (рис. 4). Измерим критический угол \(\beta\), при котором начинается скольжение наклонной линейки.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную координатные оси: \[F_{\text{тр}1} + N_2 = mg,\tag{1}\] \[N_1 = F_{\text{тр}2},\tag{2}\] где \(\mu_1 N_1 = F_{\text{тр}1}\), \(\mu_2 N_2 = F_{\text{тр}2}\).

Запишем условие равенства моментов сил относительно полюса \(O\): \[mg\dfrac{l}{2}\cos\beta + \mu_2 N_2 l\sin\beta = N_2 l\cos\beta,\tag{3}\] где \(l\) — длина наклонной линейки.

Решая систему уравнений (1)–(3), получим \[\mu_2 = \dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha + 2\operatorname{tg}\beta}.\]

Ответ

\(\dfrac{k_1}{k_2} = \dfrac{\Delta x_2}{\Delta x_1}\) — отношение удлинений пружин, соединённых последовательно.

Решение

Рекомендации для организаторов. Пружины должны быть ровными, а их жёсткости отличаться примерно в два раза. На концах пружин целесообразно согнуть небольшие крючки.

Соединим последовательно пружины. Если растянуть составную пружину, то \[k_1\Delta x_1 = F = k_2\Delta x_2,\] где \(k_1\), \(k_2\) и \(\Delta x_1\), \(\Delta x_2\) — жёсткости и удлинения соответствующих пружин.

Отношение жёсткостей пружин \[\dfrac{k_1}{k_2} = \dfrac{\Delta x_2}{\Delta x_1}.\] Чтобы измерить удлинения пружин, отметим на бумаге положение свободных концов пружин и место их соединения, затем растянем составную пружину так, чтобы соединение пружин осталось неподвижным. Вновь отметим положение концов пружин. Удлинение каждой из пружин можно измерить в относительных единицах (например, в количестве плотно сжатых витков одной из пружин).

Ответ

Зависимость \(1/b\) от нагрузки \(F\) нелинейна: критическая длина убывает быстрее, чем возрастает нагрузка (график на рис. 6).

Решение

Соберём экспериментальную установку так, как показано на рис. 5.

Оба конца бумажной ленты охватывают деревянный брусок и крепятся к нему кнопками. Брусок с помощью струбцины крепится к краю стола. Трубку вставляем в бумажную петлю для обеспечения равномерного натяжения по всей ширине ленты. С помощью динамометра контролируется нагрузка.

Сделаем лезвием разрез. Его длину измерим линейкой. Будем увеличивать нагрузку на бумагу до тех пор, пока разрез не начнёт расти.

Построим график в координатах \(1/b\) и \(F\) (рис. 6).

Из графика видим, что искомая зависимость нелинейная, причём критическая длина убывает быстрее, чем возрастает нагрузка.

Ответ

Булавки прокатывают на одно и то же расстояние между линейками; отношение числа оборотов равно отношению диаметров (по книге).

Решение

Рекомендации для организаторов. Булавки (разных, но близких диаметров) следует брать с головкой в виде петельки, а иголки — с чётко выраженной цилиндрической частью.

Одну из булавок положим на линейку перпендикулярно длинной стороне, накроем её другой линейкой и прокатим булавку так, чтобы она совершила, например, 10 оборотов. Для облегчения подсчёта числа оборотов из фольги следует сделать флажок, закрепив его в ушке иголки (булавки). На листке бумаги, подложенном под нижнюю линейку, отметим начальное и конечное положения булавки. Заменим теперь булавку на другую и прокатим её на то же расстояние, считая обороты. Отношение числа оборотов равно отношению диаметров.

Ответ

\(T_x = T_1 - \dfrac{m_{\text{в}}c_{\text{в}}}{m_{\text{т}}c_{\text{т}}}(T_0 - T_1)\).

Решение

Рекомендации для организаторов. Предлагаемая для эксперимента вода должна иметь такую температуру, чтобы при установлении теплового равновесия после погружения в неё калориметрического тела конечная температура была по возможности близка к комнатной. Если снега нет, то можно сделать лёд в морозильной камере. Льда должно быть 300–400 г. Лабораторные термометры не должны давать возможность измерить непосредственно температуру смеси снега и льда (около \(-20\,^\circ\)С). Нижний предел температуры, который можно измерить термометром, не должен быть ниже \(-10\,^\circ\)С.

С помощью весов определим массу \(m_{\text{т}}\) калориметрического тела и массу \(m_{\text{в}}\) воды, находящейся в одном из калориметров. Другой калориметр заполним снегом и солью. Тщательно перемешаем содержимое этого калориметра. Температура смеси в нём опустится приблизительно до \(-20\,^\circ\)С.

Поместим калориметрическое тело в этот калориметр и выждем некоторое время, необходимое для выравнивания температуры. Перенесём тело в калориметр, наполненный водой. Измерим температуру воды \(T_0\) до и \(T_1\) после помещения в неё калориметрического тела.

Запишем уравнение теплового баланса: \[m_{\text{т}}c_{\text{т}}(T_1 - T_x) = m_{\text{в}}c_{\text{в}}(T_0 - T_1).\] Из этого уравнения получаем расчётную формулу для определения температуры смеси соли со снегом: \[T_x = T_1 - \dfrac{m_{\text{в}}c_{\text{в}}}{m_{\text{т}}c_{\text{т}}}(T_0 - T_1).\]

Ответ

Плотность картофелины равна плотности соляного раствора, в котором она всплыла: масса воды и растворённой соли делится на измеренный объём раствора.

Решение

Рекомендации для организаторов. Картофелина должна быть такой, чтобы в пресной воде тонула, а в насыщенном растворе соли всплывала. Банка должна быть от 0,5 до 1 л. Палочка необходима для размешивания соли.

Постепенно добавляя навески соли в воду, необходимо добиться всплытия картофелины. В этом случае плотности раствора и картофелины одинаковы. Зная первоначальную массу воды, массу растворённой соли и измерив с помощью измерительного цилиндра объём получившегося раствора, можно рассчитать его плотность.

Ответ

Отношение числа делений, заслоняемых головкой булавки, к числу делений, заслоняемых её длинной частью.

Решение

Рекомендации для организаторов. Булавка необходима со шляпкой; можно использовать и маленький гвоздик. Должна быть хорошо выражена цилиндрическая часть. При необходимости фольгу можно заменить на тонкую и плотную бумагу, не пропускающую света.

Эксперимент очевиден из приведённого рисунка 7. В фольге делаем маленькое отверстие, позволяющее одновременно видеть резкое изображение булавки, находящейся близко к глазу, и далёкого листа бумаги с предварительно нанесёнными равными делениями. Из подобия соответствующих треугольников вычисляем искомое отношение; делим количество делений, заслоняемых головкой булавки, на количество делений, заслоняемых её длинной частью.

Ответ

\(M_1 = \dfrac{M}{L} = \dfrac{\pi\rho D^2}{4\left(1 - \dfrac{b}{b'}\right)}\), где \(b\) и \(b'\) — плечи подвеса проволоки в воздухе и в воде, \(D\) — диаметр проволоки, \(\rho\) — плотность воды.

Решение

Изготовим рычажные весы. Для этого привяжем нитку к середине линейки (чтобы исключить массу линейки из последующих расчётов).

Выразим массу \(M\) проволоки через массу \(m\) гайки. К одному краю линейки подвесим проволоку, к другому — гайку. Допустим, гайка легче проволоки. Изменяя длину \(b\) плеча подвеса проволоки, уравновесим весы. Обозначим длину линейки через \(2R\). Запишем условие равенства моментов сил относительно полюса \(O\): \[Mb = mR.\tag{1}\] Найдём объём проволоки. Для этого опустим проволоку, подвешенную за нитку к весам, в сосуд с водой. Изменяя плечо подвеса проволоки, добьёмся равновесия весов. Запишем условие равенства моментов сил относительно полюса \(O\): \[M_{\text{эфф}}b' = mR,\tag{2}\] где \(b'\) — новая длина плеча подвеса проволоки, \(M_{\text{эфф}}\) — эффективная масса, которую найдём из закона Архимеда \[M_{\text{эфф}} = M - \rho V,\tag{3}\] где \(\rho\) — плотность воды, \(V\) — объём проволоки. Этот же объём выразим через длину \(L\) и диаметр \(D\) проволоки: \[V = \dfrac{\pi D^2 L}{4}.\tag{4}\] Из (1)–(4) выразим массу одного метра проволоки: \[M_1 = \dfrac{M}{L} = \dfrac{\pi\rho D^2}{4\left(1 - \dfrac{b}{b'}\right)}.\] Чтобы точнее определить диаметр \(D\) проволоки, намотаем на её прямолинейный участок от 10 до 20 витков нитки. Выразим \(D\) через число витков и длину намотанного куска нитки.

Ответ

\(T = \sqrt{\dfrac{A}{h} + Bh}\), где \(A\) и \(B\) — постоянные коэффициенты; период велик при малых \(h\), с ростом \(h\) сначала убывает, затем возрастает (график на рис. 8).

Решение

Подвесим за нити маятник к штативу. Измерим линейкой расстояние \(h\). Возбудим колебания маятника и определим их период \(T\). Проведём измерения периода \(T\) для различных длин \(h\). Результаты занесём в таблицу. Построим график зависимости \(T(h)\) (рис. 8).

Из графика видим, что при малых расстояниях \(h\) период \(T\) — большой. С увеличением \(h\) период колебаний сначала убывает, а затем, начиная с некоторой длины \(h\), — возрастает. Аналитическая зависимость \(T(h)\) может быть выражена формулой \[T = \sqrt{\dfrac{A}{h} + Bh},\] где \(A\) и \(B\) — некоторые постоянные коэффициенты.

Ответ

Масса \(m\) от радиуса вала не зависит (\(\Delta m = \mu m\Delta\varphi\)); при увеличении числа оборотов нити масса \(m\) должна возрастать гораздо быстрее, чем угол \(\varphi\).

Решение

Рассмотрим небольшой участок поверхности вала со скользящей по нему нитью (рис. 9). Здесь \(\vec F\) и \(\vec F_1\) — силы, приложенные к концам участка нити.

\(F_1 = F + \Delta F\), где \(\Delta F\) — дополнительная сила, которая требуется для компенсации силы трения \(\Delta F_{\text{тр}}\), действующей на нить со стороны рассматриваемого участка вала. \[\Delta F = \Delta F_{\text{тр}} = \mu\Delta N,\tag{1}\] где \(\mu\) — соответствующий коэффициент трения, \(\Delta N\) — сила реакции опоры.

Согласно рис. 10

\(\Delta\vec N + \vec F_1 + \vec F = 0\) или \[\Delta N \approx 2F\sin\dfrac{\Delta\varphi}{2} \approx F\Delta\varphi.\tag{2}\] Из (1) и (2) получим \[\Delta F = \mu F\Delta\varphi.\tag{3}\] Поскольку \(\Delta F \sim \Delta m\), (3) можно представить в виде \[\Delta m = \mu m\Delta\varphi.\tag{4}\] Из (4) видно, что \(\Delta m\) не зависит от радиуса вала.

Проверим этот вывод на опыте.

Нальём в бутылку столько воды, чтобы нить начала скользить по валу от небольшого толчка. Затем перенесём нить с грузами на другой вал. Убедимся, что наш теоретический вывод согласуется с экспериментом.

Увеличим число оборотов нити вокруг вала и повторим эксперимент. Замечаем, что для равномерного скольжения нити масса \(m\) должна возрастать гораздо быстрее, чем угол \(\varphi\).

Ответ

\(\rho = \rho_{\text{в}}\dfrac{1}{1 - \Delta V/V}\), где \(V\) — объём ареометра, \(\Delta V = \pi D^2 h/4\) — объём части карандаша над поверхностью раствора.

Решение

Рекомендации для организаторов. В качестве сосудов целесообразно использовать пластиковые бутылки объёмом 0,33 или 0,5 л. У бутылок следует срезать верхнюю коническую часть.

Изготовим ареометр — прибор для измерения плотности жидкостей. Для этого из пластилина вылепим колбу, сквозь которую пропустим карандаш. Регулируя объём полости колбы, добьёмся равенства средней плотности \(\rho_{\text{А}}\) ареометра и плотности \(\rho_{\text{в}}\) дистиллированной воды: \[\rho_{\text{А}} = \rho_{\text{в}}.\tag{1}\] Опустим ареометр в соляной раствор плотности \(\rho\). По закону Архимеда \[\rho_{\text{А}}Vg = \rho(V - \Delta V)g,\tag{2}\] где \(V\) — объём ареометра, а \(\Delta V\) — объём части карандаша, возвышающейся над поверхностью воды. Из (1) и (2) получим формулу \[\rho = \rho_{\text{в}}\dfrac{1}{1 - \dfrac{\Delta V}{V}}.\tag{3}\] Объём \(V\) измерим по изменению уровня воды в сосуде с дистиллированной водой при погружении в неё ареометра. \(\Delta V\) найдём по формуле \[\Delta V = \dfrac{\pi D^2 h}{4},\tag{4}\] где \(h\) — высота возвышающейся над поверхностью воды части карандаша, \(D\) — диаметр карандаша.

Для более точного вычисления \(D\) плотно обмотаем карандаш 10 витками ниток. По длине намотки определим \(D\).

Из (3) следует \[1 - \dfrac{\Delta V}{V} = \dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho}.\tag{5}\] Поскольку для данного раствора отношение \(\rho_{\text{в}}/\rho\) остаётся постоянным, то постоянным должно быть и отношение \(\Delta V/V\).

Чем больше будет объём \(V\), тем больше окажется \(\Delta V\), тем с большей точностью можно измерить \(\rho\).

Следовательно, для изготовления колбы ареометра нужно использовать весь пластилин.

Ответ

\(m_2 = m_1\dfrac{d_1}{d_2}\), где \(d_1\), \(d_2\) — горизонтальные проекции крайних участков нити.

Решение

Рекомендации для организаторов. В качестве грузов можно взять две разные гайки или монеты достоинством в 2 и 5 рублей.

Соберём установку, изображённую на рис. 11. С помощью кнопок прикрепим к краю лабораторного стола (точки \(A\) и \(D\)) лист миллиметровой бумаги и кусок нити длиной 60–70 см. Привяжем грузы к нити в произвольных точках \(B\) и \(C\). Перемещая вдоль нити место крепления грузов (точки \(B\) и \(C\)), добьёмся, чтобы её участок \(BC\) стал горизонтальным.

В этом случае \[\operatorname{tg}\varphi_1 = \dfrac{d_1}{H_1} = \dfrac{T_{1x}}{T_{1y}},\quad \operatorname{tg}\varphi_2 = \dfrac{d_2}{H_2} = \dfrac{T_{2x}}{T_{2y}},\tag{1}\] где \(d_1\), \(d_2\), \(H_1\), \(H_2\) — длины проекций участков \(AB\) и \(CD\) нити на горизонтальную и вертикальную координатные оси, \(T_{1x}\), \(T_{2x}\), \(T_{1y}\), \(T_{2y}\) — соответствующие проекции сил \(\vec T_1\) и \(\vec T_2\) на эти же оси. Поскольку \[H_1 = H_2,\tag{2}\] \[T_{1x} + T_{2x} = 0,\tag{3}\] \[T_{1y} + m_1 g = 0,\tag{4}\] \[T_{2y} + m_2 g = 0,\tag{5}\] то, подставляя (2)–(5) в (1), получим \[m_2 = m_1\dfrac{d_1}{d_2}.\tag{6}\] Миллиметровой бумагой измеряем длины \(d_1\) и \(d_2\), после чего по формуле (6) находим массу \(m_2\).

Ответ

\(\mu = \dfrac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha}\), где \(\cos\alpha = (l - D)/D\); \(D\) — диаметр яйца, \(l\) — измеренная линейкой длина (рис. 15). Характерные результаты: \(D \approx 4\) см, \(l = 6{,}0 \div 7{,}0\) см, \(\mu = 0{,}3 \div 0{,}4\).

Решение

Рекомендации для организаторов. Яйца следует варить «вкрутую», причём скорлупа яиц должна быть без трещин.

Упор можно сделать из деревянного бруска размером 10 см \(\times\) 10 см \(\times\) 3 см с приклеенной к одной его стороне (размером 10 см \(\times\) 10 см) полоской наждачной бумаги или лейкопластыря.

В качестве угольника можно взять кусок металлического уголка 4 см \(\times\) 4 см длиной 6 см.

Расположение элементов экспериментальной установки показано на рис. 12. Нижнее яйцо следует отодвигать от вертикального упора до тех пор, пока между скорлупой яиц не возникнет проскальзывание. До этого момента при аккуратной сборке яйца неподвижны.

Рассмотрим силы, действующие на нижнее и верхнее яйца (см. рис. 13). Яйца неподвижны, поэтому равнодействующая внешних сил, действующих в горизонтальном направлении, равна нулю: \(\vec N_1 + \vec F_4 = 0\). Яйца не вращаются, следовательно, момент сил, приложенных к каждому яйцу, равен нулю: \(F_1R = F_2R\), \(F_3R = F_4R\). В соответствии с третьим законом Ньютона \(F_2 = F_3\). Отсюда следует: \[N_1 = F_4,\quad F_1 = F_2 = F_3 = F_4 = F.\tag{1}\] Векторы сил, действующих на верхнее яйцо, показаны на рис. 14.

Проектируя силы на ось \(OX\), получаем \[F + F\sin\alpha = N_2\cos\alpha.\tag{2}\] Поскольку сила трения скольжения \(F_2 = \mu N_2\), то из (1) и (2) находим \[\mu = \dfrac{F_2}{N_2} = \dfrac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha},\] где \(\alpha\) — угол, при котором начинается проскальзывание между скорлупками.

Схема измерения \(\cos\alpha\) приведена на рис. 15.

Величину \(l\) измеряем линейкой. Тогда \(\cos\alpha = (l - D)/D\), где \(D\) — диаметр яйца.

Коэффициент трения следует измерить несколько раз, затем найти его среднее значение и ошибку.

Характерные результаты: \(D \approx 4\) см, \(l = 6{,}0 \div 7{,}0\) см, \(\mu = 0{,}3 \div 0{,}4\).

Ответ

\(\Delta r = rL/R\); численно \(r = 10\) мм, \(L = 11\) мм, \(R \approx 70\) см, откуда \(\Delta r = (150 \pm 20)\) мкм.

Решение

Рекомендации для организаторов. Диаметр одной из щёчек шпульки следует сточить на 0,3 мм. Стол, на котором проводится эксперимент, должен допускать вкалывание в него булавок. Если поверхность стола не позволяет этого делать, то следует накрыть стол листом картона формата А3. Длина линейки не менее 40 см.

Установим две булавки на оси шпульки. Будем катить шпульку по столу. Из-за различия радиусов щёчек шпулька будет катиться по дуге окружности радиуса \(R \approx 70\) см. Установим третью булавку в центре кривизны траектории шпульки.

Несложно показать, что \(\Delta r/r = L/R\), где \(r\) — радиус щёчки, \(L\) — расстояние между щёчками, \(\Delta r\) — искомое различие радиусов. Численно: \(r = 10\) мм, \(L = 11\) мм, отсюда \(\Delta r = (150 \pm 20)\) мкм.

Ответ

Отношение масс монет равно обратному отношению количеств монет двух достоинств, уравновешивающих шарик в одном и том же положении.

Решение

Рекомендации для организаторов. Шарик должен быть круглый («сосиска» не подходит). Выдаётся отрезок нити длиной около 10 см — она необходима для завязывания шарика. Диаметр отверстия шарика должен позволять вкладывать туда монетки обоих достоинств. Хорошо, если все участники будут иметь доступ к водопроводному крану и раковине.

Заполним шарик водой и, оставив маленький пузырёк, завяжем ниткой. Положим шарик на стол и предоставим ему возможность прийти в равновесие. Поместим некоторое количество монеток одного достоинства в «хвостик» шарика \(B\), отметим ручкой положение пузырька \(A\) (рис. 16).

Вытащим эти монетки и посчитаем, столько монеток другого достоинства потребуется, чтобы пузырёк находился в том же месте. Отношение количеств монет равно отношению их масс.

Ответ

\(R_2 = R_1\dfrac{\Delta t_2\,\Delta\tau_1}{\Delta t_1\,\Delta\tau_2}\).

Решение

Собираем последовательную цепь, подключаем её к источнику тока (см. рис. 17), погружаем резистор \(R_1\) в воду и контролируем с помощью термометра \(T\) изменение температуры \(\Delta t_1\) воды в течение времени \(\Delta\tau_1\). Для достаточно малых промежутков времени \(\Delta\tau\) можно пренебречь потерями тепла. Запишем для этого случая уравнение теплового баланса: \[I_1^2R_1\Delta\tau_1 = c_{\text{в}}m\Delta t_1,\] где \(c_{\text{в}}\) — удельная теплоёмкость воды, \(m\) — её масса.

Затем, погрузив в воду резистор \(R_2\) вместо \(R_1\), повторяем эксперимент при той же силе тока \(I_1\). В этом случае уравнение теплового баланса будет иметь вид: \[I_1^2R_2\Delta\tau_2 = c_{\text{в}}m\Delta t_2,\] где \(\Delta t_2\) — изменение температуры воды за время \(\Delta\tau_2\).

Взяв отношение количеств теплоты, получим искомую величину: \[R_2 = R_1\dfrac{\Delta t_2\Delta\tau_1}{\Delta t_1\Delta\tau_2}.\]

Ответ

\(\mu = \dfrac{m}{M}\operatorname{tg}\alpha\), где \(m\) — масса гири, \(M\) — масса бруска, \(\alpha\) — угол отклонения нити от вертикали (рис. 18).

Решение

Предварительно определяем массу бруска. Для этого размещаем брусок и гирю на линейке и с помощью правила рычага находим искомую массу \(M\). Затем, привязав нить к гире и подвесив её на штативе, отклоняем гирю с помощью бруска на такой угол \(\alpha\) (рис. 18), когда сила, с которой гиря действует на брусок, равна силе трения скольжения:

\[F = F_{\text{тр}}\] или \[mg\operatorname{tg}\alpha = \mu Mg,\] откуда \[\mu = \dfrac{m}{M}\operatorname{tg}\alpha.\] Необходимые для расчёта тангенса угла параметры определяем с помощью линейки.

Ответ

\(P = G = P_1\dfrac{l_1}{l}\), где \(P_1\) — вес гирьки, \(l\) и \(l_1\) — плечи силы тяжести фигуры и силы со стороны гирьки относительно края стола.

Решение

Чтобы определить вес плоской фигуры, сначала находим положение её центра масс. С этой целью положим фигуру на стол так, чтобы она опиралась только на край стола, и проведём по фигуре карандашом линию вдоль края стола. Затем эту операцию повторим, изменив положение фигуры на столе. Центр масс фигуры будет находиться в точке пересечения этих двух линий.

Проведём на фигуре от центра масс линию \(AC\) (рис. 19), положим на фигуру гирьку так, чтобы её центр масс находился на этой линии, а саму фигуру вместе с гирькой положим на стол, край которого должен быть перпендикулярен к линии \(AC\). При этом сама фигура должна опираться только о край стола и находиться в равновесии. В этом случае сумма моментов всех сил, приложенных к фигуре, относительно края стола равна нулю.

На фигуру будут действовать три силы: сила тяжести \(\vec G\), реакция опоры \(\vec N\) со стороны стола и сила \(\vec F\) со стороны гирьки, равная её весу \(\vec P_1\) (рис. 20).

Так как момент силы \(\vec N\) относительно края стола равен нулю, то по правилу моментов сил будем иметь \[Gl = P_1l_1,\quad G = P_1\dfrac{l_1}{l}.\] Вес фигуры равен действующей на неё силе тяжести, т. е. \(P = G\). Так как вес гирьки известен, то для определения веса фигуры измерим плечи \(l\) и \(l_1\) сил \(\vec G\) и \(\vec F\) соответственно.

Ответ

Измеряют время вытекания \(t\) при разных начальных высотах \(h\) уровня; по таблице \(t = t(h)\) приближённо находят скорость струи \(v = \Delta h/\Delta t\) для различных \(h\).

Решение

Используя воронку, наливаем в укреплённую вертикально на штативе бюретку воду и с помощью винтового зажима на резиновой трубке подбираем размер выходного отверстия так, чтобы время вытекания воды из бюретки было не слишком малым и в то же время струя не прерывалась. Затем, фиксируя с помощью пружинного зажима начальную высоту \(h\) уровня воды в бюретке, измеряем секундомером время вытекания \(t\). В результате получаем таблицу \(t = t(h)\), по которой можно приближённо найти скорость струи \(v = \Delta h/\Delta t\) для различных \(h\).

Ответ

Искомая температура \(\approx 4\,^\circ\)С: вблизи дна температура воды некоторое время (около 10 минут) стабилизируется на этом значении.

Решение

Помешивая ложечкой воду в стакане, добиваемся выравнивания её температуры по всему объёму. Затем ставим стакан на подставку и исследуем зависимость температуры воды вблизи дна стакана от времени. Вначале температура растёт, а затем стабилизируется вблизи искомого значения \(4\,^\circ\)С в течение \(\approx 10\) минут, после чего опять начинает возрастать.

Ответ

\(T = \dfrac{mg}{2\cos\alpha} = \dfrac{mg}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{h^2 + y^2}}{h}\), где \(h\) — глубина провисания нити в момент разрыва.

Решение

Соберём установку, изображённую на рис. 21. Медленно уменьшая глубину \(h\) провисания нити, добьёмся её разрыва. Условие разрыва нити понятно из рис. 22.

\(\vec T_1 + \vec T_2 + m\vec g = 0\), где \(|\vec T_1| = |\vec T_2| = T\). Окончательно получим \[T = \dfrac{mg}{2\cos\alpha} = \dfrac{mg}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{h^2 + y^2}}{h}.\]

Ответ

\(k = \dfrac{F_2}{mg}\dfrac{l_2}{l_1}\), где \(F_2\) — показание динамометра в момент равномерного движения груза, \(l_1\), \(l_2\) — плечи сил (рис. 23).

Решение

Рекомендации для организаторов. Вес лёгкого груза должен быть больше предела измерения динамометра.

На рис. 23 изображён вид сверху экспериментальной установки, которую следует собрать. Медленно увеличивая силу, приложенную к линейке со стороны динамометра, добьёмся того, чтобы груз известной массы начал равномерное движение. Это будет происходить при условии \[F_1l_1 = F_2l_2.\tag{1}\]

Здесь \(F_2\) — показания динамометра, \(F_1\) — сила, действующая на линейку со стороны груза массы \(m\): \[F_1 = kmg.\tag{2}\] Из (1) и (2) следует \[k = \dfrac{F_2}{mg}\dfrac{l_2}{l_1}.\]

Ответ

\(m_{\text{т}} = F_2/g\); \(\rho_{\text{т}} = \rho\dfrac{F_2}{F_2 - F_1}\); \(H_{\text{т}} = (h_2 - h_1) + V_{\text{т}}/S_{\text{ящ}}\); \(S_{\text{т}} = V_{\text{т}}/H_{\text{т}}\), где \(V_{\text{т}} = \dfrac{F_2 - F_1}{\rho g}\); тело имеет постоянное сечение по высоте.

Решение

Соединим динамометр с крючком на конце проволоки, выходящей из крышки «чёрного ящика», и начинаем поднимать его вверх. Снимаем зависимость показаний динамометра от высоты \(h\) подъёма крючка. На миллиметровой бумаге строим график зависимости \(F = F(h)\) (рис. 24).

Из вида графика можно предположить, что участок \(ab\) соответствует подъёму тела от дна до поверхности воды, участок \(bc\) — «выходу» из воды, \(cd\) — дальнейшему подъёму в воздухе. Поскольку на участках \(ab\) и \(cd\) силы постоянны, делаем заключение, что между грузом и ящиком нет пружин или резинок. Участок \(bc\) — прямая линия. Это может быть только в том случае, когда по всей высоте тело имеет постоянное поперечное сечение (например, как у цилиндра или параллелепипеда).

Масса тела \[m_{\text{т}} = \dfrac{F_2}{g}.\tag{1}\] Воспользуемся законом Архимеда: \(F_1 = F_2 - \rho V_{\text{т}}g\), где \(\rho\) — плотность воды, \(V_{\text{т}}\) — объём тела, равный \[V_{\text{т}} = \dfrac{F_2 - F_1}{\rho g}.\tag{2}\] Плотность материала тела \[\rho_{\text{т}} = \dfrac{m_{\text{т}}}{V_{\text{т}}} = \rho\left(\dfrac{F_2}{F_2 - F_1}\right).\tag{3}\] Измеряем диаметр \(D\) дна (крышки) «чёрного ящика» и находим его площадь: \(S_{\text{ящ}} = \dfrac{\pi D^2}{4}\). Находим высоту \(H_{\text{т}}\) тела в «чёрном ящике» из уравнения \[h_1S_{\text{ящ}} - V_{\text{т}} = (h_2 - H_{\text{т}})S_{\text{ящ}},\] \[H_{\text{т}} = (h_2 - h_1) + \dfrac{V_{\text{т}}}{S_{\text{ящ}}}.\tag{4}\] Площадь тела \[S_{\text{т}} = \dfrac{V_{\text{т}}}{H_{\text{т}}}.\tag{5}\]

Ответ

Плотность — отношение массы вытесненной воды (равной массе цилиндров по условию опыта) к её объёму; \(c_{\text{ц}} = c_{\text{в}}\dfrac{m_{\text{х}}}{m_{\text{ц}}}\cdot\dfrac{t_0 - t_{\text{х}}}{t_{\text{г}} - t_0}\).

Решение

Поставим стакан в ванночку. Заполним его до краёв водой. Обвяжем цилиндры нитками и опустим их в стакан с водой. Объём вытесненной воды будет равен объёму цилиндров. Поместим калориметр в стакан и заполним стакан до краёв водой. Опустим в калориметр цилиндры. Масса воды, вытесненной из стакана, будет равна массе цилиндров. Найдём плотность металла, из которого изготовлены цилиндры.

Смешивая горячую и холодную воду, получим такое количество воды комнатной температуры \(t_0\), которого хватит для того, чтобы полностью скрыть под водой цилиндры, лежащие на дне калориметра.

Перенесём цилиндры в горячую воду и подождём, пока их температура не сравняется с температурой горячей воды \(t_{\text{г}}\).

Перенесём с помощью ниток цилиндры обратно в калориметр и дольём в него мензуркой столько холодной воды, чтобы в калориметре установилась комнатная температура \(t_0\).

Запишем уравнение теплового баланса \[m_{\text{ц}}c_{\text{ц}}t_{\text{г}} + m_{\text{х}}c_{\text{в}}t_{\text{х}} = (m_{\text{ц}}c_{\text{ц}} + m_{\text{х}}c_{\text{в}})t_0.\tag{1}\] Здесь \(m_{\text{ц}}\) — масса цилиндров, \(c_{\text{ц}}\) — их удельная теплоёмкость, \(m_{\text{х}}\) — масса холодной воды, которую долили в калориметр. Из уравнения (1) находим искомую теплоёмкость \[c_{\text{ц}} = c_{\text{в}}\left(\dfrac{m_{\text{х}}}{m_{\text{ц}}}\right)\left(\dfrac{t_0 - t_{\text{х}}}{t_{\text{г}} - t_0}\right).\]

Ответ

\(E = \dfrac{l}{S}\left(\dfrac{L}{l_1}\right)^2\dfrac{\Delta F}{\Delta h}\).

Решение

Собираем установку, схематически изображённую на рис. 25. К правому концу стержня прикрепляем динамометр, а к торцевой части стержня с помощью пластилина прикрепляем булавку (она будет играть роль стрелки). По вертикально поставленной линейке определяем смещение \(\Delta h\) правого конца стержня при разных значениях приложенной силы \(F\). Удлинение \(\Delta l\) проволоки определяем из пропорции

\[\dfrac{\Delta l}{l_1} = \dfrac{\Delta h}{L}.\tag{1}\] Это удлинение обусловлено увеличением силы натяжения проволоки \(\Delta T\). Увеличение силы натяжения найдём из уравнения моментов сил: \[\Delta Tl_1 = \Delta FL.\tag{2}\] Согласно закону Гука имеем \[\Delta T = k\Delta l.\tag{3}\] Воспользуемся выражением для коэффициента жёсткости, приведённым в условии задания. Тогда после алгебраических преобразований из (1)–(3) получим \[E = \dfrac{l}{S}\left(\dfrac{L}{l_1}\right)^2\dfrac{\Delta F}{\Delta h}.\]

Ответ

Снимают вольт-амперные характеристики растворов известной концентрации, строят график зависимости напряжения на электродах от концентрации при фиксированной силе тока \(I_0\) (рис. 28); измерив напряжение для неизвестного раствора при том же токе, по графику находят его концентрацию.

Решение

Соберём электрическую цепь (рис. 26) для того, чтобы снять вольт-амперную характеристику раствора поваренной соли.

Нальём в банку фиксированное количество пресной воды. Растворим в ней один навесок соли. Снимем вольт-амперную характеристику (далее ВАХ) получившегося раствора.

Добавим в раствор другой навесок и вновь снимем ВАХ. Будем повторять эту процедуру до тех пор, пока не закончатся все навески соли.

На рис. 27 приведено семейство ВАХ для растворов с разными концентрациями \(C\) соли.

Снимать все ВАХ следует при одной и той же геометрии контакта электродов и электролита.

Выберем на графике (рис. 27) такое значение силы тока \(I_0\), при котором линия \(I_0 = \text{const}\) пересекла бы все характеристики. В нашем случае в качестве \(I_0\) удобно взять силу тока в 0,5 А.

Из графиков на рис. 27 определим соответствие напряжения на электродах концентрации раствора (при силе тока \(I_0\)). Полученные результаты приведены на рис. 28.

Теперь нальём в банку такой же объём раствора неизвестной концентрации, как в опытах с известными концентрациями. Измерим напряжение на электродах при силе тока, равной \(I_0\). По графику зависимости напряжения между электродами от концентрации соли (рис. 28) определим концентрацию неизвестного раствора.

Ответ

\(R_V = U_1/I_1\) (схема на рис. 29), \(R_A = U_2/I_2\) (схема на рис. 30).

Решение

Изготовим источник тока, воткнув латунную и цинковую пластины в солёный огурец. Подбирая расстояние между пластинами и глубину погружения пластин, добиваемся оптимального значения напряжения на выходе источника.

Для определения сопротивления милливольтметра соберём схему, изображённую на рис. 29.

Поскольку милливольтметр даёт показания, равные напряжению на его клеммах, то \(R_V = \dfrac{U_1}{I_1}\). Для обеспечения большей точности эксперимента напряжение на выходе источника тока подберём так, чтобы показания приборов по возможности приходились на последнюю треть шкалы.

Для определения сопротивления миллиамперметра соберём схему, изображённую на рис. 30. В этом случае милливольтметр покажет напряжение на клеммах миллиамперметра.

Сопротивление \(R_A = \dfrac{U_2}{I_2}\).

Ответ

\(\rho_{\text{т}} = \rho_{\text{в}}\dfrac{d_2d_3}{d_2d_3 - d_1d_4}\) (обозначения — на рис. 31).

Решение

Находим центр масс стержня (точка \(C\)) при его равновесии на опоре (лапке штатива) и измеряем расстояние \(l_0\) от точки \(C\) до одного из концов стержня.

Подвешиваем тело на нити к одному концу стержня и добиваемся равновесия рычага на опоре (рис. 31, а).

Из условия равенства моментов сил относительно полюса \(O\) \[mgd_2 = Mgd_1,\tag{1}\] где \(m\) — масса стержня, \(M\) — масса тела, \(d_1\) — расстояние от точки подвеса тела до опоры, \(d_2\) — расстояние от центра масс стержня до опоры, находим массу тела \[M = \dfrac{md_2}{d_1}.\tag{2}\] Погрузим тело в сосуд с водой и вновь уравновесим стержень на опоре (рис. 31, б).

Вновь запишем условие равенства моментов сил относительно полюса \(O\): \[mgd_4 = (Mg - F_A)d_3 = (\rho_{\text{т}} - \rho_{\text{в}})Vgd_3,\tag{3}\] где \(F_A\) — выталкивающая сила Архимеда, \(\rho_{\text{в}}\) — плотность воды.

Решая совместно (3) и (1) с учётом того, что \(\rho_{\text{т}} = \dfrac{M}{V}\), находим плотность тела: \[\rho_{\text{т}} = \rho_{\text{в}}\dfrac{d_2d_3}{d_2d_3 - d_1d_4}.\tag{4}\]

Ответ

\(R_6 = K_6R_V\), \(R_7 = K_7R_V\), где \(K = \dfrac{R}{R_V} = \dfrac{U - U_V}{U_V}\); остальные величины находятся по формулам, приведённым в решении.

Решение

Для определённости пронумеруем резисторы в порядке возрастания их сопротивлений. Измерим напряжение \(U\) батарейки. Включая поочерёдно каждый из резисторов последовательно с вольтметром (рис. 32), определим те, сопротивление которых соизмеримо с сопротивлением вольтметра, т. е. №№ 5, 6, 7. Найдём, во сколько раз сопротивление каждого из них отличается от сопротивления вольтметра: \[K = R/R_V = (U - U_V)/U_V.\]

Соберём цепь, в которой будем каждый из оставшихся резисторов последовательно соединять с батарейкой и амперметром. Определим номера резисторов в порядке возрастания их сопротивлений.

Определим (согласно схеме на рис. 33) сопротивления резисторов \(R_3\) и \(R_4\):

\[R_3 = \dfrac{U_3}{I_3},\quad R_4 = \dfrac{U_4}{I_4}.\] Соберём цепь (рис. 34) и определим сопротивление резистора № 2:

\[R_2 = \dfrac{U_2}{I_2}.\] Используя \(R_2\) как шунт, найдём сопротивление амперметра \(R_A\) (рис. 35). Для этого измеряем \(I_1\) при разомкнутом ключе и \(I_4\) — при замкнутом.

Вычислим \(R_A = R_2\dfrac{I_1 - I_4}{I_4}\).

Повторяем предыдущий опыт, заменив резистор \(R_2\) на \(R_1\), и измеряем силу тока \(I_5\). Находим \[R_1 = R_A\dfrac{I_5}{I_1 - I_5}.\] Соединяя последовательно с источником тока резисторы \(R_4\) и \(R_5\) и измеряя вольтметром напряжение \(U_4\) на резисторе \(R_4\) и \(U\) на источнике, находим \[R_5 = R_4\dfrac{U - U_4}{U_4}.\] Соединяя последовательно с источником тока резисторы \(R_5\) и \(R_6\), определим напряжение \(U_V\) и найдём сопротивление вольтметра: \[R_V = R_5\dfrac{U_V}{U - U_V(K_6 + 1)}.\] Вычисляем сопротивления резисторов: \[R_6 = K_6R_V,\quad R_7 = K_7R_V.\]

Ответ

\(k = \dfrac{mg\cos\alpha\,(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha_0)}{\Delta l}\).

Решение

Определить коэффициент жёсткости \(k\) пружины «прямым путём» (подвесив груз на пружине и измерив её удлинение) нельзя. Поэтому пойдём «обходным путём». Проведём эксперимент на наклонной плоскости. Её можно изготовить, положив один конец линейки на брусок, а другой оставив на столе.

Изменяя угол \(\alpha\) наклона линейки относительно плоскости стола, найдём коэффициент трения \(\mu\) груза о линейку: \[\mu = \operatorname{tg}\alpha_0,\tag{1}\] где \(\alpha_0\) — угол, при котором груз начал скользить.

Прикрепим один конец пружины к грузу, а другой к верхнему краю линейки (рис. 36). Будем постепенно увеличивать угол \(\alpha\) и измерять удлинение пружины. По результатам измерений построим график (рис. 37).

В статическом состоянии сумма сил, действующих на груз, равна нулю, т. е. \[mg\sin\alpha - k\Delta l - \mu mg\cos\alpha = 0,\tag{2}\] где \(\Delta l\) — удлинение пружины, \(m\) — масса груза.

Из (1) и (2) получим \[k = \dfrac{mg\cos\alpha\,(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha_0)}{\Delta l}.\]

Ответ

Три варианта: \(\mu = F/P\) (отношение силы, при которой коробка с грузом начинает скользить, к её весу); \(\mu = \dfrac{b}{2a}\); \(\mu = \operatorname{tg}\alpha\).

Решение

Задача допускает несколько вариантов решения.

1-й вариант. Вынем спички из коробки и вложим в коробку предложенные грузы. С помощью динамометра определите вес коробки с грузом. Далее уложим спички так, чтобы их головки составляли дорожку (можно, например, втыкать их в бумагу), а затем положите на эту дорожку коробку с грузом. С помощью динамометра определим силу, при которой коробка начинает скользить по спичечной дорожке. Из отношения измеренных сил определим коэффициент трения \(\mu\).

2-й вариант. Положим на выложенную из спичек дорожку коробок и попытаемся его опрокинуть, толкая остриём ручки или линейкой в широкую вертикальную стенку. Найдём расстояние \(a\) от нижней грани коробка до точки, при нажатии на которую коробок от скольжения переходит к опрокидыванию, и определим коэффициент трения из соотношения \(\mu = b/2a\), где \(b\) — ширина спичечного коробка.

3-й вариант. Свяжем аккуратно две спички так, чтобы их головки были на противоположных концах. Положим их на шероховатую поверхность спичечного коробка и, наклоняя коробку, определим угол \(\alpha\), при котором спички начинают скольжение. В этом случае \(\mu = \operatorname{tg}\alpha\).

Ответ

\(\approx 0{,}2\) мм.

Решение

Убедимся, что изображение каналов находится практически в центре детали в тот момент, когда луч зрения перпендикулярен плоскости, проходящей через оси каналов. Видимый размер изображения \(\approx 2{,}5\) мм. При наблюдении каналов в перпендикулярном направлении видимый размер диаметра ближнего к наблюдателю канала равен 1 мм.

Рассмотрим ход лучей, показанный на рис. 38, а. Очевидно, что \[\dfrac{a'}{a} \cong \dfrac{\operatorname{tg}\beta'}{\operatorname{tg}\beta} = \dfrac{\sin\beta'}{\sin\beta} = n.\]

Следовательно, \[a = \dfrac{a'}{n} = \dfrac{2{,}5}{1{,}51} \approx 1{,}66\text{ мм}.\] В схеме, изображённой на рис. 38, б, расстояние \(b\) равно \[b = \dfrac{b'S}{nS'},\] при этом \(S' \cong 4\) мм, \(S = R - a\). Тогда \(b \approx 0{,}74\) мм и расстояние между каналами равно: \[1{,}66 - 2\cdot 0{,}74 \approx 0{,}2\text{ мм}.\]