ВсОШ, 1996/97, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Ответ

\(R_{AB} = \dfrac{(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} = 9{,}625\) кОм.

Решение

Обозначим точки подсоединения \(R_5\) через \(C\) и \(D\). Рассмотрим две схемы, получающиеся из исходной путём разрыва между точками \(C\) и \(D\) (рис. 29) и закорачивания этих же точек (рис. 30).

Пусть напряжение между клеммами \(A\) и \(B\) равно \(U\). Тогда силы токов в этих схемах \[I_1 = I_2 = \dfrac{U}{11},\quad I_3 = I_4 = \dfrac{U}{77},\] \[I'_1 = I'_2 = \dfrac{U}{11},\quad I'_3 = I'_4 = \dfrac{U}{77}.\]

Заметим, что силы токов через каждое из сопротивлений \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), \(R_4\) одинаковы для обеих схем. Ясно, что схема на рис. 31 эквивалентна схеме на рис. 30. Сила тока через перемычку \(CD\) \[I_5 = I_1 - I_2 = 0.\] Поскольку сила тока на участке \(CD\) равна нулю, независимо от величины \(R_5\), то и \(R_{AB}\) не зависит от \(R_5\). Таким образом, для расчёта сопротивления \(R_{AB}\) можно использовать любую из схем на рис. 29–31. Воспользуемся схемой на рис. 29 и найдём: \[R_{AB} = \dfrac{(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} = 9{,}625\text{ кОм}.\] (Совпадение с \(R_5\) случайно!)

Ответ

В раме, установленной толстым стеклом наружу, \(+10\) °С; во второй раме (толстым стеклом внутрь) \(0\) °С.

Решение

Так как теплопередача пропорциональна разности температур, то температура внутри стекла изменяется линейно. Очевидно, что температура воздуха между стёклами не зависит от расстояния между ними. Сложим два стекла вместе. Для этого случая график температуры представлен на рис. 32. Линия \(AA\) соответствует первому случаю, а линия \(BB\) — второму. Из графика видно, что температура воздуха в раме, установленной толстым стеклом наружу, равна \(+10\) °С, а во второй раме — 0 °С.

Ответ

\(t = 2L\dfrac{\sin\alpha}{v}\).

Решение

При упругих ударах о стенки угол падения равен углу отражения. Таким образом, движение шайбы можно рассматривать на фигуре, получившейся последовательными отражениями треугольника относительно одной из боковых сторон (рис. 33).

При малых \(\angle ABC\) эту фигуру можно приближённо считать окружностью, а хорды \(l\) вычислять по формуле \[l = 2AB\cdot\sin\alpha = 2L\cdot\sin\alpha.\] Искомое время между ударами \[t = \dfrac{l}{v} = 2L\dfrac{\sin\alpha}{v}.\]

Ответ

\(a = \sqrt{2}\,\dfrac{M + m}{m}g\); направлено вдоль оси \(x\) (см. рис. 34).

Решение

Выберем прямоугольную систему координат \(Oxy\), как показано на рис. 34. Рассмотрим силы, действующие на шарик \(m\) до того, как верхняя пружина оторвётся. Так как шарик в этот момент находится в покое, то

по \(Ox\):  \(F_1\cos 45^\circ + (F_2 + mg)\sin 45^\circ - F_3 = 0\),

по \(Oy\):  \(F_1\sin 45^\circ - (F_2 + mg)\cos 45^\circ = 0\).

Условие покоя груза \(M\) \[F'_2 = F_2 = Mg.\] Решая эту систему уравнений, получим \[F_3 = \sqrt{2}\,(M + m)g.\] В начальный момент после отрыва пружины на шарик \(m\) будут продолжать действовать силы \(m\vec g\), \(\vec F_1\) и \(\vec F_2\). Следовательно, его ускорение в начальный момент будет направлено вдоль оси \(x\) и равно \[a = \dfrac{F_3}{m} = \sqrt{2}\,\dfrac{M + m}{m}g.\]

Ответ

Если \(v_0 \leqslant \sqrt{2gH}\), то скорость \(u\) любая; если \(v_0 > \sqrt{2gH}\), то \(u > \sqrt{v_0^2 - 2gH}\).

Решение

Рассмотрим два случая.

1. Если \(v_0 \leqslant \sqrt{2gH}\), то скорость \(u\) — любая.

2. Пусть \(v_0 > \sqrt{2gH}\). Рассмотрим ситуацию, когда траектория камня касается прямой, вдоль которой летит птица. Горизонтальная проекция \(v_{\text{г}}\) (рис. 35) скорости камня в течение всего его полёта сохраняется. Ясно, что

при \(v_{\text{г}} \geqslant u\) мальчик может попасть в птицу, а при \(v_{\text{г}} < u\) — нет. Из закона сохранения энергии следует, что \(v_{\text{г}} = \sqrt{v_0^2 - 2gH}\). Таким образом, мальчик не сможет попасть в птицу, если \(u > \sqrt{v_0^2 - 2gH}\).

Ответ

\(l = \dfrac{v_0^2}{6kg}\).

Решение

Пусть \(m\) — масса каждой из досок, а \(v_1\) — скорость системы после прекращения относительного движения досок. Запишем закон сохранения импульса: \[(2m)v_0 = (3m)v_1 \Rightarrow v_1 = \dfrac{2}{3}v_0\qquad (1)\] и закон сохранения энергии: \[\dfrac{(2m)v_0^2}{2} = \dfrac{(3m)v_1^2}{2} + Q + A_{\text{тр}},\qquad (2)\] где \(Q\) — количество теплоты, выделившейся при неупругом ударе досок 2 и 3, \(A_{\text{тр}}\) — работа силы трения при движении доски 1 по доске 3.

Так как трение между досками 1 и 2 отсутствует, в течение процесса неупругого удара к системе брусков 2 и 3 можно применить законы сохранения импульса и энергии: \[mv_0 = (2m)u \Rightarrow u = \dfrac{v_0}{2},\qquad (3)\] \[\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{(2m)u^2}{2} + Q \Rightarrow Q = \dfrac{1}{4}mv_0^2.\qquad (4)\] По мере того как доска 1 надвигается на доску 3, сила трения между этими досками возрастает по линейному закону от 0 до \(kmg\) (рис. 36). Работа силы трения численно равна площади заштрихованной части графика, т.е.

\[A_{\text{тр}} = \dfrac{1}{2}kmg\,l.\qquad (5)\] Подставляя в (2) выражение для \(v_1\), \(Q\) и \(A_{\text{тр}}\), получим \[l = \dfrac{v_0^2}{6kg}.\]

Ответ

\(\tau = 42\) с.

Решение

Скорость движения столбика ртути пропорциональна мощности, подводимой к ртути: \(v \sim N\). В свою очередь \(N \sim \dfrac{\Delta T}{\Delta x}\), где \(\Delta T\) — разность температур между нагревателем и ртутью, \(\Delta x\) — расстояние между нагревателем и ртутью, выраженное в показаниях термометра, т.е. \(\Delta x \sim (t_x - t)\), где \(t\) — текущее показание термометра.

По условию задачи разность температур остаётся приблизительно постоянной. Поэтому \(v \sim \dfrac{1}{\Delta x}\). Для нахождения искомого времени построим график в координатах \(\Delta x\), \(\dfrac{1}{v}\), где \(\Delta x\) — разница между 30 °С и температурой ртути (рис. 37), а \(v\) — скорость движения вершины столбика ртути, выраженная в град/с.

В принятых обозначениях площадь под графиком есть время. Таким образом, искомое время \(\tau\) численно равно заштрихованной площади на графике и составляет \(\tau = 42\) с.

Ответ

В зависимости от порядка включения резисторов в цепь \(I_{01} = 4{,}8\) А или \(I_{02} = 5\) А.

Решение

Введём обозначения резисторов и покажем направления токов на схеме (рис. 38). Идеальный амперметр \(A_1\) «закорачивает» точки \(A\) и \(B\), поэтому сопротивление всей цепи (между точками \(C\) и \(D\)) равно

\[R_{CD} = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2} + \dfrac{R_3R_4}{R_3 + R_4}.\] Тогда сила тока, текущего через амперметр \(A_1\), равна \[I_0 = \dfrac{U(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)}{R_1R_2R_3 + R_2R_3R_4 + R_3R_4R_1 + R_4R_1R_2}.\qquad (1)\] Значение выражения \(\sum\Pi_R = R_1R_2R_3 + R_2R_3R_4 + R_3R_4R_1 + R_4R_1R_2\) не зависит от порядка резисторов в цепи и всегда равно 50 Ом\(^3\).

Теперь определим силу тока \(I_0\), используя показания амперметра \(A_2\). Из приведённой схемы следует \[\left.\begin{aligned} I_1R_1 &= I_2R_2,\\ (I_1 - i)R_3 &= (I_2 + i)R_4, \end{aligned}\right\}\Rightarrow\] \[\Rightarrow I_1 = i\dfrac{R_2(R_3 + R_4)}{R_2R_3 - R_1R_4},\] \[I_2 = i\dfrac{R_1(R_3 + R_4)}{R_2R_3 - R_1R_4},\] тогда \[I_0 = I_1 + I_2 = i\dfrac{(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)}{R_2R_3 - R_1R_4}.\qquad (2)\] Приравнивая (1) и (2), получаем \[R_2R_3 - R_1R_4 = \dfrac{i\sum\Pi_R}{U} = 10\text{ Ом}^2.\qquad (3)\] Последнее условие будет выполнено, если:

1) \(R_2 = 3\) Ом, \(R_3 = 4\) Ом, \(R_1 = 1\) Ом, \(R_4 = 2\) Ом. Тогда сопротивление цепи \(R_{CD} = \dfrac{25}{12}\) Ом и показания амперметра \(A_1\): \(I_{01} = 4{,}8\) А;

2) \(R_2 = 4\) Ом, \(R_3 = 3\) Ом, \(R_1 = 1\) Ом, \(R_4 = 2\) Ом. Тогда сопротивление цепи \(R_{CD} = 2\) Ом и показание амперметра \(A_1\): \(I_{02} = 5\) А.

Другие перестановки сопротивлений, удовлетворяющие условию (3), приводят к тем же результатам.

Итак, в зависимости от порядка включения резисторов в цепь показания амперметра \(A_1\): \[I_{01} = 4{,}8\text{ А или }I_{02} = 5\text{ А}.\]