ВсОШ, 2000/01, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Ответ

На луче \(OO'\) вдоль берега откладываем отрезки \(OO_2 = 2uT\), \(OO_3 = 3uT\), \(OO_4 = 4uT\) и проводим через \(O_2\), \(O_3\), \(O_4\) прямые, параллельные прямой \(OA\) (направлению \(\vec v = \vec v_0 - \vec u\)); их точки пересечения с траекторией — искомые положения плота.

Решение

Пусть \(O\) — точка старта плота (рис. 64). В системе отсчёта (СО), движущейся вниз по течению реки со скоростью \(\vec u\) (в этой СО вода неподвижна), плот движется по прямой в направлении вектора \(\vec v = \vec v_0 - \vec u\). Вектор \(\vec r(t)\), соединяющий точку \(O\) с точкой \(A\) — местом нахождения плота в момент \(T\) в движущейся СО, направлен параллельно \(\vec v\). В неподвижной СО вектор, соединяющий точку \(O\) с местом его нахождения, \(\vec R(t) = \vec r(t) + \vec u\,t\).

Проведём через точку \(A\) прямую параллельно \(\vec v\). Точку пересечения этой прямой с берегом обозначим \(O_1\), тогда \(OO_1 = uT\). Отложим на луче \(OO'\) отрезки \(OO_2 = 2uT\), \(OO_3 = 3uT\) и \(OO_4 = 4uT\). Через полученные точки \(O_2\), \(O_3\), \(O_4\) проведём прямые параллельно \(\vec v\). Точки пересечения этих прямых с траекторией плота будут соответствовать местам его нахождения в моменты времени \(2T\), \(3T\), \(4T\).

Ответ

Если \(s_1 \leqslant \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\), то \(s_2 = 0\); если \(\dfrac{\mu gt_1^2}{2} < s_1 \leqslant \dfrac{\mu gt_1^2}{2} + \mu gt_1t_2\), то \(s_2 = \dfrac{1}{2\mu gt_1^2}\left(s_1 - \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\right)^2\); если \(s_1 > \dfrac{\mu gt_1^2}{2} + \mu gt_1t_2\), то \(s_2 = \dfrac{t_2}{t_1}\left(s_1 - \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\right) - \dfrac{\mu gt_2^2}{2}\).

Решение

Тело движется по поверхности с ускорением \(-\mu g\) до тех пор, пока не остановится. Обозначим начальную скорость тела через \(v_0\). Возможны следующие случаи:

(а) остановка тела произойдёт на интервале времени от 0 до \(t_1\);

(б) тело остановится на интервале от \(t_1\) до \(t_1 + t_2\);

(в) к моменту времени \(t_1 + t_2\) тело не остановится.

Если \(v_0 \leqslant \mu gt_1\), то \(s_1 = \dfrac{v_0^2}{2\mu g} \leqslant \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\), а \(s_2 = 0\). Это случай (а).

Пусть теперь \(v_0 > \mu gt_1\). При этом \(s_1 = v_0t_1 - \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\). Отсюда

\[v_0 = \dfrac{1}{t_1}\left(s_0 + \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\right).\] К моменту времени \(t_1\) скорость тела уменьшится до значения \[v_1 = v_0 - \mu gt_1 = \dfrac{1}{t_1}\left(s_1 - \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\right).\] Если \(v_1 \leqslant \mu gt_2\), то реализуется случай (б). Последнее неравенство можно представить в виде \[\dfrac{1}{t_1}\left(s_1 - \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\right) \leqslant \mu gt_2\quad\text{или}\quad s_1 \leqslant \dfrac{\mu gt_1^2}{2} + \mu gt_1t_2.\] Пройденный телом путь \[s_2 = \dfrac{v_1^2}{2\mu g} = \dfrac{1}{2\mu gt_1^2}\left(s_1 - \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\right)^2.\] Если \(v_1 > \mu gt_2\), то реализуется случай (в). При этом \[s_1 > \dfrac{\mu gt_1^2}{2} + \mu gt_1t_2,\] \[s_2 = v_1t_2 - \dfrac{\mu gt_2^2}{2} = \dfrac{t_2}{t_1}\left(s_1 - \dfrac{\mu gt_1^2}{2}\right) - \dfrac{\mu gt_2^2}{2}.\]

Ответ

\(|U_1| = 0{,}5\) В, \(|U_2| = 0{,}5\) В, \(|U_3| = 1\) В.

Решение

Обозначим напряжения на вольтметрах \(V_1\), \(V_2\), \(V_3\) (рис. 65) через \(U_1\), \(U_2\), \(U_3\) соответственно. Поскольку сопротивления вольтметров много больше сопротивлений всех резисторов, влиянием вольтметров на напряжения на резисторах в цепи можно пренебречь. Поэтому напряжение между точками 1 и 2 равно нулю; но вместе с тем оно равно \(U_1 - U_2\). Следовательно, \(U_1 = U_2\). Напряжение между точками 2 и 3 равно \(U/3\) или \(U_2 + U_3\).

Для токов, протекающих через точку 4, имеем \[I_1 + I_2 = I_3,\] откуда можно записать \(U_1 + U_2 = U_3 = 2U_2\), так как сопротивления вольтметров равны. Следовательно, \(3U_2 = U/3\). Таким образом, показания вольтметров соответственно равны: \[|U_1| = 0{,}5\text{ В},\quad |U_2| = 0{,}5\text{ В},\quad |U_3| = 1\text{ В}.\]

Ответ

Области, в которых наблюдается 0, 1, 2 и 3 изображения источника, показаны на рис. 71 (цифры указывают число наблюдаемых изображений).

Решение

Идущий от источника света \(S\) луч может (рис. 66):

— не отражаться от зеркал;

— отразиться только от зеркала \(З_1\);

— отразиться только от зеркала \(З_2\);

— отразиться от зеркал \(З_1\) и \(З_2\);

— отразиться от зеркал \(З_2\) и \(З_1\).

В двух последних случаях луч света после отражений изменяет своё направление на противоположное, и поэтому в дальнейшем он отражаться от зеркал не будет.

В системе зеркал образуются следующие изображения источника света \(S\): \(S_1\) при отражении в зеркале \(З_1\); \(S_2\) в зеркале \(З_2\); \(S_3\) сначала в зеркале \(З_1\), затем в зеркале \(З_2\) (либо сначала в зеркале \(З_2\), а затем в зеркале \(З_1\)).

Изображение \(S_1\) будет наблюдаться в области 1 (рис. 67), изображение \(S_2\) — в области 2 (рис. 68).

Изображение \(S_3\), полученное в результате отражения сначала от зеркала \(З_1\), затем от зеркала \(З_2\), будет наблюдаться в области \(3'\) (рис. 69); это же изображение, полученное в результате отражения сначала от зеркала \(З_2\), затем от зеркала \(З_1\), — в области \(3''\) (рис. 70).

Ответ к задаче представлен на рисунке 71. Цифры 0, 1, 2, 3 показывают количество изображений, наблюдаемых в каждой из областей.

Ответ

\(v = u\sqrt{\cos^2\alpha + \dfrac{1}{4}\sin^2\alpha} \approx 0{,}66\) м/с.

Решение

Рассмотрим проекции скорости флажка в точке \(C\) на направления вдоль верёвки и перпендикулярно ей (рис. 72):

\[v_{\text{п}} = u_{\text{п}} = u\cos\alpha,\] где \(u_{\text{п}}\) — проекция скорости лодки на направление \(AB\).

В системе отсчёта, движущейся со скоростью \(v_{\text{п}}\), нос лодки (точка \(B\)) и флажок в данный момент времени движутся вокруг общего центра (точки \(A\) на берегу) со скоростями \(u_L\) и \(v_L\) соответственно. Так как \(\dfrac{AB}{AC} = 2\), то \[v_L = \dfrac{1}{2}u_L = \dfrac{1}{2}u\sin\alpha.\] Тогда \[v = \sqrt{v_{\text{п}}^2 + v_L^2} = u\sqrt{\cos^2\alpha + \dfrac{1}{4}\sin^2\alpha} \approx 0{,}66\text{ м/с}.\]

Ответ

\(h \approx 20\) см.

Решение

Введём обозначения: \(x_{\text{н}}\) — начальное положение равновесия платформы, \(E(x)\) — потенциальная энергия растянутого жгута (рис. 73). Поскольку в положении равновесия платформы \(F(x_{\text{н}}) = Mg = 3\) Н, то из графика находим \(x_{\text{н}} = 3\) см. При падении с высоты \(h\) скорость груза в момент удара о платформу равна \(v = \sqrt{2gh}\). В процессе удара груза о платформу импульс системы «груз–платформа» сохраняется:

\(mv = (M + m)u\). Сразу после удара её скорость \[u = \dfrac{m}{M + m}\sqrt{2gh}.\qquad (1)\] Воспользуемся законом сохранения энергии: \[E(x_{\text{н}}) - (M + m)gx_{\text{н}} + \dfrac{M + m}{2}u^2 = E(x_{\text{к}}) - (M + m)gx_{\text{к}}.\qquad (2)\] Так как разность между \(E(x_{\text{к}})\) и \(E(x_{\text{н}})\) равна работе силы натяжения жгута, то её можно найти как площадь под графиком \(F(x)\), приведённым в условии задачи: \[E(x_{\text{к}}) - E(x_{\text{н}}) \approx 25\text{ Н}\cdot\text{см} = 0{,}25\text{ Дж}.\qquad (3)\] Подставив выражение (1) в уравнение (2), получим \[h = \dfrac{M + m}{m^2g}\bigl(E(x_{\text{к}}) - E(x_{\text{н}})\bigr) - \left(\dfrac{M + m}{m}\right)^2(x_{\text{к}} - x_{\text{н}});\] используя данные графика \(F(x)\) и (3), находим \[h \approx 20\text{ см}.\]

Ответ

1) \(t = \dfrac{\beta t_2 + t_1}{1 + \beta} \approx 76\) °С;  2) \(t = \dfrac{t_2 + \beta t_1}{\beta + 1} \approx 23{,}8\) °С, где \(\beta = \tau_{\text{с}}/\tau_{\text{м}} = 3{,}2\), \(t_2 = 100\) °С; время плавления \(\tau = \tau_{\text{с}} + \tau_{\text{м}} = 63\) мин, одинаково в обоих случаях.

Решение

Тепловой поток, т.е. количество теплоты, передаваемой в единицу времени по стержню с заданными значениями длины и поперечного сечения, зависит от материала стержня и разности температур на его концах. Когда медный и стальной стержни использовались поодиночке, по ним от кипящей воды поступало одинаковое количество теплоты \(Q\), необходимое для плавления всей массы льда: \[Q = K_{\text{м}}(t_2 - t_1)\tau_{\text{м}} = K_{\text{с}}(t_2 - t_1)\tau_{\text{с}},\] где \(K_{\text{м}}\) и \(K_{\text{с}}\) — коэффициенты пропорциональности для меди и стали соответственно, \(t_2 = 100\) °С — температура кипящей воды. Отсюда \[\dfrac{K_{\text{м}}}{K_{\text{с}}} = \dfrac{\tau_{\text{с}}}{\tau_{\text{м}}} = \beta = 3{,}2.\] При последовательном соединении стержней по ним протекают одинаковые тепловые потоки. Для случая 1, когда в кипящую воду погружен торец медного стержня, имеем \[K_{\text{м}}(t_2 - t) = K_{\text{с}}(t - t_1),\] где \(t\) — температура в месте соприкосновения стержней. Отсюда следует \[t = \dfrac{\beta t_2 + t_1}{1 + \beta} = 76\text{ °С}.\] Аналогично для случая 2, когда в кипящую воду погружен торец стального стержня, получим \[t = \dfrac{t_2 + \beta t_1}{\beta + 1} = 23{,}8\text{ °С}.\] Время \(\tau\), необходимое для плавления всей массы льда при последовательном соединении стержней, находим из соотношения \[Q = K_{\text{м}}(t_2 - t_1)\tau_{\text{м}} = K_{\text{м}}(t_2 - t)\tau,\qquad (1)\] откуда \[\tau = \tau_{\text{м}}\dfrac{t_2 - t_1}{t_2 - t} = \tau_{\text{с}} + \tau_{\text{м}} = 63\text{ мин}.\] Соотношение (1) записано для случая 1. Для определения \(\tau\) можно использовать и другие аналогичные соотношения.

Время \(\tau\) в случаях 1 и 2 одинаково.

Ответ

Минимальна в \(R_5\): \(I_{\min} = 2\) мА; максимальна в \(R_4\): \(I_{\max} = U/R_4 = 13{,}3\) мА.

Решение

Рассмотрим эквивалентную схему цепи (рис. 74).

Сопротивление \(R_{1,5}\) параллельно соединённых резисторов \(R_1\) и \(R_5\) равно \[R_{1,5} = \dfrac{R_1R_5}{R_1 + R_5} = \dfrac{5}{6}\text{ кОм}.\] Аналогично, \[R_{2,6} = \dfrac{3}{2}\text{ кОм и }R_{3,7} = \dfrac{21}{10}\text{ кОм}.\] Таким образом, сопротивление всей верхней цепочки из 6 резисторов \[R = R_{1,5} + R_{2,6} + R_{3,7} = 4\dfrac{13}{30}\text{ кОм}.\] Поскольку \(R > R_4\), то сила тока, протекающего через \(R_4\), будет максимальной: \(I_{\max} = \dfrac{U}{R_4} = 13{,}3\) мА. Сила тока, протекающего через верхнюю цепочку, \(I = \dfrac{U}{R} = 12\) мА.

Суммарная сила токов, протекающих через пары параллельных резисторов, одинакова для каждой пары; в паре же силы токов относятся друг к другу обратно пропорционально сопротивлениям. Отсюда следует, что сила тока, протекающего через \(R_5\), будет минимальной: \(I_{\min} = 2\) мА.