зад 1 Катушка у гвоздей
Катушка массой \(M\) с намотанной на неё лёгкой нитью стоит на горизонтальном столе и упирается в два гвоздя, вбитых вертикально в стол. Один конец нити закреплён на катушке, а к свободному концу нити, свешивающемуся в прорезь стола, привязан груз (рис.). При каких значениях массы \(m\) груза система будет в равновесии? Радиус барабанов катушки \(R\), радиус намотки нити \(r\). Коэффициент трения катушки о гвозди \(\mu_1\), коэффициент трения катушки о поверхность стола \(\mu_2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Нить тянет вертикально вниз и стремится провернуть катушку вокруг её оси; повороту мешают силы трения о стол и о гвозди. Запишите баланс моментов относительно оси катушки и учтите, что груз увеличивает и силу давления на стол.
▶ОтветСкрыть
\[\begin{cases} m < M\dfrac{\mu_2(R + \mu_1 r)}{r - \mu_2 R}, & \text{если } \mu_2 < \dfrac{r}{R};\\ m \text{ любое}, & \text{если } \mu_2 \geqslant \dfrac{r}{R} \end{cases}\]
зад 2 Потери при броске вверх
Тело, брошенное с поверхности Земли со скоростью \(v_0\) вертикально вверх, к моменту падения потеряло за счет сопротивления воздуха 1% своей кинетической энергии. Сколько процентов кинетической энергии потеряет к моменту падения это же тело, если его бросить вертикально вверх со скоростью \(v_0/2\)? Сила сопротивления пропорциональна \(k\)-й степени скорости тела, где \(k > 0\).
▶ПодсказкаСкрыть
Потери малы, поэтому работу силы сопротивления можно считать на невозмущённом движении. Посмотрите, как при уменьшении \(v_0\) вдвое меняются все скорости, пройденный путь и начальная энергия.
▶ОтветСкрыть
\(\varepsilon_2 = 2^{-k}\varepsilon_1\), где \(\varepsilon_1 = 0{,}01\)
зад 3 Торможение электропоезда
Игрушечный электропоезд массой \(m = 500\) г с двигателем постоянного тока питается через рельсы от источника тока с напряжением \(U_0 = 5\) В и движется с горизонтальной скоростью \(v_0 = 20\) см/с. В некоторый момент времени источник отключают, а рельсы замыкают резистором с сопротивлением \(R = 50\) Ом. Найдите тормозной путь \(L\) поезда, считая, что его колёса не проскальзывают. Сопротивлением обмоток электродвигателя, трением в подшипниках и другими потерями в двигателе пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Без сопротивления обмоток ЭДС индукции двигателя при скорости \(v_0\) равна \(U_0\), и она пропорциональна скорости. После отключения двигатель работает генератором: ток и тормозящая сила пропорциональны скорости, а значит, изменение скорости пропорционально пройденному пути.
▶ОтветСкрыть
\(L = \dfrac{mv_0^3R}{U_0^2} = 8\) мм
зад 4 Центр и две точки
Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли чертёж оптической схемы (рис.). От времени чернила выцвели, и на чертеже остались видны только три точки: оптический центр тонкой линзы \(O\), точка \(A\) передней фокальной плоскости и точка \(B\) задней фокальной плоскости. Из пояснений к чертежу следовало, что точки \(A\) и \(B\) лежат на луче, идущем через линзу. Восстановите построением по этим данным ход луча и положение линзы.
▶ПодсказкаСкрыть
Луч, прошедший через точку \(A\) передней фокальной плоскости, после линзы идёт параллельно побочной оси \(AO\); луч, пришедший в точку \(B\) задней фокальной плоскости, до линзы шёл параллельно побочной оси \(OB\).
зад 5 Цикл с водяным паром
В откачанный цилиндрический сосуд с поршнем впрыснули некоторое количество воды. Содержимое сосуда довели до равновесного состояния с температурой \(t_1 = 76\,^\circ\text{C}\), при этом объём сосуда составил \(V_1 = 50\) л. Далее с содержимым сосуда совершают квазистатический круговой цикл, состоящий из:
изотермического расширения до объёма \(V_2 = 3V_1\), в результате которого давление в сосуде уменьшается в два раза;
изобарического сжатия до объёма \(V_3 = \dfrac{3}{2}V_1\);
изотермического сжатия до объёма \(V_4 = V_1\);
изохорического нагревания до начальной температуры.
Принимая во внимание зависимость давления насыщенных паров воды от температуры (рис.), найдите:
а) максимальную и минимальную температуры в цикле;
б) массу воды, впрыснутой в сосуд;
в) работу, совершенную системой в цикле.
Примечание. При изотермическом расширении от объёма \(V_1\) до объёма \(V_2\) идеальный газ совершает работу \(A = \dfrac{m}{\mu}RT\ln\dfrac{V_2}{V_1}\), где \(m/\mu\) — количество молей газа, \(T\) — температура газа, \(R\) — универсальная газовая постоянная.
▶ПодсказкаСкрыть
Давление при изотермическом расширении в 3 раза упало только вдвое — значит, вначале в сосуде был насыщенный пар с водой, и вода испарилась полностью по ходу расширения. Давление насыщенного пара при \(t_1\) возьмите из графика и проследите, на каких участках цикла пар насыщен, а на каких ведёт себя как идеальный газ.
▶ОтветСкрыть
а) \(T_{\max} = T_1 = 349\) К; б) \(m = \dfrac{3\mu p_1V_1}{2RT_1} = 19\) г; в) \(A = \dfrac{1}{2}p_1V_1(3\ln 2 - 1) \approx 1\) кДж
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2001/02, федеральный окружной этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.