зад 1 Мощный автомобиль
Автомобиль массой \(m = 1\) т движется по горизонтальной дороге. Коэффициент трения покрышек об асфальт \(\mu = 0{,}1\). Трения в осях нет; все колеса автомобиля ведущие. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости автомобиля: \(F_\text{сопр} = kv^2\), где \(k = 0{,}2\) Н\(\cdot\)с\(^2\)/м\(^2\). Определите, как зависит максимальная скорость \(v_{\max}\), которую может развить автомобиль, от мощности \(N\) установленного на нём двигателя. Нарисуйте график этой зависимости для \(0 < N < 100\) кВт.
▶ПодсказкаСкрыть
Тяга двигателя ограничена двумя условиями: мощностью (\(F = N/v\)) и максимальной силой трения покоя колёс о дорогу \(\mu mg\). Сравните, какое из них срабатывает раньше.
▶ОтветСкрыть
\(v_{\max} = \begin{cases} \sqrt[3]{\dfrac{N}{k}}, & \text{если } N \leqslant N_0;\\ \sqrt{\dfrac{\mu mg}{k}}, & \text{если } N > N_0, \end{cases}\) где \(N_0 = \mu mg\sqrt{\dfrac{\mu mg}{k}} \approx 70\) кВт.
▶РешениеСкрыть
Есть предельная скорость \(v_0\), не зависящая от мощности. При этой скорости \(F_\text{сопр} = F_{\text{тр}\max}\), откуда \(v_0 = \sqrt{\mu mg/k} \approx 71\) м/с. С другой стороны, для поддержания постоянной скорости требуется мощность \(N = F_\text{сопр}v = kv^3\), откуда получаем \(v_{\max}(N) = (N/k)^{1/3}\). Скорость перестает расти начиная с мощности \(N_0 = \mu mg\sqrt{\mu mg/k} \approx 70\) кВт.
зад 2 Кот Леопольд
Кот Леопольд сидел на самом краю крыши сарая. Два озорных мышонка решили выстрелить в него из рогатки, но кот заметил их и решил отстреливаться…{} Камни из рогаток мышат и кота вылетели одновременно и столкнулись в середине отрезка \(AB\) (см. рисунок). Найдите высоту \(H\) сарая и отношение пути, пройденного камнем кота Леопольда, к пути, пройденному камнем мышат, если известно, что \(\varphi = 30^\circ\), скорость камня, вылетевшего из рогатки мышат, \(v_0 = 7\) м/с, а кот выстрелил горизонтально.
▶ПодсказкаСкрыть
В системе отсчёта, свободно падающей вместе с камнями, оба камня летят прямолинейно и равномерно, а точка их встречи смещена относительно середины \(AB\) на одно и то же расстояние \(gt^2/2\) для обоих камней. Это связывает направления и модули начальных скоростей с геометрией рисунка.
▶ОтветСкрыть
\(H \approx 2{,}8\) м; пройденные пути совпадают.
зад 3 Морозильник
Летом при температуре в помещении \(t_1 = 27\) °C промышленный морозильник при работе на полную мощность поддерживал температуру в камере \(t_2 = -23\) °C. Зимой температура в помещении упала до значения \(t_3 = 7\) °C. Из-за отказа реле агрегат вновь заработал на полную мощность. Какой при этом стала температура \(t_x\) в камере? Считайте агрегат идеальной машиной.
▶ПодсказкаСкрыть
Тепло, отбираемое идеальной холодильной машиной от камеры при заданной мощности, определяется холодильным коэффициентом Карно; в установившемся режиме оно равно теплу, просачивающемуся в камеру через стенки (пропорционально разности температур).
▶ОтветСкрыть
\(t_x = -41\) °C.
▶РешениеСкрыть
Искомую температуру найдем из квадратного уравнения \[\dfrac{(T_1 - T_2)^2}{(T_3 - T_x)^2} = \dfrac{T_2}{T_x},\] откуда \(T_{x1} = 232\) К, т. е. \(t_{x1} = -41\) °C, а второй корень \(T_{x2} = 338\) К не подходит — он отвечает работе агрегата в качестве теплового насоса.
зад 4 В полях
Частица массы \(m\) с зарядом \(q\) движется с постоянной по модулю скоростью в области пространства, где имеются три взаимно перпендикулярных поля: электрическое с напряжённостью \(E\), магнитное с индукцией \(B\) и поле тяжести \(g\) (рис.). В некоторый момент поля \(E\) и \(B\) выключают. Минимальная кинетическая энергия частицы в процессе движения составляет половину начальной. Найдите проекции скорости частицы на направления полей \(E\), \(B\) и \(g\) в момент выключения полей.
▶ПодсказкаСкрыть
В однородных полях модуль скорости постоянен только при равномерном прямолинейном движении: сила Лоренца уравновешивает сумму электрической силы и силы тяжести, это задаёт проекции скорости, перпендикулярные \(\vec B\). Третью проекцию найдите из условия на минимум кинетической энергии в последующем полёте в поле тяжести: минимум достигается, когда вертикальная проекция скорости обращается в нуль.
▶ОтветСкрыть
\(v_x = \dfrac{mg}{qB}\), \(v_y = \sqrt{\left(\dfrac{E}{B}\right)^2 - \left(\dfrac{mg}{qB}\right)^2}\), \(v_z = \dfrac{E}{B}\).
зад 5 Схема с диодом
В цепи (рис.) батарейки и диод идеальные. Ключи разомкнуты, конденсаторы разряжены. Сначала замыкают ключ \(K_1\). После завершения переходных процессов в цепи замыкают ключ \(K_2\). Найдите теплоты \(Q_1\) и \(Q_2\), выделившиеся на резисторах \(R_1\) и \(R_2\) с момента замыкания ключа \(K_1\). Известно, что \(\mathcal{E}_2 = 2\mathcal{E}_1 = 2\mathcal{E}\), \(C_1 = C_2 = C\). Заданы только величины \(C\) и \(\mathcal{E}\).
▶ПодсказкаСкрыть
На каждом этапе найдите заряды конденсаторов в начале и в конце и работу батареек; разность работы и изменения энергии конденсаторов уходит в тепло. Следите, через какой резистор идёт ток на каждом этапе и открыт ли диод.
▶ОтветСкрыть
\(Q_1 = C\mathcal{E}^2/2\), \(Q_2 = C\mathcal{E}^2/4\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2001/02, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.