зад 1 Бусинка
Гладкая проволока изогнута так, что если совместить ось \(Oy\) с одной её частью, то другая часть проволоки будет совпадать с графиком функции \(y = ax^3\) при \(x > 0\) (рис.). Проволока равномерно вращается вокруг вертикальной оси \(Oy\) с угловой скоростью \(\omega\). На неё надета бусинка \(M\), которая может скользить вдоль проволоки с пренебрежимо малым трением. Найдите координаты \(x_0\) и \(y_0\) равновесного положения бусинки и период \(T\) малых колебаний относительно этого положения.
▶ПодсказкаСкрыть
Во вращающейся системе на бусинку действуют сила тяжести и центробежная сила; в равновесии их равнодействующая перпендикулярна проволоке, т. е. наклон касательной \(y'(x)\) равен \(\omega^2 x/g\). Для малых колебаний запишите энергию в этой системе через \(x\), учитывая, что скорость вдоль проволоки содержит и \(\dot y = y'\dot x\).
▶ОтветСкрыть
\(x_0 = \dfrac{\omega^2}{3ag}\), \(y_0 = \dfrac{\omega^6}{27a^2g^3}\); \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\sqrt{1 + \dfrac{\omega^8}{9a^2g^4}}\).
зад 2 Бензиновая горелка
С помощью бензиновой горелки в помещении поддерживается температура \(t_1 = -3\) °C при температуре на улице \(t_2 = -23\) °C. Предполагается использовать бензин в движке с КПД \(\eta = 0{,}4\), а с помощью полученной механической энергии запустить тепловой насос, перекачивающий по идеальному холодильному циклу теплоту с улицы в комнату. Какую температуру \(t_3\) удастся в таком случае поддерживать в помещении при прежнем расходе бензина? Движок находится вне помещения.
▶ПодсказкаСкрыть
Теплопотери помещения пропорциональны разности температур внутри и снаружи. Идеальный тепловой насос на единицу затраченной работы отдаёт в комнату теплоту \(T_3/(T_3 - T_2)\); приравняйте её потерям при новой температуре.
▶ОтветСкрыть
\(t_3 = 26\) °C.
зад 3 Коллекторный двигатель
Коллекторный двигатель питается от источника постоянного тока с напряжением \(U = 12\) В. На холостом ходу сила тока через обмотки ротора \(I_1 = 4\) А. Когда ротор затормозили до полной остановки, сила тока увеличилась до \(I_2 = 24\) А. Какую наибольшую полезную механическую мощность можно получить с помощью этого электродвигателя, если магнитное поле в нём создается постоянными магнитами, а момент сил трения в подшипниках ротора не зависит от скорости его вращения и механической нагрузки?
▶ПодсказкаСкрыть
Заторможенный ротор даёт сопротивление обмоток \(U/I_2\). Момент силы Ампера пропорционален току, поэтому трение «съедает» постоянную часть тока \(I_1\); механическая мощность равна ЭДС индукции \(U - IR\), умноженной на ток, — остаётся найти максимум полезной части.
▶ОтветСкрыть
\(P_{\max} = \dfrac{UI_2}{4}\left(1 - \dfrac{I_1}{I_2}\right)^2 = 50\) Вт.
зад 4 Заряд на конденсаторе
С одной из пластин изначально незаряженного конденсатора мгновенно отделяется тонкий слой вещества, несущий заряд \(q\). Затем он движется поступательно как целое с постоянной скоростью \(v\) по направлению к противоположной пластине (рис.). Найдите зависимость тока в цепи от времени, пока слой движется в конденсаторе. Расстояние между пластинами конденсатора \(D\), площадь поперечного сечения пластин \(S\), индуктивность катушки \(L\).
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите напряжение между пластинами при заданном заряде \(Q\) на них и положении \(x = vt\) заряженного слоя (поле складывается из поля пластин и поля слоя). Сумма напряжений на конденсаторе и катушке равна нулю — получится уравнение колебаний LC-контура с линейно растущим «внешним» слагаемым.
▶ОтветСкрыть
\(I = \dfrac{qv}{D}(1 - \cos\omega t)\), где \(\omega = \sqrt{\dfrac{D}{\varepsilon_0 SL}}\).
зад 5 Линза и крест
Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли оптическую схему, на которой были линза, предмет и его изображение. От времени чернила высохли, и остался только предмет на масштабной сетке (рис.). Из текста следует, что предмет и изображение были одинаковых размеров и формы, а главная оптическая ось была параллельна некоторым линиям масштабной сетки. Восстановите оптическую схему (изображение, линзу, фокусы).
▶ПодсказкаСкрыть
Подумайте, при каком увеличении изображение совпадает с предметом по размерам, и как при этом отображаются отрезки, параллельные главной оптической оси: продольный отрезок сохраняет длину, только если его концы сопряжены друг с другом.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2001/02, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.