зад 1 Космический зонд
Космический зонд «Шумейкер» на некоторое время должен стать спутником астероида Эрос. По расчётам он будет обращаться вокруг астероида на высоте, составляющей \(n = 1/15\) радиуса Эроса, с периодом \(T = 4{,}5\) часа. Определите предполагаемую среднюю плотность астероида \(\rho\). Гравитационная постоянная \(G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\) Н\(\cdot\)м\(^2\)/кг\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сила тяготения сообщает зонду центростремительное ускорение на орбите радиуса \((1 + n)R\); массу астероида выразите через плотность и радиус — радиус при этом сократится.
▶ОтветСкрыть
\(\rho = \dfrac{3\pi(1 + n)^3}{GT^2} \approx 653\) кг/м\(^3\).
зад 2 Жук на палочке
У вертикальной стенки стоит палочка \(AB\) длиной \(L\) (рис.). На её нижнем конце \(B\) сидит жук. В тот момент, когда конец \(B\) начали двигать вправо по полу с постоянной скоростью \(v\), жук пополз по палочке с постоянной скоростью \(u\) относительно неё. На какую максимальную высоту над полом поднимется жук за время своего движения по палочке, если её верхний конец не отрывается от стенки?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите высоту жука как функцию времени: расстояние от \(B\) вдоль палочки равно \(ut\), а синус угла наклона определяется смещением \(vt\) нижнего конца. Максимум может достигаться внутри интервала движения или в момент, когда жук доползает до конца \(A\).
▶ОтветСкрыть
\(h_{\max} = \begin{cases} \dfrac{Lu}{2v}, & \text{если } u \leqslant v\sqrt{2};\\ L\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{u^2}}, & \text{если } u > v\sqrt{2}. \end{cases}\)
зад 3 Две проволоки
Две тонкие медные проволоки одинаковой длины соединили параллельно и подключили последовательно с лампочкой к источнику постоянного напряжения. Первая проволока нагрелась на \(16\) °C выше комнатной температуры, а вторая — в \(\alpha = 2\) раза меньше. На сколько градусов выше комнатной температуры нагреются проволоки, если их параллельное подключение заменить на последовательное? Сопротивление каждой из проволок много меньше сопротивления лампочки и источника, зависимость сопротивления проволок от температуры не учитывать.
▶ПодсказкаСкрыть
Ток в цепи задаёт лампочка с источником, поэтому он почти не меняется при переключении проволок. Установившийся перегрев пропорционален мощности, отнесённой к площади поверхности проволоки, а сопротивление и поверхность выражаются через диаметр.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta t_1 = \left(\dfrac{\alpha^2 + 1}{\alpha^2}\right)^2 \Delta t = 25\) °C, \(\Delta t_2 = \dfrac{(\alpha^2 + 1)^2}{\alpha}\Delta t = 200\) °C.
зад 4 Нелинейный элемент
Электрическая цепь (рис. слева) состоит из резистора \(R\) и нелинейного элемента \(X\), включённых последовательно. Вольт-амперные характеристики (ВАХ) элементов \(R\) и \(X\) известны (рис. справа). На участке \(0 \leqslant U \leqslant U_0\) ВАХ обоих элементов совпадают. На вход цепи подается некоторое напряжение \(V\).
Определите, какая доля \(\eta_1\) теплоты, выделяющейся в цепи, приходится на нелинейный элемент в случаях \(V \leqslant 2U_0\) и \(V = 4U_0\).
Включим последовательно в цепь ещё один элемент \(X\). Изобразите ВАХ двух последовательно включённых нелинейных элементов. Определите, какая доля \(\eta_2\) теплоты, выделяющейся в цепи, приходится на оба нелинейных элемента в случае \(V = 4U_0\).
А теперь подключим второй элемент \(X\) параллельно первому. Изобразите ВАХ двух параллельно включённых нелинейных элементов. Определите, какая доля \(\eta_3\) теплоты, выделяющейся в цепи, приходится на оба нелинейных элемента в случае \(V = 4U_0\).
▶ПодсказкаСкрыть
При последовательном соединении ток общий, напряжения складываются; при параллельном — наоборот. Найдите рабочий ток из условия, что сумма напряжений на элементах равна \(V\), и сравните мощности \(UI\) на каждом элементе.
▶ОтветСкрыть
1) При \(V \leqslant 2U_0\) \(\eta_1 = 0{,}5\); при \(V = 4U_0\) \(\eta_1 = 0{,}75\).
2) ВАХ получается сложением напряжений для каждого фиксированного значения силы тока (см. рис.); \(\eta_2 = 0{,}75\).
3) ВАХ получается сложением сил токов для каждого фиксированного значения напряжения (см. рис.); \(\eta_3 = 0{,}5\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2001/02, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.