зад 1 Шайба на смазанной доске
Маленькая шайба массы \(m_1\) лежит на краю длинной доски массой \(m_2\), покрытой смазкой (рис.). Трение между шайбой и доской вязкое (сила трения, действующая на шайбу, \(\vec F = -\alpha\vec v_{\text{отн}}\), где \(\vec v_{\text{отн}}\) — скорость шайбы относительно доски). Система находится на гладкой горизонтальной поверхности. Шайбе сообщают скорость \(v_0\), направленную вдоль доски. С какими скоростями будут двигаться шайба и доска через достаточно большой промежуток времени? На каком расстоянии \(L\) от края доски окажется шайба?
▶ПодсказкаСкрыть
Импульс системы сохраняется, поэтому конечная общая скорость находится сразу. Для смещения запишите второй закон Ньютона для шайбы в виде \(m\,\Delta v = -\alpha v_{\text{отн}}\Delta t = -\alpha\,\Delta x_{\text{отн}}\) и просуммируйте.
▶ОтветСкрыть
\(v = \dfrac{m_1v_0}{m_1 + m_2}\); \(L = \dfrac{m_1m_2v_0}{\alpha(m_1 + m_2)}\)
зад 2 Заряды в вершинах тетраэдра
В трёх вершинах правильного тетраэдра с длиной ребра \(a\) удерживают три маленьких шарика, каждый из которых имеет массу \(M\) и заряд \(Q\). В четвёртой вершине удерживают ещё один маленький шарик массой \(m\) и зарядом \(q\). Известно, что \(m \ll M\), а \(Q = 2q\). Все шарики одновременно освобождают.
Найдите абсолютные величины скоростей шариков после их разлёта (удаления друг от друга на бесконечно большие расстояния).
Под какими углами к грани тетраэдра, содержавшей три тяжёлых шарика, они будут двигаться после разлёта?
▶ПодсказкаСкрыть
Лёгкий шарик улетает почти мгновенно, пока тяжёлые ещё на месте, и забирает энергию своего взаимодействия с ними; тяжёлые затем разлетаются за счёт взаимной энергии. Направление их движения определите по импульсу, полученному от лёгкого шарика за время его вылета, сравнив с их конечным импульсом.
▶ОтветСкрыть
\(v = \sqrt{\dfrac{6kQq}{ma}}\); \(V = \sqrt{\dfrac{2kQ^2}{Ma}}\); \(\alpha = \sqrt{\dfrac{m}{6M}}\)
зад 3 Турбокомпрессор и интеркулер
Для повышения мощности дизельных двигателей используются устройства, называемые турбокомпрессор и интеркулер. Турбокомпрессор позволяет увеличить начальное давление воздуха, подаваемого в цилиндры двигателя, а интеркулер — охлаждать сжатый воздух (рис.). Какого (во сколько раз) максимального увеличения мощности двигателя можно достичь при помощи
одного турбокомпрессора?
турбокомпрессора и интеркулера вместе?
Считайте, что турбокомпрессор сжимает воздух адиабатически, интеркулер охлаждает его изобарически, используя для этого забортный воздух, КПД двигателя не зависит от начального давления воздуха в цилиндрах, а мощность пропорциональна максимально возможному количеству сжигаемого топлива за цикл. В решении используйте следующие обозначения: \(p_1\) — давление окружающего воздуха, \(T_1\) — его температура, \(V_1\) — объём цилиндров, а давление на выходе компрессора \(p_2 = Kp_1\), причём \(K = 2\).
Примечание. Уравнение адиабаты: \(pV^\gamma = \text{const}\). Для воздуха \(\gamma = 1{,}40\).
▶ПодсказкаСкрыть
Количество сжигаемого топлива пропорционально массе (числу молей) воздуха, помещающегося в цилиндр объёма \(V_1\). Сравните плотность воздуха после адиабатического сжатия и после сжатия с последующим охлаждением до \(T_1\).
▶ОтветСкрыть
1) \(P_{\max}/P_0 = K^{1/\gamma} = 1{,}64\); 2) \(P_{\max}/P_0 = K = 2\)
зад 4 Ареометр в жидком гелии
В высоком цилиндрическом сосуде радиуса \(R = 4\) см с жидким гелием при температуре, близкой к абсолютному нулю (так что гелий является сверхтекучим и трением можно пренебречь), вертикально плавает ареометр — пластмассовый цилиндр радиуса \(r = 3{,}9\) см и массой \(m = 500\) г. В результате малых колебаний ареометра уровень гелия в сосуде тоже колеблется, причем амплитуда этих колебаний \(x = 1\) мм. Найдите максимальную скорость \(v\) уровня поверхности гелия при этих колебаниях. Считайте, что капиллярными эффектами можно пренебречь, а плотность гелия \(\rho = 122\) кг/м\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Свяжите смещение ареометра со смещением уровня через сохранение объёма жидкости в узком зазоре. Возвращающая сила — изменение силы Архимеда; масса гелия мала, поэтому период определяется массой ареометра, а \(v_{\max} = \omega x\).
▶ОтветСкрыть
\(v = rx\sqrt{\dfrac{\pi\rho g}{m}} = 3{,}5\) мм/с
зад 5 Цикл с переменным конденсатором
Из конденсатора переменной ёмкости \(C\) и конденсаторов постоянных ёмкостей \(C_1\) и \(C_2\) собрана цепь (рис. сверху). Производятся следующие действия:
Замыкают ключ \(K_1\) и изменяют ёмкость конденсатора \(C\).
Размыкают ключ \(K_1\), замыкают ключ \(K_2\) и изменяют ёмкость конденсатора \(C\).
Размыкают ключ \(K_2\) и изменяют ёмкость конденсатора \(C\).
На графике (рис. снизу) изображена зависимость заряда \(q\) на конденсаторе \(C\) от разности потенциалов \(U\) на нём. Начальные заряд и разность потенциалов на этом конденсаторе \(q_0\) и \(U_0\), промежуточные \(q_1\) и \(U_1\), \(q_2 = q_0\) и \(U_2\) известны. Найдите ёмкости конденсаторов \(C_1\) и \(C_2\), начальные и конечные разности потенциалов на них, а также изменение энергии системы конденсаторов \(C_1\) и \(C_2\) в описанном процессе.
▶ПодсказкаСкрыть
При подключённом \(C_1\) сумма зарядов \(C\) и \(C_1\) постоянна, а напряжения равны, поэтому участок графика — прямая с наклоном \(-C_1\); аналогично для \(C_2\). Изменение энергии системы \(C_1\) и \(C_2\) связано с работой над конденсатором \(C\), то есть с площадью цикла на графике.
▶ОтветСкрыть
\(C_1 = \dfrac{q_1 - q_0}{U_0 - U_1}\); \(C_2 = \dfrac{q_1 - q_0}{U_2 - U_1}\); \(\Delta W = \dfrac{1}{2}(q_1 - q_0)(U_2 - U_0)\)
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2002/03, федеральный окружной этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.