зад 1 Доска на вращающихся барабанах
На быстро вращающиеся навстречу друг другу барабаны кладется тонкая достаточно длинная доска, как показано на рисунке. Масса доски \(m\), длина доски \(2L\). Коэффициент трения скольжения между доской и барабанами \(\mu\), расстояние между осями барабанов \(2b\).
Найдите закон движения центра доски (координаты от времени), если угол наклона к горизонту прямой, соединяющей оси барабанов, равен \(\alpha\), а в начальный момент времени центр доски расположен симметрично относительно барабанов и скорость доски равна нулю. Считайте, что в любой момент времени доска не теряет контакта с обоими барабанами. При каком соотношении между \(\alpha\) и \(\mu\) найденный закон движения реализуем?
▶ПодсказкаСкрыть
Силы реакции барабанов находятся из равенства моментов относительно центра доски и зависят от её смещения линейно; силы трения скольжения направлены навстречу друг другу. Получается уравнение гармонических колебаний около смещённого положения равновесия; условие реализуемости — доска не должна уйти за пределы, где одна из реакций обращается в нуль.
▶ОтветСкрыть
\(x = \dfrac{b\tg\alpha}{\mu}(1 - \cos\omega t)\) при \(\mu > 2\tg\alpha\); здесь \(\omega = \sqrt{\dfrac{\mu g\cos\alpha}{b}}\)
зад 2 Шар в ускоренном коническом сосуде
Стеклянный шар объёмом \(V\) и плотностью \(\rho_0\) находится в сосуде с водой, плотность которой \(\rho\) (рис.). Воды достаточно много, так что шар полностью погружён в неё. Острый угол между стенкой конического сосуда и горизонтом составляет \(\alpha\). Внутренняя поверхность сосуда гладкая. Сосуд движется с постоянным ускорением \(a\), направленным под острым углом \(\gamma\) к вертикали. Найдите силы давления шара на дно и стенку сосуда. При каком соотношении между параметрами задачи \(V\), \(\rho_0\), \(\rho\), \(\alpha\), \(\gamma\) шар не будет отрываться от дна при любых значениях ускорения \(a > 0\)?
▶ПодсказкаСкрыть
В системе сосуда действует эффективное ускорение \(\vec g - \vec a\), и сила Архимеда направлена против него; на шар действует «эффективный вес» \((\rho_0 - \rho)V(\vec g - \vec a)\). Разложите его по нормалям к дну и к стенке.
▶ОтветСкрыть
\(N_1 = (\rho_0 - \rho)V(g + a\cos\gamma - a\sin\gamma\ctg\alpha)\), \(N_2 = \dfrac{(\rho_0 - \rho)Va\sin\gamma}{\sin\alpha}\); при \(\gamma < \alpha\)
зад 3 Поршень между водой и воздухом
Герметичный сосуд состоит из двух одинаковых шаров объёмом \(V = 5\) м\(^3\) каждый и тонкой вертикальной трубки (рис.). Поршень в трубке делит сосуд на две части: в нижней — воздух при постоянной температуре, а в верхней — вода и пар, причём площадь свободной поверхности воды в верхнем шаре \(S = 3\) см\(^2\). При каких температурах \(T_0\) воды и пара возможна такая ситуация, что при малых изменениях \(\Delta T_0\) этой температуры поршень смещается в одну и ту же сторону от положения равновесия независимо от знака \(\Delta T_0\)?
Примечание. Если при некоторой температуре \(T\) давление насыщенного пара \(p\), то их малые изменения связаны уравнением Клаузиуса \(\Delta p = \dfrac{\lambda\mu p\Delta T}{RT^2}\), где молярная масса \(\mu = 18\) г/моль, удельная теплота парообразования \(\lambda = 2{,}3\cdot 10^6\) Дж/кг, универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)К).
▶ПодсказкаСкрыть
Давление над поршнем складывается из давления насыщенного пара и гидростатического давления воды, которое зависит от массы сконденсированной воды. Смещение не зависит от знака \(\Delta T_0\), если первая производная суммарного давления по температуре обращается в нуль — изменение давления пара компенсируется изменением столба воды при испарении.
▶ОтветСкрыть
\(T_0 = \dfrac{\lambda\mu gV}{R(\lambda S + gV)} = 330\) К
зад 4 Изоэрга экспериментатора Глюка
Экспериментатор Глюк обратил внимание на то, что почти у всех известных ему изопроцессов (изохорического, изобарического, изотермического и адиабатического) график зависимости давления от объёма имеет соответствующее название: изохора, изобара, изотерма, адиабата. У процесса же, в ходе которого не изменяется внутренняя энергия, такого названия нет! Глюк решил восполнить этот пробел и назвал отмеченную зависимость «изоэргой». Далее он решил сравнить ход «изоэрги» с изотермой и адиабатой для реального одноатомного газа при условиях, близких к нормальным. На рисунке приведены результаты его исследований. Выясните, какому из трех процессов 1–2, 1–3 или 1–4 соответствует «изоэрга», какому — изотерма, а какому — адиабата. Ответ обоснуйте.
▶ПодсказкаСкрыть
У реального газа внутренняя энергия включает отрицательную энергию притяжения молекул, которая растёт при расширении. Сравните, как меняется температура при расширении газа с постоянной внутренней энергией и при адиабатическом расширении, где газ ещё и совершает работу.
зад 5 Две катушки и резистор
Две катушки индуктивности включены в цепь (рис.). В начальном состоянии ключ замкнут, ток через него и катушку \(L_1\) равен \(I_0\), ток через катушку \(L_2\) отсутствует. Какое количество теплоты выделится на резисторе \(R\) при размыкании ключа? Сопротивлением катушек в данном процессе можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Катушки соединены параллельно без сопротивления, поэтому \(L_1I_1 + L_2I_2\) (суммарный «магнитный поток» контура) сохраняется. В конце ток через резистор прекращается, и в контуре из двух катушек течёт общий ток — найдите его и сравните энергии.
▶ОтветСкрыть
\(Q = \dfrac{L_1L_2I_0^2}{2(L_1 + L_2)}\)
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2002/03, федеральный окружной этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.