зад 1 «Плоская» Земля
В древние времена люди считали Землю плоской. Вообразим, что Земля действительно не является шаром радиуса \(R = 6370\) км, а представляет собой безграничный плоский слой толщины \(H\). Предполагая, что плотность Земли постоянна и одинакова в обеих моделях, определите, при какой толщине «плоской» Земли ускорение свободного падения на её поверхности оказалось бы таким же, как и на поверхности реальной Земли.
Примечание. Можно использовать аналогию между электростатическим и гравитационным полями.
▶ПодсказкаСкрыть
Поле безграничного однородного слоя находится так же, как поле равномерно заряженной плоскости (по теореме Гаусса): снаружи оно однородно и определяется поверхностной «плотностью массы» \(\rho H\). Сравните его с полем на поверхности однородного шара.
▶ОтветСкрыть
\(H = 2R/3 \approx 4250\) км.
зад 2 Ковёр-самокат
Горка представляет собой плавный переход между двумя плоскими поверхностями, отстоящими друг от друга по высоте на \(h\) (рис.). На горке и плоских поверхностях достаточно часто расположены небольшие шероховатые массивные валики (расстояние между осями соседних валиков равно \(l\)), по которым катится длинный тяжёлый ковер. Определите установившуюся скорость \(v\) ковра.
Масса \(m\) валика сосредоточена на его ободе. Трением в осях валиков можно пренебречь. Первоначально валики были неподвижны. Погонная плотность ковра равна \(\rho\). Гибкость ковра позволяет ему повторить профиль горки, но, вместе с тем, не даёт переднему краю провалиться между валиками.
▶ПодсказкаСкрыть
В установившемся режиме убыль потенциальной энергии ковра (участок длиной \(l\) за время \(l/v\) «переносится» с верхнего уровня на нижний) целиком идёт на раскрутку очередного неподвижного валика; учтите, что при раскрутке шероховатым ковром столько же энергии, сколько получает валик, теряется на трение.
▶ОтветСкрыть
\(v = \sqrt{\rho g h l/m}\).
зад 3 «Водородная бомба»
Водород находится в стальном сферическом контейнере высокого давления («бомбе»). Плотность стали \(\rho = 7{,}8\cdot 10^3\) кг/м\(^3\), предел прочности \(\sigma = 5\cdot 10^8\) Н/м\(^2\). Водород из контейнера заполняет лёгкую растяжимую оболочку воздушного шара при неизменной температуре \(T = 300\) К. Может ли этот воздушный шар поднять сферический контейнер, в котором водород находился ранее?
Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К), молярную массу воздуха примите равной \(29\cdot 10^{-3}\) кг/моль.
При расчёте весом водорода и оболочки шара можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Минимальную толщину стенки найдите из условия прочности: давление на половину сферы уравновешивается напряжением в кольцевом сечении стенки. Произведение \(pV\) водорода при изотермическом расширении сохраняется, поэтому объём шара при атмосферном давлении, а значит и сила Архимеда, выражается через \(pV\) контейнера.
▶ОтветСкрыть
Нет, не может.
зад 4 Электрический ток вместо лопаты
В 1899 году выдающийся американский физик Роберт Вуд оригинально решил сложную техническую проблему, за что институт, в котором он работал, сразу получил премию в 200000 долларов. Придуманное им «электротаяние» широко используют и сейчас.
Однажды во время сильного мороза в проложенной под землёй к дому сенатора железной трубе длиной \(l = 100\) метров на участке длиной \(l_1 \approx 5\) метров замёрзла вода, и водопровод перестал работать. Вуд предложил подсоединить к концам трубы провода от вторичной обмотки понижающего трансформатора, и через \(t = 10\) минут после подключения из крана полилась вода. Какое примерно напряжение было приложено к концам трубы и какая сила тока была в ней? Как изменилось бы время отогрева, если бы длина замёрзшего участка была в два раза больше?
Диаметры трубы: внутренний \(D_1 = 20\) мм, наружный \(D_2 = 26\) мм. Для железа: плотность \(d_{\text{ж}} = 7{,}8\) г/см\(^3\), удельная теплоёмкость \(c_{\text{ж}} = 0{,}45\) кДж/(кг\(\cdot\)К), удельное сопротивление \(\rho = 0{,}1\) Ом\(\cdot\)мм\(^2\)/м. Для льда: плотность \(d_{\text{л}} = 0{,}9\) г/см\(^3\), удельная теплоёмкость \(c_{\text{л}} = 2{,}1\) кДж/(кг\(\cdot\)К), удельная теплота плавления \(\lambda = 340\) кДж/кг.
Примечание. Для упрощения решения можно считать, что снаружи трубы также находится замёрзшая вода.
▶ПодсказкаСкрыть
Поскольку снаружи трубы тоже лёд, вода начнёт течь, когда расплавится тонкий слой льда у внутренней стенки; трубу и окружающий лёд при этом можно считать находящимися при \(0\,^\circ\)C. Для последнего вопроса сравните, как зависят от длины замёрзшего участка выделяемая в нём мощность и нужная для оттаивания энергия.
▶ОтветСкрыть
\(U = lD_1\sqrt{\dfrac{2{,}3\lambda d_{\text{л}}\rho_{\text{ж}}}{(D_2^2 - D_1^2)t}} \approx 41\) В, \(I = \dfrac{U}{R} \approx 890\) А; время отогрева не изменилось бы.
зад 5 Мигалка
В цепи (рис.) переключатель \(K\) находится в среднем (разомкнутом) положении, а конденсаторы \(C_1\) и \(C_2\) одинаковой ёмкости \(C\) не заряжены. В некоторый момент переключатель замыкают в одно из положений. После установления равновесия в цепи его перебрасывают в противоположное положение. Найдите отношение \(Q_{L_1}/Q_{L_2}\) теплот, выделившихся на лампах накаливания \(L_1\) и \(L_2\) после многократного повторения переключений. Источники тока с ЭДС \(\mathcal{E}\), \(2\mathcal{E}\) и \(3\mathcal{E}\) считать идеальными.
▶ПодсказкаСкрыть
После многих переключений процесс становится периодическим: заряды конденсаторов в двух положениях ключа повторяются. Найдите эти заряды, а затем по заряду, протёкшему через каждую лампу за цикл, и работе источников найдите теплоту в каждой лампе.
▶ОтветСкрыть
\(Q_{L_1}/Q_{L_2} = 8/7\) или \(2/3\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2002/03, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.