зад 1 Шарнирная конструкция
Конструкция (рис.) состоит из трёх одинаковых маленьких шариков массой \(m\) каждый, шарнирно соединённых лёгкими спицами длины \(l\). В положении равновесия конструкция удерживается вертикальной пружиной жёсткости \(k\) и имеет форму квадрата.
Найдите длину \(l_0\) недеформированной пружины.
Пусть нижний шарик смещён по вертикали (вверх или вниз) на малое (по сравнению с \(l\)) расстояние \(x\). Определите изменение \(\Delta E_{\text{пот}}\) потенциальной энергии системы.
Пусть нижнему шарику сообщена вертикально направленная скорость \(v\). Определите кинетическую энергию \(\Delta E_{\text{кин}}\) системы.
Определите период \(T\) малых вертикальных колебаний нижнего шарика.
▶ПодсказкаСкрыть
При смещении нижнего шарика на \(x\) боковые шарики смещаются по вертикали на \(x/2\), а по горизонтали — лишь во втором порядке малости; поэтому линейные по \(x\) вклады в потенциальную энергию сокращаются (это и есть условие равновесия). Кинетическую энергию найдите через скорости всех трёх шариков, выраженные через \(v\).
▶ОтветСкрыть
1) \(l_0 = \sqrt{2}\,l - \dfrac{2mg}{k}\); 2) \(\Delta E_{\text{пот}} = \dfrac{kx^2}{2}\); 3) \(\Delta E_{\text{кин}} = mv^2\); 4) \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2m}{k}}\).
зад 2 Теплоёмкость газа
С молем идеального газа произвели замкнутый цикл (рис.), где 3–1 — адиабата. Определите максимальное давление газа за цикл \(p_{\max}\), его теплоёмкость \(C_V\) при постоянном объёме и вычислите (с точностью большей, чем даёт прямое измерение по графику) «тангенс» угла (К/м\(^3\)) между изотермой и адиабатой в точке 1 на \((T, V)\) плоскости.
▶ПодсказкаСкрыть
Давление максимально там, где максимально \(T/V\), то есть в точке 1. Показатель адиабаты найдите из уравнения адиабаты \(TV^{\gamma-1} = \text{const}\) по точкам 1 и 3. Наклон адиабаты в координатах \((T, V)\) выразите из первого начала: \(C_V\,dT = -p\,dV\).
▶ОтветСкрыть
\(p_{\max} = 2{,}9\) кПа; \(C_V = (20{,}5 \pm 0{,}2)\) Дж/(моль\(\cdot\)К); \(\mathrm{tg}\,\varphi = p_{\max}/C_V = (141{,}8 \pm 1{,}4)\) К/м\(^3\).
зад 3 Глюк продолжает исследования
Изучая некоторое вещество, экспериментатор Глюк обнаружил, что для небольшого изменения объёма \(\Delta V\) требуется увеличить давление на малую величину \(\Delta p_1\), если это делать изотермически, и на малую величину \(\Delta p_2\), если сжатие производить адиабатически. Кроме того, Глюк измерил удельные теплоёмкости \(C_V\) при постоянном объёме и \(C_p\) при постоянном давлении в той же точке. К сожалению, результат последнего измерения (\(C_p\)) был утрачен. Помогите Глюку по результатам первых трёх измерений восстановить значение \(C_p\). Рассмотрите два случая:
исследуемое вещество было идеальным газом;
исследовалось вещество с неизвестным уравнением состояния.
▶ПодсказкаСкрыть
Для идеального газа сравните наклоны изотермы и адиабаты в координатах \((p, V)\). В общем случае рассмотрите малый цикл из изотермы, адиабаты и изобары или изохоры: адиабатическое сжатие можно представить как изотермическое плюс нагрев при постоянном объёме (или давлении), и сравнить, сколько тепла нужно в каждом варианте.
▶ОтветСкрыть
\(C_p = C_V\dfrac{\Delta p_2}{\Delta p_1}\) (в обоих случаях).
зад 4 Заряженная частица в магнитном поле
В неоднородном магнитном поле с индукцией \(B = \alpha x\) (\(x \geqslant 0\)) (рис.) стартует частица массой \(m\) и зарядом \(q\) с начальной скоростью \(v\), направленной вдоль оси \(Ox\). Определите максимальное смещение \(x_{\max}\) частицы вдоль оси \(x\).
▶ПодсказкаСкрыть
Модуль скорости в магнитном поле не меняется. Запишите второй закон Ньютона для проекции импульса на ось \(y\): \(m\,dv_y = qB\,dx\) (с точностью до знака) и проинтегрируйте по \(x\); в точке максимального смещения вся скорость направлена вдоль \(y\).
▶ОтветСкрыть
\(x_{\max} = \sqrt{\dfrac{2mv}{\alpha|q|}}\).
зад 5 Нелинейный элемент
В цепи (рис. слева) электродвижущая сила источника \(\mathcal{E} = 12\) В, сопротивление резистора \(R = 4\) Ом, индуктивность катушки \(L = 0{,}5\) Гн, а нелинейный элемент Э имеет известную вольт-амперную характеристику \(I(U)\) (рис. справа). В начальный момент ключ \(K\) разомкнут, ток в катушке не течёт.
Какое количество теплоты выделится на нелинейном элементе после замыкания ключа?
Построить качественный график зависимости тока в катушке от времени. Укажите характерные точки на графике. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока ток через нелинейный элемент течёт, напряжение на нём (и на катушке) равно \(U_0\), так что ток катушки растёт линейно, а через резистор идёт ток \((\mathcal{E}-U_0)/R\). Когда ток катушки достигнет этого значения, элемент «закроется», и дальше цепь — обычная \(RL\)-цепь.
▶ОтветСкрыть
1) \(Q = \dfrac{L}{2}\left(\dfrac{\mathcal{E} - U_0}{R}\right)^2 = 1\) Дж; 2) см. рисунок.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2002/03, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.