зад 1 Удаляющийся камень
Мальчик бросил камень под некоторым углом \(\alpha\) к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, при каких значениях угла бросания \(\alpha\) камень всё время (до падения на землю) будет удаляться от мальчика.
▶ПодсказкаСкрыть
Камень удаляется, пока расстояние до мальчика растёт, то есть пока скорость камня составляет острый угол с его радиус-вектором. Запишите скалярное произведение \(\vec r\cdot\vec v\) как функцию времени и потребуйте, чтобы оно не обращалось в нуль за время полёта.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha < 70{,}5^\circ\).
зад 2 Поплавок в центрифуге
На горизонтальной платформе стоит сосуд с водой. В сосуде закреплён тонкий стержень \(AB\), наклонённый к горизонту под углом \(\alpha\) (рис.). Шар радиусом \(R\) может скользить без трения вдоль стержня, проходящего через его центр. Плотность шара \(\rho_0\), плотность воды \(\rho\) (\(\rho_0 < \rho\)). При вращении системы с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси \(OO'\), проходящей через нижний конец \(A\) стержня, центр шара устанавливается на расстоянии \(l\) от этого конца.
С какой силой шар действует на стержень?
Найдите угловую скорость вращения платформы.
При какой минимальной угловой скорости вращения шар «утонет» и окажется на дне сосуда?
Воды достаточно, так что шар всегда полностью погружён в воду.
▶ПодсказкаСкрыть
Во вращающейся воде давление распределено так, что на погружённое тело действует «выталкивающая» сила, равная по величине сумме силы тяжести и центростремительной силы для вытесненной воды. Поэтому шар ведёт себя как тело с «отрицательной» массой \((\rho_0-\rho)V\) в поле тяжести и центробежной силы; спроецируйте силы на направление стержня и перпендикуляр к нему.
▶ОтветСкрыть
1) \(F = \dfrac{(4/3)(\rho - \rho_0)\pi R^3 g}{\cos\alpha}\); 2) \(\omega = \sqrt{\dfrac{g\,\mathrm{tg}\,\alpha}{l\cos\alpha}}\); 3) \(\omega_{\min} = \sqrt{\dfrac{g}{R}}\,\mathrm{tg}\,\alpha\).
зад 3 Байкальские морозы
На поверхности озера Байкал зимой намерзает толстый слой льда. Предположим, что где-то в декабре толщина льда составляет \(x = 80\) см. Температура воздуха \(t = -40\,^\circ\)C. С какой скоростью \(v\) (в мм/час) увеличивается в этот период толщина слоя льда?
Для льда: плотность \(\rho_{\text{л}} = 0{,}92\) г/см\(^3\), удельная теплота плавления \(\lambda = 3{,}3\cdot 10^5\) Дж/кг, коэффициент теплопроводности \(k = 2{,}2\) Вт/(м\(\cdot{}^\circ\)C).
Примечание. Количество теплоты, проходящее в единицу времени через слой вещества площадью \(S\) и толщиной \(h\) при разнице температур \(\Delta t\) между поверхностями, определяется соотношением \(q = kS\Delta t/h\). Теплоёмкость воды и льда не учитывать.
▶ПодсказкаСкрыть
Нижняя поверхность льда имеет температуру \(0\,^\circ\)C. Тепло, которое уходит вверх через слой льда, выделяется при замерзании новой порции воды снизу; приравняйте поток тепла к теплоте кристаллизации слоя, намерзающего в единицу времени.
▶ОтветСкрыть
\(v = k\dfrac{t_0 - t}{x}\dfrac{1}{\rho_{\text{л}}\lambda} \approx 1{,}3\) мм/ч (здесь \(t_0 = 0\,^\circ\)C — температура воды под слоем льда).
зад 4 Нагревание и остывание проволоки
Цилиндрический проводник площадью поперечного сечения \(S = 0{,}1\) см\(^2\) подключают к источнику постоянного тока. Температура проводника начинает увеличиваться. Как видно из графика зависимости температуры \(t\) от времени \(\tau\) (рис.), через время \(\tau_1 = 10\) мин температура проводника становится равной \(t_1 = 90\,^\circ\)C.
За какое время \(\tau_0\) температура проводника достигла бы значения \(t_1\), если бы проводник был окружён теплонепроницаемой оболочкой?
Найдите силу тока \(I\) в проводнике.
Предположим, что по истечении времени \(\tau_2 = 5\) мин проводник был отключён от источника тока и начал остывать. Определите, за какое приблизительно время \(\Delta\tau\) температура проводника изменится от \(70\,^\circ\)C до \(65\,^\circ\)C.
Для материала проводника: удельная теплоёмкость \(c = 390\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), плотность \(\rho = 8{,}9\cdot 10^3\) кг/м\(^3\), удельное сопротивление \(\rho_{\text{м}} = 1{,}75\cdot 10^{-8}\) Ом\(\cdot\)м и практически не зависит от температуры.
▶ПодсказкаСкрыть
В начальный момент проводник имеет температуру среды и тепло в неё не уходит, поэтому наклон касательной к графику при \(\tau = 0\) задаёт мощность джоулева нагрева. Мощность теплопотерь при данной температуре равна разности этой мощности и мощности, идущей на нагрев (наклон касательной в соответствующей точке графика).
▶ОтветСкрыть
1) \(\tau_0 \approx 3\) мин; 2) \(I \approx 89\) А; 3) \(\Delta\tau \approx 16\) с.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2002/03, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.