зад 1 Поршень на пружине
Отверстие в дне сосуда закрыто поршнем, состоящим из цилиндра длиной \(L\) и радиусом \(R\) и полусферы того же радиуса (рис.). Поршень может перемещаться вертикально без трения. Пружиной жёсткостью \(k\) поршень прикреплён к неподвижному основанию. В сосуд наливают жидкость плотностью \(\rho\), после чего верхняя точка поршня оказывается на глубине \(h\) под поверхностью воды, а толщина слоя воды в сосуде равна \(H\). На какое расстояние \(x\) переместится поршень по сравнению с его положением в пустом сосуде?
Примечание. Объём шара \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Снизу жидкость на поршень не давит, поэтому дополнительная сила, сжимающая пружину, равна весу жидкости в цилиндрическом столбе радиуса \(R\) от основания полусферы до поверхности за вычетом объёма самой полусферы.
▶ОтветСкрыть
\(x = \dfrac{\rho g\pi R^2}{k}\left(h + \dfrac{R}{3}\right)\)
зад 2 Атомы в канале
Атомы \(A\) летят вдоль оси цилиндрического канала радиусом \(R\) и сталкиваются с практически неподвижными атомами \(B\). Кинетическая энергия атомов \(A\) равна пороговой, так что при центральном ударе образуется молекула \(AB\), которая далее движется со скоростью \(v\). При нецентральном ударе реакция не идёт, то есть атомы сталкиваются упруго. За какое минимальное время \(t\) после столкновения атомы сорта \(B\) смогут от оси цилиндра попасть на стенку канала?
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость молекулы при пороговой реакции равна скорости центра масс \(A\) и \(B\). При упругом ударе в системе центра масс скорость атома \(B\) по модулю равна \(v\) и лишь поворачивается; найдите, какую наибольшую поперечную скорость он может получить в лабораторной системе.
▶ОтветСкрыть
\(t = \dfrac{R}{v}\)
зад 3 Бозе-газ
Для описания некоторых систем используется модель идеального бозе-газа. При температурах ниже определённой (называемой температурой бозе-эйнштейновской конденсации) внутренняя энергия моля такого газа определяется выражением \(U = \dfrac{3}{2}AVT^{5/2}\), а давление не зависит от объёма и равно \(p = AT^{5/2}\), где \(A\) — некоторая константа. В этих условиях над газом совершают такой процесс расширения, что \(TV^\lambda = \text{const}\), где \(\lambda\) — заданное число. Поглощается или отдается теплота газом в этом процессе?
Примечание. При \(\mu x \ll 1\) справедлива формула \((1 + x)^\mu = 1 + \mu x\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите первое начало для малого расширения \(dV\): \(\delta Q = dU + p\,dV\). Изменение температуры выразите из уравнения процесса: \(dT/T = -\lambda\, dV/V\).
▶ОтветСкрыть
\(\delta Q = \dfrac{5}{2}AT^{5/2}\left(1 - \dfrac{3\lambda}{2}\right)dV\)
зад 4 Разлёт заряженных шариков
Два маленьких шарика диаметром \(d\), массой \(m\) и зарядами \(+Q\) и \(-Q\) движутся в пространстве, взаимодействуя только между собой. В некоторый момент они оказались на расстоянии \(L_0\) друг от друга, причём первый из них был неподвижен, а скорость второго \(v_0\) была направлена в сторону первого. Найдите максимальное расстояние \(L\) разлёта шариков после абсолютно упругого удара (общая кинетическая энергия шариков непосредственно перед и сразу после удара одинакова). За время удара заряды шариков изменились и стали равными \(+q\) и \(-q\). Считайте, что в каждый момент времени заряд шарика распределён по его объёму равномерно.
▶ПодсказкаСкрыть
Движение одномерное; в системе центра масс полный импульс равен нулю, и при наибольшем удалении шарики в ней покоятся. Запишите закон сохранения энергии в системе центра масс отдельно до удара (заряды \(\pm Q\), сближение от \(L_0\) до \(d\)) и после удара (заряды \(\pm q\)).
▶ОтветСкрыть
\(L = \left(\dfrac{1}{d} - \dfrac{Q^2}{q^2}\left(\dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{L_0}\right) - \dfrac{mv_0^2}{4kq^2}\right)^{-1}\) или \(L = \infty\)
зад 5 Посеребрённая линза
Сферическую поверхность плоско-выпуклой линзы с фокусным расстоянием \(F_1\) посеребрили. Если на выпуклую сторону такой системы направить пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то отражённые лучи будут распространяться так, как будто они были испущены из точки \(F''\), находящейся на расстоянии \(F_2\) от линзы (рис.). Найдите построением точку \(F\) (фокус системы), в которой сойдётся пучок лучей, параллельных главной оптической оси и падающих на плоскую поверхность линзы. Выразите фокусное расстояние \(F_0\) системы через \(F_1\) и \(F_2\). Фокусное расстояние линзы много больше её диаметра, а посеребрённая поверхность полностью отражает свет.
▶ПодсказкаСкрыть
Со стороны выпуклой поверхности система — просто выпуклое зеркало с фокусным расстоянием \(F_2\). Со стороны плоской поверхности луч дважды проходит линзу и отражается от вогнутого изнутри зеркала того же радиуса: оптические силы складываются.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{1}{F_0} = \dfrac{2}{F_1} + \dfrac{1}{F_2}\)
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2003/04, федеральный окружной этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.