зад 1 Бусинка на проволоке
1) Проволока изогнута в форме окружности (рис. слева) и зафиксирована. Вдоль неё может двигаться маленькая бусинка. На бусинку действуют силы только со стороны проволоки. Вдоль прямой проволоки бусинка движется равномерно, а при движении по криволинейному участку возникает сила трения скольжения с коэффициентом \(\mu = 0{,}05\). В начальный момент бусинка находилась в точке \(A\) и имела скорость \(v_0 = 1\) м/с. Найдите скорость \(v_1\) бусинки, когда она в первый раз снова окажется в исходной точке.
2) Пусть теперь проволока имеет форму плоской замкнутой кривой (рис. справа). Найдите в этом случае скорость \(v_2\) бусинки, когда она в первый раз снова окажется в исходной точке \(B\). Ответы требуется представлять в аналитическом и численном видах.
▶ПодсказкаСкрыть
Нормальная сила со стороны проволоки равна \(mv^2/r\), поэтому \(dv/v = -\mu\, d\varphi\), где \(d\varphi\) — угол поворота вектора скорости. Значит, важен только суммарный угол поворота скорости вдоль пути, а не форма кривой.
▶ОтветСкрыть
1) \(v_1 = v_0e^{-2\pi\mu} = 0{,}73\) м/с; 2) \(v_2 = v_0e^{-13\pi\mu} = 0{,}13\) м/с
зад 2 Неидеальный газ Глюка
Экспериментатор Глюк исследовал неизвестный газ и обнаружил, что он подчиняется уравнению Менделеева — Клапейрона лишь приближённо. Зависимость его давления \(p\) от температуры \(T\), объёма \(V\) и количества молей \(\nu\) можно описать формулой \[p = \dfrac{\nu RT}{V} + \dfrac{\nu^2}{V^2}(bT - a),\] где \(a\) и \(b\) — малые параметры. Глюк предположил, что выражение для внутренней энергии \(U\) также немного отличается от формулы в случае идеального газа и имеет вид \[U = \dfrac{3}{2}\nu RT - \dfrac{c\nu^2}{V}.\]
Размышляя над различными способами измерения коэффициента \(c\), Глюк вспомнил, что КПД цикла Карно зависит только от температур нагревателя и холодильника. Используя это утверждение, он определил значение коэффициента \(c\) без проведения измерений. Найдите \(c\), считая известными \(a\) и \(b\).
▶ПодсказкаСкрыть
Рассмотрите цикл Карно с бесконечно близкими изотермами (или воспользуйтесь тем, что \(\delta Q/T\) по замкнутому циклу Карно равно нулю). Требование, чтобы КПД был \(1 - T_2/T_1\) для этого газа, связывает \(c\) с тем, как давление зависит от температуры при постоянном объёме.
▶ОтветСкрыть
\(c = a\)
зад 3 Дирижабль теряет заряд
Дирижабль завис над гористой местностью. Из-за естественной ионизации у воздуха имеется некоторая проводимость. Электрический заряд дирижабля уменьшается в два раза за каждые \(\tau = 10\) мин. Найдите удельное сопротивление \(\rho\) воздуха.
▶ПодсказкаСкрыть
Ток утечки через замкнутую поверхность вокруг дирижабля выразите через плотность тока \(j = E/\rho\) и поток поля \(E\), который по теореме Гаусса равен \(q/\varepsilon_0\). Форма дирижабля и рельеф выпадают из ответа.
▶ОтветСкрыть
\(\rho = \dfrac{\tau}{\varepsilon_0 \ln 2} \approx 10^{14}\) Ом\(\cdot\)м
зад 4 Вольтметры у треугольника
Из одного куска нихромовой проволоки спаяли прямоугольный треугольник с катетами длиной \(3a\) и \(4a\). К трём сторонам проволочного треугольника подсоединили небольшие по размерам вольтметры так, что соединительные провода и стороны треугольника образуют квадраты (рис.). Вся конструкция находится в одной плоскости, перпендикулярно которой направлено однородное магнитное поле. Индукция поля изменяется со скоростью \(\dfrac{\Delta B}{\Delta t} = k > 0\). Сопротивления вольтметров намного больше сопротивления сторон треугольника. Найдите показания вольтметров.
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите ток в треугольнике (ЭДС \(k\cdot 6a^2\), сопротивление пропорционально периметру) и напряжение на каждой его стороне. Показание вольтметра — это напряжение на стороне плюс ЭДС индукции в контуре «квадрат», образованном проводами вольтметра и этой стороной.
▶ОтветСкрыть
\(U_1 = \dfrac{21}{2}ka^2\), \(U_2 = 18ka^2\), \(U_3 = \dfrac{55}{2}ka^2\)
зад 5 Композитная линза в глицерине
Оптическая система, состоящая из двух тонких двояковыпуклых линз с одинаковыми радиусами кривизны поверхностей, изменяет диаметр падающего на систему пучка параллельных лучей в \(\gamma\) раз, оставляя пучок параллельным после прохождения системы. Если поместить линзы в глицерин, то линзы останутся собирающими, но их фокусные расстояния увеличатся в \(\alpha\) и \(\beta\) раз (\(\alpha < \beta\)). Каждая из линз была составлена из двух одинаковых плосковыпуклых линз. Их разняли и половинки разных линз соединили вместе (рис.). Во сколько раз увеличится фокусное расстояние композитной линзы, если её поместить в глицерин?
▶ПодсказкаСкрыть
Телескопическая система даёт отношение фокусных расстояний линз \(\gamma\). По формуле тонкой линзы оптическая сила каждой половинки пропорциональна \((n_i/n_0 - 1)/R\); из \(\alpha\) и \(\beta\) найдите показатели преломления относительно глицерина и сложите оптические силы половинок.
▶ОтветСкрыть
\(k = \dfrac{\alpha\beta(\gamma+1)}{\alpha+\beta\gamma}\)
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2003/04, федеральный окружной этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.