зад 1 Паровоз
Ведущие колёса паровоза соединены реечной передачей, одно звено которой представляет собой плоскую горизонтальную штангу, шарнирно прикреплённую к спицам соседних колёс на расстоянии от оси, равном половине радиуса \(R\) колеса (рис.). При осмотре паровоза механик поставил на эту штангу ящик с инструментами и по рассеянности забыл его там. Паровоз трогается с места и начинает медленно набирать скорость. При какой скорости \(v_1\) паровоза ящик начнёт проскальзывать относительно штанги? При какой скорости \(v_2\) паровоза ящик начнет подпрыгивать? Коэффициент трения между ящиком и штангой равен \(\mu\). Числовой расчёт проведите для значений \(R = 1\) м, \(\mu = 0{,}5\).
▶ПодсказкаСкрыть
В системе паровоза штанга движется поступательно, и каждая её точка описывает окружность радиуса \(R/2\) со скоростью \(v/2\). Ящик удерживается от проскальзывания трением и реакцией штанги; найдите положение на окружности, где отношение требуемой силы трения к реакции наибольшее.
▶ОтветСкрыть
\(v_1 = \sqrt{\dfrac{2gR\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}} \approx 3\) м/с; \(v_2 = \sqrt{2gR} = 4{,}43\) м/с.
зад 2 Жидкий гелий
Для хранения жидкого гелия применяется двойной сосуд Дьюара, состоящий из внешнего сосуда Дьюара, заполненного жидким азотом при температуре \(T_a = 77\) К, и внутреннего сосуда Дьюара, заполненного жидким гелием. Передача теплоты от азота к гелию через вакуумный промежуток приводит к испарению гелия. Для поддержания постоянной температуры гелия производится непрерывная откачка его насыщенных паров из внутреннего сосуда. При некоторой скорости откачки в стационарном режиме температура гелия равна \(T_0 = 4{,}0\) К. Скорость откачки увеличивают в полтора раза (по объёму). Определите установившуюся температуру \(T\) гелия. Зависимость давления насыщенных паров гелия от температуры приведена на рисунке.
Примечание. Сосудом Дьюара называют сосуд с двойными стенками, из пространства между которыми откачан воздух для уменьшения теплопередачи.
▶ПодсказкаСкрыть
Поток теплоты от азота почти не зависит от температуры гелия (\(T_a \gg T\)), значит, в стационарном режиме число молей пара, откачиваемых в единицу времени, остаётся прежним. Запишите его через давление и температуру пара и найдите точку графика, где \(p/T\) меньше в полтора раза.
▶ОтветСкрыть
\(T = (3{,}25 \pm 0{,}05)\) К.
зад 3 Повреждение линии связи
В некоторой точке двухпроводной телефонной линии неизвестной длины \(L\) произошло повреждение, в результате которого между проводниками появилось сопротивление утечки \(R_x\) (рис.). К обоим концам линии прибыли операторы, причем оператор на левом конце имел в своем распоряжении только источник постоянного тока с ЭДС \(\mathcal{E} = 12\) В и амперметр, а на правом — только вольтметр. Для связи операторы использовали мобильные телефоны. Погонные сопротивления линии, то есть сопротивления единицы длины каждого проводника линии, \(\rho = 5{,}0\cdot 10^{-4}\) Ом/м. Используя возможные схемы подключений к концам линии, операторы получили два значения тока \(I_1 = 6\) А и \(I_2 = 9\) А и одно значение напряжения \(V = 9\) В. Помогите оператору на левом конце линии по этим данным определить сопротивление утечки \(R_x\), расстояние \(l\) до места повреждения и общую длину линии \(L\). Нарисуйте схемы измерений, которые использовали операторы. Измерительные приборы и источники постоянного тока, которые были в распоряжении операторов, можно считать идеальными.
▶ПодсказкаСкрыть
Возможны три измерения: ток при разомкнутом правом конце, ток при закороченном правом конце (это может сделать правый оператор) и напряжение на правом конце при разомкнутой цепи. Идеальный вольтметр тока не берёт, поэтому показывает напряжение на \(R_x\).
▶ОтветСкрыть
\(R_x = 1{,}5\) Ом, \(l = 0{,}5\cdot 10^3\) м, \(L = 2375\) м.
зад 4 Теплоёмкость газа
С одним молем идеального одноатомного газа проводят процесс (рис.). Найдите теплоёмкость газа в точке \(A\). В какой точке процесса теплоёмкость газа максимальна?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите уравнение прямой \(p(V)\) и выразите \(C = \dfrac{3}{2}R + p\dfrac{dV}{dT}\), найдя \(dT\) из \(pV = RT\). Теплоёмкость обращается в бесконечность там, где температура вдоль процесса достигает максимума.
▶ОтветСкрыть
\(C = \dfrac{7}{2}R\); теплоёмкость максимальна в точке с координатами \((1{,}5p_0;\ 1{,}5V_0)\) (по mathus.ru — там \(C = \infty\)).
зад 5 Высоковольтный генератор
Для ускорения «тяжёлых» заряженных частиц (протоны, ионы) используют высоковольтный электростатический генератор Ван-де-Граафа (рис.). Заряды переносятся диэлектрической лентой и заряжают высоковольтный сферический электрод. Поверхностные заряды передаются ленте от источника вблизи нижнего шкива. Заряды стекают со сферического электрода через камеру, в которой ускоряются заряженные частицы (на рисунке она условно изображена в виде некоторого нагрузочного сопротивления). Предположим, что радиус высоковольтного электрода \(R = 1\) м, скорость движения ленты \(v = 10\) м/с, а ширина ленты \(l = 60\) см. Всё устройство находится в воздухе, в котором электрический пробой наступает при напряженности электрического поля \(E_{\text{пр}} = 30\) кВ/см. Найдите:
максимальный ток, который может протекать через нагрузку;
максимальный потенциал высоковольтного электрода;
минимальную (без учета трения) мощность электродвигателя, вращающего шкив ленты, при которой могут быть достигнуты максимальные значения тока и потенциала.
Электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\) Ф/м.
▶ПодсказкаСкрыть
Плотность заряда на ленте ограничена пробоем: поле у заряженной ленты (с обеих её сторон) не должно превышать \(E_{\text{пр}}\). Потенциал сферы ограничен тем же условием у её поверхности, а мощность двигателя идёт на перенос заряда против поля.
▶ОтветСкрыть
\(I_{\max} = 2\varepsilon_0E_{\text{пр}}lv \approx 0{,}32\) мА; \(\varphi_{\max} = E_{\text{пр}}R = 3\cdot 10^6\) В; \(P_{\min} \approx I_{\max}\varphi_{\max} \approx 960\) Вт.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2003/04, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.