зад 1 Футбол в сильный ветер
Футболист бьёт по мячу массой \(m\), сообщая ему начальную скорость \(v_1\), направленную под углом \(\alpha\) к горизонту навстречу ветру, дующему вдоль поверхности земли. Описав некоторую траекторию, мяч вернулся в исходную точку со скоростью \(v_2\). Под каким углом \(\beta\) мяч упал на землю? Чему равна скорость \(u\) ветра? Какое время \(\tau\) мяч находился в полёте? Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости мяча относительно воздуха: \(\vec F_{\text{сопр}} = -k\vec v_{\text{отн}}\), где коэффициент пропорциональности \(k\) — известная величина.
▶ПодсказкаСкрыть
Проинтегрируйте второй закон Ньютона по времени полёта: при линейном сопротивлении импульс силы сопротивления выражается через полное перемещение относительно воздуха. Раз мяч вернулся в исходную точку, его перемещение относительно земли равно нулю.
▶ОтветСкрыть
\(\beta = \alpha\); \(u = \dfrac{mg\ctg\alpha}{k}\); \(\tau = \dfrac{(v_1 + v_2)\sin\alpha}{g}\) (в ответе mathus.ru также \(\tau = \dfrac{m}{k}\ln\dfrac{mg + kv_1\sin\alpha}{mg + kv_2\sin\alpha}\)).
зад 2 Остывающая планета
Космонавты, высадившиеся на далёкой планете, в ходе исследований обнаружили, что:
— планета так далека от всех звёзд, что единственным источником энергии на ней являются протекающие в недрах планеты реакции радиоактивного распада;
— планета однородна, имеет форму шара, а радиоактивные элементы равномерно распределены по всему её объёму;
— период полураспада радиоактивных элементов равен 1 млн лет (ход этого процесса не зависит от температуры);
— температура на поверхности планеты \(t_1 = 0\ {}^\circ\text{C}\), а в её центре \(t_2 = 100\ {}^\circ\text{C}\);
— атмосфера отсутствует и планета непрерывно теряет энергию из-за теплового излучения.
Считая, что энергия, излучаемая в единицу времени с единицы площади поверхности планеты, пропорциональна четвёртой степени абсолютной температуры поверхности, а тепловой поток внутри планеты пропорционален перепаду температур на единицу расстояния \(\Delta T/\Delta r\), определите:
температуру на расстоянии \(r = R/2\) от центра планеты в момент исследований;
температуру на поверхности планеты через 4 млн лет;
температуру в центре планеты через 4 млн лет.
▶ПодсказкаСкрыть
В стационарном режиме поток тепла через сферу радиуса \(r\) равен мощности источников внутри неё, отсюда профиль температуры \(T(r)\) — парабола. Через 4 млн лет (четыре периода полураспада) мощность источников уменьшится в 16 раз; это определяет и излучение с поверхности, и перепад температур.
▶ОтветСкрыть
1) \(t = 75\ {}^\circ\text{C}\); 2) \(t = -136{,}5\ {}^\circ\text{C}\); 3) \(t \approx -130\ {}^\circ\text{C}\).
зад 3 Летающая катушка
Вблизи северного полюса вертикально расположенного намагниченного стержня (постоянного магнита) находится тонкая кольцевая катушка массой \(m = 10\) г (рис.). Катушка может свободно перемещаться вдоль вертикальной оси \(z\). Если катушку заставить колебаться по гармоническому закону около этого положения с амплитудой \(A = 5\) мм и частотой \(\nu = 50\) Гц, то на её разомкнутых концах появится переменное напряжение с амплитудой \(\mathcal{E}_0 = 1\) В. Какой постоянный ток (по величине и направлению) нужно пропустить через катушку, чтобы она зависла в исходном положении?
▶ПодсказкаСкрыть
ЭДС при движении катушки со скоростью \(v\) и сила Ампера при токе \(I\) выражаются через одну и ту же величину — радиальную составляющую поля, умноженную на длину провода катушки. Найдите её из амплитуды ЭДС и приравняйте силу Ампера силе тяжести.
▶ОтветСкрыть
\(I = \dfrac{2\pi\nu Amg}{\mathcal{E}_0} = 0{,}154\) А; по часовой стрелке, если смотреть сверху.
зад 4 Частицы в магнитном поле
Две частицы с одинаковыми массами \(m\) и зарядами \(q\) и \(-q\) начинают с нулевыми начальными скоростями двигаться в однородном магнитном поле \(\vec B\), перпендикулярном соединяющему их отрезку длины \(R\) (рис.).
Найдите минимальное значение индукции магнитного поля \(B = B_0\) (критическое поле), при котором частицы не столкнутся друг с другом.
На каком расстоянии \(r\) друг от друга они окажутся при наибольшем сближении, если \(B > B_0\)?
Найдите скорости частиц и расстояние между ними в момент наибольшего сближения при критическом значении магнитного поля. Как в этом случае будут двигаться частицы после их наибольшего сближения? Нарисуйте качественный график траектории частиц.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила Кулона направлена вдоль отрезка, поэтому составляющая скорости частицы, перпендикулярная отрезку, меняется только из-за силы Лоренца: \(m\,\Delta v_\perp = qB\,\Delta x\), где \(\Delta x\) — смещение вдоль отрезка. Добавьте закон сохранения энергии и условие, что в момент наибольшего сближения скорости перпендикулярны отрезку.
▶ОтветСкрыть
1) \(B_0 = \sqrt{\dfrac{4m}{\pi\varepsilon_0R^3}}\); 2) \(r = \dfrac{R}{2}\left(1 + \sqrt{1 - \dfrac{4m}{\pi\varepsilon_0R^3B^2}}\right)\); 3) \(r = \dfrac{R}{2}\), при этом частицы двигаются параллельно друг другу с постоянными скоростями.
Скорости частиц \(v = \dfrac{qB_0R}{4m}\) (по mathus.ru).
зад 5 Масс-спектрограф
Устройство для определения изотопного состава атомов состоит из двух основных частей: селектора скоростей \(C\) и масс-спектрографа \(M\) (рис.). В селектор скоростей через систему диафрагм с отверстиями влетают ионизированные атомы некоторого элемента, обладающие различными скоростями. Они движутся в селекторе в скрещенных однородных электрическом \(\vec E_0\) и магнитном \(\vec B_0\) полях и далее влетают через малое отверстие в масс-спектрограф, в котором создано однородное магнитное поле с индукцией \(\vec B\). Попадая на фотопластинку Ф, ионы оставляют на ней свой след на некотором расстоянии \(x\) от точки влёта в масс-спектрограф. Предположим, что эксперимент был выполнен при следующих значениях полей: \(E_0 = 360\) В/см, \(B_0 = 0{,}26\) Тл, \(B = 0{,}24\) Тл. На фотопластинке были зарегистрированы следы ионов при \(x_1 = 23{,}2\) см, \(x_2 = 24{,}4\) см, \(x_3 = 46{,}4\) см, \(x_4 = 48{,}8\) см.
Используя таблицу изотопов химических элементов (см. ниже), определите, ионы какого элемента оставили свои следы на фотопластинке. Запишите химические формулы ионов, соответствующих различным значениям \(x\).
Элементарный заряд \(e = 1{,}602\cdot 10^{-19}\) Кл, атомная единица массы \(1\) а. е. м. \(= 1{,}66\cdot 10^{-27}\) кг.
Примечание. Изотопами называются атомы одного и того же элемента, ядра которых обладают одинаковыми зарядовыми числами \(Z\), но разными массовыми числами \(A\).
Изотопный состав элементов:
▶ПодсказкаСкрыть
Селектор пропускает ионы только со скоростью \(v = E_0/B_0\). В масс-спектрографе ион описывает полуокружность, так что \(x = 2mv/(qB)\); отсюда находится отношение \(A/z\) для каждого следа. Ищите в таблице элемент, у которого есть пара изотопов с подходящим отношением масс.
▶ОтветСкрыть
Возможны три варианта: \[{}^{39}\text{K}^{++},\ {}^{41}\text{K}^{++},\ {}^{39}\text{K}^{+},\ {}^{41}\text{K}^{+};\] \[{}^{78}\text{Se}^{4+},\ {}^{82}\text{Se}^{4+},\ {}^{78}\text{Se}^{2+},\ {}^{82}\text{Se}^{2+};\] \[{}^{78}\text{Kr}^{4+},\ {}^{82}\text{Kr}^{4+},\ {}^{78}\text{Kr}^{2+},\ {}^{82}\text{Kr}^{2+}.\]
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2003/04, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.