зад 1 Упругий удар шайб
Небольшая шайба, движущаяся по гладкой горизонтальной поверхности, налетела на вторую шайбу, покоившуюся на той же поверхности. После абсолютно упругого удара шайб их скорости \(v_1\) и \(v_2\) оказались направлены под углом \(\varphi\) друг к другу. Найдите скорость \(v_0\) первой шайбы до удара. Массы шайб не заданы, но известно, что они различны.
▶ПодсказкаСкрыть
При упругом ударе гладких шайб составляющая относительной скорости вдоль линии центров меняет знак, а касательные составляющие не меняются. Значит, модуль относительной скорости сохраняется: сравните \(\vec v_0\) (до удара) и \(\vec v_1 - \vec v_2\) (после).
▶ОтветСкрыть
\(v_0 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2\cos\varphi}\)
зад 2 Линейный процесс
Идеальный одноатомный газ расширяется квазистатически, причём давление и объём газа линейно зависят от времени. Когда температура достигла своего максимального значения \(T_0\), давление и объём газа были равны \(p_0\) и \(V_0\) соответственно. Какими будут давление \(p_1\) и температура \(T_1\) в момент времени, когда объём газа достигнет величины \(V_1 = \alpha V_0\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Если \(p\) и \(V\) линейны по времени, то процесс на \(pV\)-диаграмме — отрезок прямой. Максимум произведения \(pV\) на прямой \(p = b - kV\) достигается посередине между точками пересечения прямой с осями.
▶ОтветСкрыть
\(p_1 = (2 - \alpha)p_0\), \(T_1 = \alpha(2 - \alpha)T_0\) при \(\alpha < 2\); иначе решений нет
зад 3 Труба на ступеньке
На край ступеньки высотой \(H\) положили тонкостенную трубу радиусом \(R\) и массой \(m\) (рис.). Труба начала скатываться со ступеньки. Определите вертикальную составляющую \(v_y\) скорости центра масс трубы непосредственно перед ударом о горизонтальную плоскость. Считайте, что труба не проскальзывает.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока труба поворачивается вокруг края ступеньки, найдите из закона сохранения энергии и второго закона Ньютона, при каком угле она оторвётся от края. Дальше центр масс движется как брошенное тело; сравните высоту отрыва с \(H\).
▶ОтветСкрыть
\(v_y = \begin{cases} \sqrt{g\left(2H - \dfrac{5}{8}R\right)}, & \text{если } H > \dfrac{R}{2};\\ \sqrt{\dfrac{H}{R}}\sqrt{g(2R - H)}, & \text{если } H \leqslant \dfrac{R}{2} \end{cases}\)
зад 4 Заряд в полом шаре
Маленький шарик с зарядом \(Q\) находится в центре закреплённого незаряженного полого шара (рис.) с радиусами концентрических поверхностей \(R_1\) и \(R_2\) (\(R_1 < R_2\)). Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы удалить шарик через узкий канал в проводнике на расстояние от полого шара, значительно большее \(R_2\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Работа равна изменению энергии электрического поля. Когда шарик в центре, поля нет внутри проводящего слоя \(R_1 < r < R_2\); после удаления шарика поле во всём пространстве — поле точечного заряда.
▶ОтветСкрыть
\(A = \dfrac{kQ^2(R_2 - R_1)}{2R_1R_2}\)
зад 5 Лента в конденсаторе
Тонкая гибкая замкнутая лента, состоящая из проводящих пластин шириной \(a\), разделённых изолирующими промежутками шириной \(b\) (\(b \gg a\)), с помощью шкивов приведена в соприкосновение с обкладками плоского конденсатора (рис.). Расстояние между обкладками равно \(d\) (\(d \gg b\)), ширина ленты \(l\). Конденсатор подключили к батарее, создающей напряжение \(U\) между обкладками. С помощью внешнего воздействия шкивы провернули на несколько оборотов, после чего воздействие устранили, а лента продолжила движение с установившейся скоростью \(v\). Считайте, что трение есть только между лентой и нижней обкладкой.
Какой ток \(I\) протекает через батарею?
Какую мощность \(P\) затрачивает батарея при движении ленты?
Какая сила трения \(F\) действует на ленту?
▶ПодсказкаСкрыть
Пластина, касающаяся обкладки, получает заряд, равный заряду участка обкладки площадью \(al\), и переносит его на другую обкладку. Сосчитайте, сколько пластин в секунду приходит к каждой обкладке; мощность батареи при установившемся движении целиком уходит на работу против трения.
▶ОтветСкрыть
\(I = \dfrac{2\varepsilon_0Ualv}{bd}\); \(P = \dfrac{2\varepsilon_0U^2alv}{bd}\); \(F = \dfrac{2\varepsilon_0U^2al}{bd}\)
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2004/05, федеральный окружной этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.