зад 1 Муха между линзой и зеркалом
Между линзой и зеркалом параллельно плоскости зеркала летит Муха-Цокотуха. Линза отстоит от зеркала на расстоянии \(L = 20\) см, а её главная оптическая ось перпендикулярна его плоскости. В момент, когда муха пересекает ось, скорости её изображений в линзе и в системе линза–зеркало одинаковы по модулю. Найдите фокусное расстояние \(F\) линзы и расстояние \(a\) от линзы до мухи.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость изображения в линзе равна скорости предмета, умноженной на поперечное увеличение. Изображение в системе линза–зеркало — это изображение в линзе мнимой мухи, отражённой в зеркале на расстоянии \(2L - a\) от линзы. Приравняйте модули увеличений для расстояний \(a\) и \(2L - a\).
▶ОтветСкрыть
\(F = L\); \(a \in (0; L)\)
зад 2 Лодка на реке
Круглую резиновую лодку оттолкнули от берега озера со скоростью \(v_0\), и она проплыла расстояние \(S_0\) до остановки. Такую же лодку оттолкнули от берега речки так, что её скорость в начале свободного плавания оказалась равной \(v_0\) и была направлена перпендикулярно течению. К моменту остановки относительно воды лодка проплыла путь \(S_1 = \alpha S_0\) в системе отсчёта, связанной с водой. С какой скоростью \(V\) относительно берега плыла лодка в тот момент, когда она достигла середины речки, ширина которой \(H = \alpha S_0\)? Считайте, что \(\alpha = 5/4\), сила сопротивления движению лодки в воде прямо пропорциональна скорости, а скорость течения реки всюду одинакова.
▶ПодсказкаСкрыть
При силе сопротивления, пропорциональной скорости, скорость относительно воды убывает линейно с пройденным путём: \(v = v_0(1 - s/S_0)\). В системе воды лодка движется по прямой, а её начальная скорость складывается из \(v_0\) и скорости течения; сравнив \(S_1\) с \(S_0\), найдите скорость течения.
▶ОтветСкрыть
\(V = v_0\sqrt{1 - \alpha + \dfrac{\alpha^4}{4}} = \dfrac{3\sqrt{41}}{32}v_0\)
зад 3 Химическое равновесие
В цилиндре под поршнем находятся газы \(X_2\) и \(Y_2\) и соединение \(X_2Y\). В системе протекает химическая реакция \(2X_2 + Y_2 \leftrightarrow 2X_2Y\). В равновесном состоянии (когда скорости химической реакции в прямом и обратном направлениях равны) при давлении \(p\) система занимала объём \(V\), а количества веществ \(X_2\), \(Y_2\) и \(X_2Y\) были равны \(\nu_1\), \(\nu_2\) и \(\nu_3\) соответственно. Давление на систему изменили на малую величину \(\Delta p\). Найдите изменения объёма системы \(\Delta V\) и количеств веществ \(\Delta\nu_1\), \(\Delta\nu_2\), \(\Delta\nu_3\) после установления нового равновесия. Температура всё время поддерживается постоянной.
Примечание. Известно, что скорость химической реакции пропорциональна произведению концентраций \(\nu_i/V\) реагирующих веществ. Соответственно, скорости прямой и обратной реакций пропорциональны \(\left(\dfrac{\nu_1}{V}\right)^2\dfrac{\nu_2}{V}\) и \(\left(\dfrac{\nu_3}{V}\right)^2\). Коэффициенты пропорциональности могут быть разными, но зависят только от температуры. Газы можно считать идеальными.
▶ПодсказкаСкрыть
Из равенства скоростей прямой и обратной реакций величина \(\nu_3^2V/(\nu_1^2\nu_2)\) при постоянной температуре постоянна. Выразите изменения количеств через одну переменную \(x\), прологарифмируйте и продифференцируйте это условие вместе с уравнением состояния \(pV = (\nu_1 + \nu_2 + \nu_3)RT\).
▶ОтветСкрыть
\(\Delta\nu_1 = -2x\), \(\Delta\nu_2 = -x\), \(\Delta\nu_3 = 2x\), \(\Delta V = -xV\left(\dfrac{4}{\nu_1} + \dfrac{1}{\nu_2} + \dfrac{4}{\nu_3}\right)\), где \(x = \dfrac{\Delta p}{p}\left(\dfrac{4}{\nu_1} + \dfrac{1}{\nu_2} + \dfrac{4}{\nu_3} - \dfrac{1}{\nu_1 + \nu_2 + \nu_3}\right)^{-1}\)
зад 4 Шарик в шаре с диэлектриком
Маленький шарик с зарядом \(Q\) находится в центре закреплённого незаряженного проводящего полого шара с радиусами концентрических поверхностей \(R_1\) и \(R_2\) (\(R_1 < R_2\)). Полый шар окружён снаружи концентрическим слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\) и радиусом наружной поверхности \(R_3\) (рис.). Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы удалить шарик через узкий канал в слоях проводника и диэлектрика на расстояние от полого шара, значительно большее \(R_3\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Работа равна разности энергий поля до и после удаления шарика. До удаления поле в проводнике равно нулю, а в диэлектрике ослаблено в \(\varepsilon\) раз; после удаления остаётся только поле точечного заряда в вакууме вдали от шара.
▶ОтветСкрыть
\(A = \dfrac{kQ^2}{2R_3}\left(\dfrac{R_3 - R_1}{R_1} - \dfrac{R_3 - R_2}{\varepsilon R_2}\right)\)
зад 5 Ошибка Глюка
Экспериментатор Глюк собрал электрическую цепь (рис.), подключив по ошибке одну из батареек параллельно, а не последовательно двум другим. Найдите токи через резисторы в получившейся цепи. Каждый резистор имеет сопротивление \(R\). Все батарейки одинаковы и имеют ЭДС \(\mathcal{E}\). Внутренние сопротивления батареек малы по сравнению с \(R\).
▶ПодсказкаСкрыть
Батарейки с малым внутренним сопротивлением задают разности потенциалов между узлами. Примите потенциал одного из узлов за нуль, выразите потенциалы остальных через \(\mathcal{E}\) и найдите токи по закону Ома.
▶ОтветСкрыть
\(I_{\text{сз}} = I_{\text{юв}} = -\dfrac{\mathcal{E}}{6R}\), \(I_{\text{св}} = I_{\text{юз}} = \dfrac{7\mathcal{E}}{6R}\)
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2004/05, федеральный окружной этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.