зад 1 Двойная звезда
«Двойная звезда» состоит из двух звёзд, находящихся на постоянном расстоянии друг от друга. Космонавт Глюк решил вывести космический корабль на орбиту таким образом, чтобы он находился всё время на отрезке, соединяющем звёзды, на постоянном расстоянии от каждой из звёзд и расходовал при этом минимальное количество топлива. Проведя все расчёты, Глюк нашёл, что корабль должен находиться на расстоянии \(l_1\) от первой звезды и \(l_2\) от второй, и успешно вывел корабль на орбиту. Чему равно отношение \(M_1/M_2\) масс звёзд?
▶ПодсказкаСкрыть
Звёзды и корабль вращаются вокруг общего центра масс звёзд с одной угловой скоростью. Запишите второй закон Ньютона для одной из звёзд и для корабля (двигатели выключены) и исключите угловую скорость.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{M_1}{M_2} = \dfrac{(l_1 + l_2)^3 - l_2^3}{(l_1 + l_2)^3 - l_1^3}\,\dfrac{l_1^2}{l_2^2}\); можно показать, что рассмотренная орбита является неустойчивой, поэтому потребуется небольшой дополнительный расход топлива на ее регулярную корректировку.
зад 2 Неквазистатические процессы
В цилиндре с теплонепроницаемыми стенками под массивным теплонепроницаемым поршнем находится идеальный одноатомный газ. На поршень поставили гирю, масса которой равна массе поршня (рис.). После того как система пришла в новое состояние термодинамического равновесия, гирю быстро сняли и вновь дождались наступления равновесного состояния. Определите, какая температура \(T\) газа установится в цилиндре после четырёх таких циклов, если первоначальная температура равнялась \(T_0 = 300\) К. Считайте, что трение между поршнем и стенками цилиндра пренебрежимо мало. Внешним давлением можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Процессы необратимы, но в каждом из них работа внешней силы равна весу груза (с поршнем), умноженному на смещение, а теплообмена нет. Запишите закон сохранения энергии для сжатия и для расширения и найдите, во сколько раз растёт температура за один цикл.
▶ОтветСкрыть
\(T = \left(\dfrac{28}{25}\right)^4 T_0 \approx 472\) К.
зад 3 Теплоёмкость системы
В сосуде находятся гелий He и азот N\(_2\) в количестве \(\nu_1\) и \(\nu_2\) соответственно. Сосуд разделён на две части пористой перегородкой П (рис.), которая свободно пропускает гелий и не пропускает азот, причём изначально азот был только в правой части. Пренебрегая теплоёмкостью стенок сосуда и поршней, найдите теплоёмкость системы при нагревании в следующих условиях:
при закреплённых поршнях;
при свободных поршнях, создающих постоянные давления;
при свободном левом поршне, создающем постоянное давление, и закреплённом правом поршне.
Универсальная газовая постоянная \(R\) известна.
▶ПодсказкаСкрыть
В равновесии парциальное давление гелия по обе стороны перегородки одинаково. Посмотрите, какие объёмы меняются при нагревании в каждом случае и какую работу совершает каждый газ.
▶ОтветСкрыть
\(C_1 = R\left(\dfrac32\nu_1 + \dfrac52\nu_2\right)\); \(C_2 = R\left(\dfrac52\nu_1 + \dfrac72\nu_2\right)\); \(C_3 = R\left(\dfrac52\nu_1 + \dfrac52\nu_2\right)\).
зад 4 Периодическая подзарядка конденсатора
В цепи (рис.) состояние ключа \(K\) периодически изменяют: замыкают на время \(\tau\), затем размыкают на время \(2\tau\), снова замыкают на время \(\tau\) и размыкают на время \(2\tau\) и так далее. Время \(\tau\) достаточно мало, так что напряжение на конденсаторе большой ёмкости \(C\) не успевает за это время заметно измениться. После большого количества переключений напряжение на конденсаторе становится практически постоянным, совершая лишь небольшие колебания около своего среднего значения. ЭДС источника \(\mathcal{E}\) и сопротивление \(R\) каждого из резисторов известны. Найдите в установившемся режиме:
среднее значение напряжения \(U\) на конденсаторе;
среднюю силу тока \(I\), текущего через ключ;
отношение средних тепловых мощностей, выделяющихся на резисторах.
▶ПодсказкаСкрыть
В установившемся режиме заряд конденсатора за период не меняется: заряд, полученный при разомкнутом ключе, равен заряду, отданному при замкнутом. Напряжение на конденсаторе в течение периода считайте постоянным.
▶ОтветСкрыть
\(U = \dfrac{\mathcal{E}}{2}\); \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{2R}\); \(\dfrac{P_1}{P_2} = 3\).
зад 5 Сверхпроводящий соленоид и конденсатор
В некоторый момент сверхпроводящий соленоид объёмом \(V = 40\) см\(^3\) подключают к высоковольтному конденсатору ёмкостью \(C = 100\) мкФ, заряженному до напряжения \(U = 1\) кВ. Известно, что при индукции магнитного поля в соленоиде \(B_0 = 1{,}6\) Тл разрушается состояние сверхпроводимости материала, из которого выполнена обмотка соленоида. Определите, произойдёт ли разрушение сверхпроводимости в описанном эксперименте. Магнитная постоянная \(\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\) единиц СИ.
▶ПодсказкаСкрыть
Вся энергия конденсатора может перейти в энергию магнитного поля соленоида; плотность энергии поля равна \(B^2/(2\mu_0)\).
▶ОтветСкрыть
Да, произойдёт: \(B_{\max} = U\sqrt{\dfrac{\mu_0 C}{V}} \approx 1{,}77\) Тл.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2004/05, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.