зад 1 Из области фантастики
Предположим, что в результате какой-то космической катастрофы Луна остановилась в своём орбитальном движении вокруг Земли. Определите, сколько времени \(\tau\) Луна будет падать на Землю и с какой относительной скоростью \(v\) планеты столкнутся. Расстояние от Земли до Луны \(L = 3{,}84\cdot10^5\) км, радиус Земли \(R = 6370\) км. Массу и размер Луны можно считать малыми по сравнению с массой и размером Земли.
▶ПодсказкаСкрыть
Падение по прямой можно считать движением по предельно вытянутому эллипсу с большой осью \(L\); период найдите по третьему закону Кеплера, сравнив с круговой орбитой. Скорость в конце — из закона сохранения энергии.
▶ОтветСкрыть
\(\tau = \dfrac{\pi}{2}\dfrac{L}{R}\sqrt{\dfrac{L}{2g}} \approx 4{,}19\cdot10^5\) с \(\approx 4{,}85\) сут.; \(v = \sqrt{2gR\left(1 - \dfrac{R}{L}\right)} \approx \sqrt{2gR} \approx 11{,}2\) км/с.
зад 2 Неквазистатические циклические процессы
В состоянии равновесия идеальный двухатомный газ занимает ровно половину объёма теплоизолированного сосуда с массивным теплоизолированным поршнем. На поршень поставили гирю (рис.). Когда система пришла в новое состояние термодинамического равновесия, оказалось, что давление газа возросло на 25%. Затем гирю быстро сняли и вновь дождались наступления равновесного состояния. Сколько таких циклов \(n\) установки и снятия гири можно совершить, пока поршень не вылетит из цилиндра при очередном удалении гири? Считайте, что трение между поршнем и стенками цилиндра пренебрежимо мало. Внешним давлением можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Давление в начале и в конце каждого цикла одно и то же (его задаёт поршень), поэтому от цикла к циклу объём растёт так же, как температура. Найдите из энергетического баланса необратимых сжатия и расширения, во сколько раз растёт температура за цикл.
▶ОтветСкрыть
\(n = \dfrac{\ln 2}{\ln(99/98)} \approx 68\).
зад 3 Газ Клаузиуса
Разрабатывая кинетическую теорию газов, Клаузиус ввёл в уравнение состояния идеального газа (в расчёте на 1 моль) поправку \(b\), которая имеет смысл собственного объёма молекул газа: \[p(V - b) = RT.\]
Процесс 1–2 (рис.) производится сначала с одним молем идеального газа, а затем с одним молем газа Клаузиуса. Найдите разность \(\Delta T\) максимальных температур газов в этих опытах, а также укажите, какая из них больше.
Известно, что \(p_0 = 1{,}51\) МПа, \(b = 44\) см\(^3\)/моль \(\ll V_0\), \(R = 8{,}310\) Дж/(моль\(\cdot\)К).
▶ПодсказкаСкрыть
На прямой \(p = p_0(1 - V/V_0)\) температура — квадратичная функция объёма; найдите её максимум для обоих уравнений состояния и разложите разность по малому \(b/V_0\).
▶ОтветСкрыть
\(\Delta T = T_{\text{ид}} - T_{\text{К}} \approx \dfrac{p_0 b}{2R} \approx 4{,}0\) К.
зад 4 Сверхпроводящий соленоид и источник
Сверхпроводящий соленоид длиной \(l = 10\) см и площадью поперечного сечения \(S = 1{,}6\) см\(^2\) имеет \(N = 1000\) витков. В некоторый момент соленоид подключают к источнику с ЭДС \(\mathcal{E} = 24\) В и внутренним сопротивлением \(r = 0{,}2\) Ом. Известно, что при индукции магнитного поля \(B_0 = 1{,}26\) Тл состояние сверхпроводимости обмотки соленоида разрушается. Определите, перейдёт ли в этом эксперименте обмотка соленоида из сверхпроводящего в нормальное состояние, и если да, то через какое время \(t_0\) после подключения, а если нет, то при какой ЭДС \(\mathcal{E}\) источника переход бы произошёл. Магнитная постоянная \(\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\) единиц СИ.
▶ПодсказкаСкрыть
Сопротивление цепи — только внутреннее сопротивление источника, ток нарастает по закону цепи \(RL\) к значению \(\mathcal{E}/r\). Сравните поле, соответствующее этому предельному току, с \(B_0\).
▶ОтветСкрыть
Да, перейдет; \(t_0 = -\dfrac{\mu_0 S N^2}{lr}\ln\left(1 - \dfrac{B_0 l r}{\mu_0 N\mathcal{E}}\right) \approx 18\) мс.
зад 5 Фотоэффект
Цинковый шарик радиусом \(R = 1\) см расположен в вакууме вдали от других тел и заряжен до потенциала \(\varphi_0 = -0{,}5\) В (полагая на бесконечности \(\varphi = 0\)). Шарик осветили монохроматическим ультрафиолетовым светом с длиной волны \(\lambda = 290\) нм.
С какой максимальной скоростью \(v_1\) вылетают фотоэлектроны из шарика?
Какую максимальную скорость \(v_2\) будут иметь на большом расстоянии от шарика фотоэлектроны, вылетевшие из него в начале опыта?
Найдите потенциал \(\varphi_1\) шарика после продолжительного облучения.
Какое число \(N\) фотоэлектронов покинет шарик при продолжительном облучении ультрафиолетом?
Красная граница фотоэффекта для цинка \(\lambda_0 = 332\) нм. Скорость света \(c = 3{,}0\cdot10^8\) м/с. Постоянная Планка \(h = 6{,}63\cdot10^{-34}\) Дж\(\cdot\)с. Электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}\) Ф/м. Заряд электрона \(e = -1{,}6\cdot10^{-19}\) Кл. Масса электрона \(m = 9{,}1\cdot10^{-31}\) кг.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока шарик заряжен отрицательно, поле ускоряет электроны; облучение прекратит выбивать электроны, когда положительный потенциал шарика задержит самые быстрые из них. Заряд уединённого шара связан с потенциалом через \(4\pi\varepsilon_0 R\).
▶ОтветСкрыть
\(v_1 = \sqrt{\dfrac{2E_{k\max}}{m}} = \sqrt{\dfrac{2hc}{m}\left(\dfrac1\lambda - \dfrac1{\lambda_0}\right)} \approx 4{,}37\cdot10^5\) м/с;
\(v_2 = \sqrt{\dfrac{2E_{k\max} + e\varphi_0}{m}} = 6{,}05\cdot10^5\) м/с;
\(\varphi_1 = -\dfrac{E_{k\max}}{e} = 0{,}54\) В;
\(N = \dfrac{4\pi\varepsilon_0}{-e}R(\varphi_1 - \varphi_0) \approx 7{,}2\cdot10^6\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2004/05, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.