зад 1 Три резиновых шнура
Три резиновых шнура связывают вместе и медленно растягивают в разные стороны (рис. слева). В некоторый момент длины всех трёх шнуров оказываются равны \(L_1 = 20\) см. Затем шнуры растягивают под другими углами (рис. справа). В этом случае равенство длин шнуров наступает при длине \(L_2 = 30\) см каждого из них.
Известна начальная длина самого длинного шнура в недеформированном состоянии: \(l = 15\) см. Найдите длины двух других шнуров и отношение жёсткостей шнуров. Считайте, что резиновые шнуры подчиняются закону Гука.
▶ПодсказкаСкрыть
Узел в равновесии: в первом случае силы симметричны, во втором — разложите силу третьего шнура на две перпендикулярные составляющие. Сила каждого шнура равна жёсткости, умноженной на удлинение.
▶ОтветСкрыть
\(k_1 = k_2\), \(\dfrac{k_3}{k_1} = \dfrac{L_2 - L_1}{(L_2 - l)/\sqrt2 - (L_1 - l)} \approx 1{,}78\); \(l_1 = l_2 = L_1 - \dfrac{k_3}{k_1}(L_1 - l) \approx 11{,}1\) см.
зад 2 Средняя скорость поезда
Поезд метро проходит расстояние \(S\) между станциями, разгоняясь с ускорением \(a\) до середины перегона и тормозя с таким же по модулю ускорением на второй половине пути. В какой момент времени \(\tau\) от начала движения средняя скорость \(\bar u\) поезда на пройденном участке пути максимальна? Найдите это максимальное значение \(\bar u_{\max}\) и расстояние \(l\) от начала пути, на котором оно достигается.
▶ПодсказкаСкрыть
Средняя скорость максимальна в тот момент, когда она сравнивается с мгновенной: на графике пути от времени это точка касания прямой, проведённой из начала координат.
▶ОтветСкрыть
\(\tau = \sqrt{2s/a}\); \(\bar v_{\max} = \left(2 - \sqrt2\right)\sqrt{as}\); \(l = 2\left(\sqrt2 - 1\right)s \approx 0{,}83s\).
зад 3 «Чёрный ящик»
В коробке («чёрном ящике») с четырьмя выводами находятся четыре одинаковых резистора. С помощью омметра измеряется сопротивление между выводами 1 и 2 (рис.). При этих измерениях поочерёдно соединялись накоротко выводы 1–3, 2–3 и 2–4. Результаты измерений следующие: \(R_{13} = 3\) Ом, \(R_{23} = 3\) Ом, \(R_{24} = 4\) Ом, \(R_{00} = 4\) Ом. Индексы указывают, какие выводы «чёрного ящика» были закорочены при данном измерении. Индекс «00» означает, что никакие два вывода не соединялись накоротко.
Расшифруйте по этим данным схему «чёрного ящика» и определите сопротивление \(R\) резисторов, а также \(R_{14}\) и \(R_{34}\).
▶ПодсказкаСкрыть
Закорачивание 2–4 не меняет показания, значит, между выводами 2 и 4 есть свой резистор, не влияющий на цепь между 1 и 2 без замыкания. Перебирайте схемы из четырёх одинаковых резисторов и сравнивайте отношения \(R_{13}:R_{00}\).
▶ОтветСкрыть
Возможны две схемы «черного ящика». Для первой из них (рис. 10) \(R = 6\) Ом, \(R_{14} = 2{,}4\) Ом, \(R_{34} = 3{,}6\) Ом. Для второй (рис. 11) \(R = 2\) Ом, \(R_{14} = \dfrac43\) Ом, \(R_{34} = \dfrac{10}{3}\) Ом.
зад 4 Удельная теплоёмкость свинца
На олимпиаде по физике участникам было предложено выполнить следующий эксперимент. Пенопластовый стакан ёмкостью \(V_0\), закрытый сверху пенопластовой крышкой, в которую вставлен термометр, заполнялся горячей водой, и, по мере остывания воды, снималась зависимость её температуры \(T\) от времени \(t\). Затем в стакан помещался кусок свинца плотностью \(\rho = 11{,}3\cdot10^3\) кг/м\(^3\) и объёмом \(V = V_0/2\), стакан доверху заполнялся горячей водой, и вновь снималась зависимость \(T(t)\). Аккуратный ученик изобразил оба графика на одном листе миллиметровой бумаги (кривые I и II на рисунке).
Принимая удельную теплоёмкость воды равной \(c_0 = 4{,}2\cdot10^3\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C), определите по этим экспериментальным кривым удельную теплоёмкость \(c\) свинца. Плотность воды \(\rho_0 = 1{,}0\cdot10^3\) кг/м\(^3\). Теплоёмкостью стенок стакана и крышки можно пренебречь. Температуру в комнате, где проводился эксперимент, считайте постоянной.
▶ПодсказкаСкрыть
Теплоотдача через стенки при одной и той же температуре одинакова в обоих опытах, поэтому скорости остывания при одинаковой температуре обратно пропорциональны полным теплоёмкостям содержимого стакана. Сравните наклоны кривых в точках с равной температурой.
▶ОтветСкрыть
\(c = (0{,}13 \pm 0{,}01)\cdot10^3\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2004/05, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.