зад 1 Пружина, связанная нитями
К невесомой пружине, имеющей 500 витков, подвесили груз, в результате чего она удлинилась на \(x_0 = 10\) см. Затем груз убрали и нерастяжимыми нитями связали виток №100 с витком №300, а виток №200 с витком №400 (рис.). Длина каждого куска нити равна длине участка пружины между связываемыми витками в свободном состоянии. На какую величину \(x\) удлинится пружина при наличии нитей, если к ней подвесить тот же груз?
▶ПодсказкаСкрыть
Разбейте пружину на пять участков по 100 витков. Участки 100–200 и 300–400 не могут растянуться дальше, чем позволяют нити; выясните, какие нити натянуты, и запишите равновесие для каждого участка с учётом сил натяжения нитей.
▶ОтветСкрыть
\(x = \dfrac{7}{15}x_0 = \dfrac{14}{3}\) см
зад 2 Обруч на клине
На горизонтальной поверхности находится клин массой \(m\) с углом \(\alpha = 45^\circ\) при основании. На клин ставят обруч той же массы радиусом \(R\). Систему отпускают без начальной скорости.
Найдите ускорение \(a_1\) центра обруча при достаточно большом коэффициенте трения \(\mu\) между клином и горизонтальной поверхностью (клин неподвижен).
При каком минимальном значении \(\mu\) клин останется неподвижным?
С каким ускорением \(a_2\) будет двигаться клин в случае гладкой горизонтальной поверхности?
▶ПодсказкаСкрыть
Для обруча момент инерции \(mR^2\), поэтому при качении без проскальзывания сила трения о клин равна половине скатывающей силы. В третьем пункте перейдите в систему отсчёта клина и учтите силу инерции; связь ускорений задаёт условие качения по поверхности клина.
▶ОтветСкрыть
1) \(a_1 = \dfrac{1}{2}g\sin\alpha = \dfrac{g}{2\sqrt2}\); 2) \(\mu_{\min} = \dfrac{\sin\alpha\cos\alpha}{3 + \cos^2\alpha} = \dfrac{1}{7}\); 3) \(a_2 = \dfrac{g\sin\alpha\cos\alpha}{3 + \sin^2\alpha} = \dfrac{g}{7}\)
зад 3 Газ через микротрещину
На поверхность планеты, атмосфера которой имеет среднюю молярную массу \(\mu = 43\) г/моль и состоит только из аргона и углекислого газа (молярные массы \(\mu_1 = 40\) г/моль и \(\mu_2 = 44\) г/моль соответственно), опустился космический аппарат с вакуумированной полостью. От удара о поверхность планеты в стенке полости образовалась микротрещина, размеры которой меньше длины свободного пробега молекулы. Через неё в полость начал поступать газ из атмосферы планеты. Определите отношение \(\alpha\) концентраций аргона и углекислого газа в полости космического аппарата через малый промежуток времени после образования микротрещины. Для простоты вычислений считайте, что все молекулы газа имеют одинаковую кинетическую энергию.
▶ПодсказкаСкрыть
По средней молярной массе найдите отношение концентраций компонент атмосферы. Поток молекул через отверстие, меньшее длины свободного пробега, пропорционален концентрации и скорости молекул, а при равной кинетической энергии скорость обратно пропорциональна корню из массы.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha = \dfrac{\mu_2 - \mu}{\mu - \mu_1}\sqrt{\dfrac{\mu_2}{\mu_1}} \approx 0{,}35\)
зад 4 Сосуд на поршне
Сосуд, состоящий из двух цилиндрических участков разного диаметра, запаян с узкого конца. Широкой частью он насажен на гладкий неподвижный поршень (рис.). Образовавшаяся герметичная полость частично заполнена водой, так что вода присутствует и в верхней части сосуда, а остальной объём занимает воздух при давлении \(p_0 = 140\) кПа. Система находится в равновесии. На торец узкой части сосуда поместили гирю массой, равной массе пустого сосуда. Когда система вновь пришла в равновесие при неизменной температуре, оказалось, что сосуд опустился на \(\Delta h = 7\) см. Найдите в этом состоянии высоту \(x\) столба воздуха в сосуде. Полная длина узкой части сосуда \(H = 5\) м, площадь её поперечного сечения составляет \(\alpha = 0{,}1\) от площади сечения широкой части. Атмосферное давление \(p_{\text{атм}} = 1~\text{атм} = 100\) кПа.
▶ПодсказкаСкрыть
Условие равновесия сосуда: вес сосуда (и гири) уравновешивается разностью давлений воздуха в запаянном торце и атмосферы, действующей на площадь узкой части. Отсюда находятся давление воздуха до и после, а изотермический закон и сохранение объёма воды связывают \(x\) со смещением \(\Delta h\).
▶ОтветСкрыть
\(x = 1{,}74\) м
зад 5 Четыре пластины
Четыре пластины 1, 2, 3 и 4 площадью \(S\) расположены параллельно друг другу на расстояниях \((1 - x)l\), \(xl\) и \((1 - x)l\), малых по сравнению с размерами пластин (рис.). К пластинам 1 и 3 подключена батарейка с ЭДС \(\mathcal{E}\), резистор \(R_1\) и ключ \(K_1\), к пластинам 2 и 4 — ключ \(K_2\) и резистор \(R_2\). В начальный момент времени ключи разомкнуты, пластины не заряжены.
Ключ \(K_1\) замыкают. Какими будут заряды на пластинах после установления равновесия? Какое количество теплоты \(Q_0\) выделится на резисторе \(R_1\)?
После установления равновесия замыкают ключ \(K_2\). Найдите установившиеся заряды на пластинах и суммарное количество теплоты \(Q\), которое выделится на резисторах \(R_1\) и \(R_2\) после замыкания ключа \(K_2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Пластины 2 и 4 после замыкания \(K_2\) имеют равные потенциалы, а суммарный заряд пары 2–4 равен нулю; разность потенциалов между 1 и 3 задаёт батарейка. Теплоту найдите из закона сохранения энергии с учётом работы батарейки.
▶ОтветСкрыть
1) \(q_0 = \dfrac{\varepsilon_0 S\mathcal{E}}{l}\), \(Q_0 = \dfrac{\varepsilon_0 S\mathcal{E}^2}{2l}\); 2) \(q_1 = \dfrac{\varepsilon_0 S\mathcal{E}}{(1 - x^2)l}\), \(q_2 = \dfrac{x\varepsilon_0 S\mathcal{E}}{(1 - x^2)l}\), \(Q = \dfrac{x^2}{1 - x^2}\dfrac{\varepsilon_0 S\mathcal{E}^2}{2l}\)
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2005/06, федеральный окружной этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.