зад 1 Муха в паутине
Паук сплёл паутинку в виде правильного шестиугольника со стороной \(l = 45\) см (рис.) и закрепил крайние точки радиальных нитей радиусом \(r = 0{,}01\) мм так, что сила их натяжения оказалась равна \(F_0 = 6\) мН. Считайте деформации паутины упругими, а её модуль Юнга \(E = 2\cdot 10^8\) Па. При относительном удлинении, превышающем \(\varepsilon_{\max} = 0{,}2\), нить паутины рвётся.
Найдите максимальную массу \(M\) мухи, которая, попав в паутину, не порвёт её, если скорость мухи \(v = 2\) м/с. Считайте, что муха попадает в центр паутины перпендикулярно её плоскости.
В центр паутины попалась муха массой \(m = 0{,}1\) г. Найдите период \(T\) малых колебаний мухи вдоль перпендикуляра к плоскости паутины. Попав в паутину, махать крыльями муха не может.
▶ПодсказкаСкрыть
Нагрузку несут шесть радиальных нитей длины \(l\) с жёсткостью \(E\pi r^2/l\). Кинетическая энергия мухи переходит в прирост упругой энергии нитей от начального удлинения до предельного. При малых поперечных смещениях возвращающая сила определяется натяжением \(F_0\), а не изменением длины.
▶ОтветСкрыть
1) \(M = \dfrac{6\pi r^2El}{v^2}\left(\varepsilon_{\max}^2 - \left(\dfrac{F_0}{\pi r^2E}\right)^2\right) \approx 1{,}3\) г; 2) \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{ml}{6F_0}} \approx 0{,}22\) с
зад 2 Полупроницаемые поршни
В цилиндре, температура \(T\) которого поддерживается постоянной, находятся \(\nu_X\) молей идеального газа \(X\) и \(\nu_Y\) молей идеального газа \(Y\). В цилиндр вдвинуты два полупроницаемых поршня (рис.), первый из которых пропускает только молекулы газа \(X\), а второй — только молекулы газа \(Y\). В начальный момент времени поршни расположены так, что они касаются друг друга и чистые вещества \(X\) и \(Y\) занимают объёмы \(V_{X0}\) и \(V_{Y0}\). Поршни начинают медленно раздвигать, и в конце процесса образуется смесь газов \(X\) и \(Y\) объёма \(V_{X0} + V_{Y0}\). Какая суммарная работа \(A\) совершается газами в данном процессе?
Примечание. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(y = 1/x\) и прямыми \(y = 0\), \(x = x_1\) и \(x = x_2\), составляет \(S(x_1, x_2) = \ln\dfrac{x_2}{x_1}\).
▶ПодсказкаСкрыть
Каждый газ «не замечает» поршня, проницаемого для него, и давит только на другой поршень. Поэтому каждый газ независимо изотермически расширяется от своего начального объёма до полного объёма цилиндра.
▶ОтветСкрыть
\(A = \nu_XRT\ln\dfrac{V_{X0} + V_{Y0}}{V_{X0}} + \nu_YRT\ln\dfrac{V_{X0} + V_{Y0}}{V_{Y0}}\)
зад 3 Сдувающийся мыльный пузырь
Найдите скорость \(u\) уменьшения радиуса \(R\) мыльного пузыря при его сдувании через трубку радиусом \(r \ll R\). Объём трубки пренебрежимо мал по сравнению с объёмом пузыря, воздух в пузыре можно считать неподвижным. Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора \(\sigma\). Считайте, что при истечении из пузыря воздух ведёт себя как идеальная невязкая несжимаемая жидкость плотностью \(\rho\).
▶ПодсказкаСкрыть
Избыточное давление в пузыре создают две поверхности плёнки: \(4\sigma/R\). По уравнению Бернулли оно задаёт скорость струи в трубке, а расход воздуха через трубку равен скорости уменьшения объёма пузыря.
▶ОтветСкрыть
\(u = \dfrac{r^2}{R^{5/2}}\sqrt{\dfrac{\sigma}{2\rho}}\)
зад 4 Заряды у проводящей сферы
Внутри тонкостенной незаряженной проводящей сферы радиусом \(R\) находится точечный заряд \(Q_1\) на расстоянии \(R/3\) от центра сферы \(O\) (рис.). Снаружи сферы находится точечный заряд \(Q_2\) на расстоянии \(2R\) от центра сферы. Сфера расположена на расстоянии от Земли значительно большем \(R\) и соединена с Землёй через источник с ЭДС \(\mathcal{E}\) и ключ \(K\). Потенциал Земли примите равным нулю.
Найдите потенциал \(\varphi\) в центре сферы при разомкнутом ключе \(K\).
Найдите заряд \(Q\) сферы после замыкания ключа \(K\) и наступления равновесия.
▶ПодсказкаСкрыть
Потенциал в центре — сумма вкладов точечных зарядов и зарядов сферы; все заряды сферы находятся на расстоянии \(R\) от центра, поэтому их вклад зависит только от полного заряда сферы, как бы он ни был распределён. После замыкания ключа потенциал самой сферы равен ЭДС; заряды \(Q_1\) и наведённый на внутренней поверхности \(-Q_1\) вне полости поля не создают, поэтому потенциал проводника определяется зарядом внешней поверхности и зарядом \(Q_2\).
▶ОтветСкрыть
1) \(\varphi = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0R}\left(3Q_1 + \dfrac{Q_2}{2}\right)\); 2) \(Q = 4\pi\varepsilon_0R\mathcal{E} - Q_1 - \dfrac{Q_2}{2}\)
зад 5 Провод внутри соленоида
Электрическая цепь состоит из двух резисторов сопротивлениями \(R_1\) и \(R_2\) и конденсатора ёмкостью \(C\) (рис.). Участок \(AB\) провода проходит вдоль диаметра одного из витков длинного соленоида, сила тока в котором линейно растёт со временем. Найдите заряд \(q\) конденсатора в установившемся режиме, если ток в резисторе \(R_1\) при этом равен \(I_1\).
▶ПодсказкаСкрыть
Магнитный поток через соленоид растёт равномерно, и ЭДС индукции в каждом контуре равна скорости изменения потока через его часть, лежащую внутри соленоида. Провод \(AB\) делит сечение витка пополам, так что левый и правый контуры охватывают по половине потока. Ток через конденсатор в установившемся режиме равен нулю.
▶ОтветСкрыть
\(q = \dfrac{1}{2}CI_1|R_1 - R_2|\)
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2005/06, федеральный окружной этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.