зад 1 Эшелон
На горизонтальном столе один на другом лежат \(N = 42\) длинных бруска массами \(m\), \(2m\), \(3m\), …, \(42m\) (рис.). Они смазаны вязким маслом, так что сила трения между брусками и между нижним бруском и столом пропорциональна относительной скорости \(u\) соприкасающихся брусков: \(\vec F_{\text{тр}} = -\alpha\vec u\), где \(\alpha\) — некоторая константа. Сначала все бруски неподвижны, затем верхнему бруску сообщают горизонтальную скорость \(\vec v\). Определите смещение \(n\)-го бруска относительно \((n + 1)\)-го бруска после остановки брусков. Какой вид примет стопа брусков после остановки?
▶ПодсказкаСкрыть
Сила вязкого трения пропорциональна относительной скорости, поэтому импульс, переданный через границу двух брусков, пропорционален их относительному смещению. Примените закон изменения импульса к верхним \(n\) брускам вместе.
▶ОтветСкрыть
\(x = \dfrac{mv}{\alpha}\); после остановки система будет иметь вид «лесенки» с шагом \(x\).
зад 2 Неустойчивое равновесие
В горизонтальном колене запаянной теплоизолированной П-образной трубки небольшого постоянного поперечного сечения \(S\) с длиной колена \(L\) расположена жидкость плотностью \(\rho\) (рис.). Теплоёмкость всей жидкости в трубке равна \(C\). В вертикальных коленах находится по \(\nu\) молей гелия под давлением \(p_0\). Из-за слабого толчка равновесие нарушилось. Пренебрегая теплообменом с окружающей средой, найдите расстояние \(x\), на которое сместится столбик жидкости к моменту установления термодинамического равновесия. Поперечное сечение трубки столь мало, что пузырьки газа не «пробулькивают» сквозь жидкость, сместившуюся в вертикальное колено.
▶ПодсказкаСкрыть
В конце газ по обе стороны имеет общую температуру, а разность давлений уравновешена весом вертикального столбика длины \(x\). Убыль потенциальной энергии жидкости идёт на нагрев жидкости и гелия (внутренняя энергия гелия \(\frac32\nu RT\) в каждом колене).
▶ОтветСкрыть
\(x = L\sqrt{\dfrac{3\nu R + C}{4\nu R + C}\left(1 - \dfrac{2p_0}{\rho g L}\right)}\), где \(R\) — универсальная газовая постоянная.
зад 3 Наибольший КПД
Рассмотрите два цикла, совершаемых над идеальным газом (рис.). В первом из них газ адиабатически сжимают из состояния 1 до состояния 2, затем изотермически расширяют до состояния 3 и наконец изохорически возвращают в исходное состояние 1. КПД такого цикла обозначим \(\eta_V\). Во втором цикле газ адиабатически сжимают из состояния 1 до состояния 2, затем изотермически расширяют до состояния 4 и наконец изобарически возвращают в исходное состояние 1. КПД такого цикла обозначим \(\eta_p\). Сравните \(\eta_V\) и \(\eta_p\).
Примечание. В адиабатическом процессе \(pV^\gamma = \text{const}\), где \(\gamma = C_p/C_V\). При изотермическом расширении идеального газа от объёма \(V_a\) до объёма \(V_b\) им совершается работа \(A_{ab} = \nu RT\ln\dfrac{V_b}{V_a}\).
▶ПодсказкаСкрыть
В обоих циклах тепло получается только на изотерме \(T_2\), а отдаётся на изохоре или изобаре. Выразите через температуры \(T_1\), \(T_2\) и показатель \(\gamma\) отношения объёмов на изотермах (используя адиабату 1–2) и сравните работы и полученные теплоты.
▶ОтветСкрыть
\(\eta_p = \eta_V\).
зад 4 Притяжение одноименных зарядов
Распространено мнение, что тела с одноимёнными зарядами всегда отталкиваются друг от друга. Вовсе нет! Такой эффект наблюдается далеко не всегда. Представьте себе, что сплошной металлический шар радиуса \(R\) распилили пополам, а получившиеся половины сблизили плоскими сторонами так, что зазор \(d\) между ними оказался предельно мал (\(d \ll R\)). Найдите силу электростатического взаимодействия полушарий с одноимёнными зарядами \(q_1\) и \(q_2\) (рис.). При каком отношении зарядов они будут притягиваться?
Примечание. Сила, действующая на единицу поверхности заряженного проводника произвольной формы, связана с напряжённостью электрического поля вблизи поверхности тем же соотношением, что и в плоском конденсаторе.
▶ПодсказкаСкрыть
Снаружи поле такое же, как у шара с зарядом \(q_1 + q_2\), равномерно распределённым по сфере, а в узком зазоре — однородное, как в плоском конденсаторе; заряд \(q_1\) делится между наружной полусферой и плоской гранью. Суммируйте давления \(\sigma^2/(2\varepsilon_0)\) на все поверхности одного полушария.
▶ОтветСкрыть
\(F = \dfrac{(3q_2 - q_1)(3q_1 - q_2)}{32\pi\varepsilon_0 R^2}\); заряды должны отличаться более чем втрое.
зад 5 Полубесконечная цепочка
На рисунке изображена полубесконечная цепочка, состоящая из одинаковых источников постоянного тока с ЭДС \(\mathcal{E} = 1{,}2\) В и внутренним сопротивлением \(r = 2{,}0\) Ом. К входным клеммам цепочки с помощью перекидного ключа \(K\) могут быть подключены либо идеальный вольтметр \(V\), либо идеальный амперметр \(A\). Определите показания этих приборов.
▶ПодсказкаСкрыть
Замените всю цепочку эквивалентным источником с ЭДС \(\mathcal{E}_x\) и внутренним сопротивлением \(r_x\). Отбросив первое звено, получаем ту же самую полубесконечную цепочку — это даёт уравнения для \(\mathcal{E}_x\) и \(r_x\).
▶ОтветСкрыть
\(U_{\text{V}} = -\dfrac{2\mathcal{E}}{1 + \sqrt5} \approx -0{,}74\) В; \(I_{\text{A}} = -\dfrac{4\mathcal{E}}{\left(1 + \sqrt5\right)^2 r} \approx -0{,}23\) А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2005/06, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.