зад 1 Разорвавшийся снаряд
Пушечный снаряд массой \(M = 100\) кг разорвался в некоторой точке траектории на два осколка, разлетевшихся с импульсами \(p_1 = 3{,}6\cdot10^4\) кг\(\cdot\)м/c и \(p_2 = 2{,}4\cdot10^4\) кг\(\cdot\)м/c. Импульсы осколков направлены под углом \(\alpha = 60^\circ\) друг к другу. Определите, при каком отношении масс осколков выделившаяся при взрыве кинетическая энергия будет минимальной. Найдите эту энергию.
▶ПодсказкаСкрыть
Выделившаяся энергия — это \(\dfrac{p_1^2}{2m_1} + \dfrac{p_2^2}{2m_2} - \dfrac{(\vec p_1 + \vec p_2)^2}{2M}\) при \(m_1 + m_2 = M\); минимизируйте первые два слагаемых по распределению массы.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{m_2}{m_1} = \dfrac23\); \(W_{\min} = \dfrac{p_1p_2(1 - \cos\alpha)}{M} = 4{,}32\cdot10^6\) Дж.
зад 2 Шайба на привязи
Круглый вертикальный цилиндр радиусом \(R\) прикреплён к горизонтальной плоскости (рис.). Внизу с боковой поверхностью цилиндра соединена нерастяжимая нить длиной \(L\), направленная по касательной к поверхности цилиндра. На другом конце нити закреплена маленькая шайба. Шайбе сообщают горизонтальную скорость \(v_0\), направленную перпендикулярно нити, и шайба начинает скользить по плоскости.
Сколько времени будет продолжаться движение шайбы (наматывание нити на цилиндр) в отсутствие трения?
Сколько времени будет продолжаться движение шайбы при наличии трения между шайбой и плоскостью? Коэффициент трения равен \(\mu\).
▶ПодсказкаСкрыть
Натяжение нити всё время перпендикулярно скорости шайбы, поэтому без трения скорость постоянна, а шайба мгновенно вращается вокруг точки касания с радиусом, равным свободной длине нити. С трением скорость убывает равномерно; сравните время торможения со временем полного наматывания нити.
▶ОтветСкрыть
1) \(t = \dfrac{L^2}{2Rv_0}\); 2) если \(v_0 \leqslant L\sqrt{\dfrac{\mu g}{R}} = v^*\), то \(t = \dfrac{v_0}{\mu g}\); если \(v_0 \geqslant v^*\), то \(t = \dfrac{v_0}{\mu g}\left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{\mu g L^2}{v_0^2 R}}\right)\).
зад 3 Два термодинамических процесса
На рисунке изображена система, состоящая из баллона объёмом \(V_0 = 0{,}2\) м\(^3\) и цилиндра с поршнем. Начальный объём баллона и цилиндра \(V_1 = kV_0\), где \(k = 2{,}72\). В системе находится воздух под давлением \(p_0 = 10^5\) Па и при температуре \(T_0 = 300\) К, равной температуре наружного воздуха. Передвигая поршень, весь воздух из цилиндра закачивают в баллон. Определите количество теплоты, которое передаётся окружающей среде в следующих двух случаях.
Поршень передвигается медленно, так что в каждый момент времени вся система находится в тепловом равновесии с окружающей средой.
Поршень передвигается достаточно быстро, так что за время его перемещения можно пренебречь теплообменом с окружающей средой, но воздух внутри системы в каждый момент времени находится в равновесном состоянии. После завершения процесса перекачки температура воздуха в баллоне постепенно сравнивается с температурой окружающего воздуха.
Примечание. Адиабатический процесс описывается уравнением \(pV^\gamma = \text{const}\), где параметр \(\gamma = 7/5\).
▶ПодсказкаСкрыть
В первом случае сжатие изотермическое: отданное тепло равно работе внешних сил. Во втором — адиабатическое сжатие до объёма \(V_0\), а затем остывание при постоянном объёме: отданное тепло равно приросту внутренней энергии при сжатии.
▶ОтветСкрыть
1) \(Q = p_0kV_0\ln k = 0{,}54\cdot10^5\) Дж; 2) \(Q = \dfrac52 p_0kV_0\left(k^{\gamma-1} - 1\right) = 6{,}69\cdot10^4\) Дж.
зад 4 Исследование конденсатора
Для определения ёмкости \(C_2\) и сопротивления утечки \(r_2\) конденсатора собрана мостовая схема (рис.), которая сбалансирована при подключении гармонического переменного напряжения. Оказалось, что баланс моста не нарушается при любом изменении частоты напряжения. Чему равны параметры \(C_2\) и \(r_2\), если известно, что \(r_1 = 2500\) Ом, \(r_3 = 10\) Ом, \(L_3 = 1\) Гн, \(r_4 = 800\) Ом? Гальванометр измеряет действующее значение силы тока.
▶ПодсказкаСкрыть
Условие баланса моста переменного тока — равенство произведений комплексных сопротивлений противоположных плеч. Оно должно выполняться при всех частотах, поэтому приравняйте отдельно члены без частоты и члены, пропорциональные \(\omega\).
▶ОтветСкрыть
\(C_2 = \dfrac{L_3}{r_1r_4} = 0{,}5\) мкФ; \(r_2 = \dfrac{r_1r_4}{r_3} = 200\) кОм.
зад 5 У торца соленоида
У торца вертикально расположенного длинного соленоида на тонком немагнитном листе лежит соосно с соленоидом круглое тонкое кольцо из сверхпроводника (рис.). В начальном состоянии сила тока в витках соленоида и сила тока в кольце равны нулю. При протекании тока по виткам соленоида вблизи торца возникает неоднородное магнитное поле. Вертикальную \(B_z\) и радиальную \(B_r\) составляющие вектора магнитной индукции \(\vec B\) можно в некоторой ближней области задать с помощью соотношений \(B_z \approx B_0(1 - \alpha z)\), \(B_r \approx B_0\beta r\), где \(\alpha\) и \(\beta\) — некоторые константы, а \(B_0\) определяется силой тока в соленоиде. По виткам соленоида начинают пропускать ток силой \(I\), постепенно увеличивая его значение. Определите:
критическое значение силы тока \(I_0\) в соленоиде, при котором кольцо начинает подниматься над опорой;
высоту кольца над опорой при \(I = 2I_0\);
частоту малых колебаний сверхпроводящего кольца при \(I = 2I_0\).
▶ПодсказкаСкрыть
Магнитный поток через сверхпроводящее кольцо сохраняется (был нулевым), откуда ток кольца \(I_{\text{к}} = B_zS/L\). Вертикальная сила Ампера создаётся радиальной составляющей поля: \(F = I_{\text{к}}B_r\cdot 2\pi r\); приравняйте её \(mg\) и разложите вблизи равновесия.
▶ОтветСкрыть
1) \(I_0 = \sqrt{\dfrac{mgL}{2\beta}}\,\dfrac{2}{\mu_0nS} = 11{,}1\) А; 2) \(z = \dfrac{3}{4\alpha} = 2{,}08\) см; 3) \(f = \dfrac{\sqrt{\alpha g}}{\pi} = 6\) Гц.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2005/06, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.