зад 1 Максимальная амплитуда
Брусок массой \(M\), покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из груза массой \(m\) и лёгкой длинной пружины, связаны лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный неподвижный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола \(\mu = 0{,}3\). Отношение массы бруска к массе груза \(M/m = 8\). Груз совершает вертикальные колебания с периодом \(T = 0{,}5\) c. Какова максимально возможная амплитуда \(A_{\text{m}}\) таких колебаний, при которых они остаются гармоническими?
▶ПодсказкаСкрыть
Колебания остаются гармоническими, пока брусок неподвижен и нить натянута. Выпишите оба условия: натяжение нити не превышает максимальной силы трения покоя и не обращается в нуль.
▶ОтветСкрыть
\(x_m = \dfrac{gT^2}{4\pi^2} = 6{,}3\) см.
зад 2 Курсирующий катер
По реке, скорость течения которой \(u\), навстречу друг другу плывут два однотипных теплохода. В некоторый момент времени, когда один из теплоходов проплывал мимо пункта \(A\), а другой — мимо пункта \(B\), из \(A\) в \(B\) отплыл быстроходный катер, который стал курсировать между теплоходами вплоть до их встречи. Какой путь \(L_x\) относительно берега реки проплыл катер? Расстояние от \(A\) до \(B\) вдоль фарватера реки равно \(L\). В стоячей воде скорость теплоходов равна \(v\), а катера — \(V\). Пункт \(A\) находится выше пункта \(B\) по течению реки. Как изменится ответ, если катер стартует из пункта \(B\)?
▶ПодсказкаСкрыть
В системе отсчёта воды теплоходы сближаются со скоростью \(2v\), и время до встречи не зависит от течения. Разбейте время движения катера на участки «по течению» и «против течения» и найдите их суммарные длительности.
▶ОтветСкрыть
\(l_1 = L\dfrac{V^2 + uv}{2vV}\); \(l_2 = L\dfrac{V^2 - uv}{2vV}\).
зад 3 Терморезистор
На дне калориметра закреплён тонкий плоский нагревательный элемент, а на некотором уровне над ним — терморезистор, сопротивление \(R\) которого зависит от температуры \(t\), выраженной в \(^\circ\)C, по закону \(R = R_0(1 + \alpha t)\), где \(R_0\) и \(\alpha\) не зависят от температуры (параметр \(\alpha\) называется температурным коэффициентом сопротивления). В калориметре находится лёд. Его удельная теплота плавления \(\lambda = 340\) кДж/кг. Удельная теплоёмкость воды \(c = 4{,}2\) кДж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C). Если через нагревательный элемент пустить ток силой \(I_0\), сопротивление \(R\) будет изменяться со временем так, как показано на графике. Найдите \(\alpha\). Изобразите график зависимости \(R(\tau)\), если бы через нагревательный элемент пропускали ток силой \(I = 1{,}41I_0\).
▶ПодсказкаСкрыть
Горизонтальный участок графика — плавление льда при \(0\,^\circ\)C, наклонный — нагрев воды. Мощность нагревателя одна и та же, поэтому отношение времён нагрева и плавления связывает \(c\Delta t\) и \(\lambda\); мощность растёт как квадрат силы тока.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha = \dfrac{\Delta R}{R_0}\dfrac{c}{\lambda}\dfrac{\tau_{\text{пл}}}{\Delta\tau} = 0{,}021\ (^\circ\text{C})^{-1}\), где \(\dfrac{\Delta R}{R_0} = 0{,}068\), \(\tau_{\text{пл}} = 600\) с и \(\Delta\tau = 24\) с (все эти данные получены из графика); см. рисунок.
зад 4 Цепь с двумя ключами
На рисунке изображена цепь, содержащая идеальный амперметр \(A\), резисторы сопротивлением \(R\) и \(2R\), ключи \(K_1\) и \(K_2\). Цепь подключена к источнику постоянного напряжения \(U\). Какую силу тока будет показывать амперметр при различных комбинациях ключей \(K_1\) и \(K_2\) (замкнуто — разомкнуто)? Какими будут направления тока на участке \(BD\) в различных случаях? В каком случае показания амперметра окажутся максимальными?
▶ПодсказкаСкрыть
Замкнутый ключ \(K_2\) соединяет точки \(G\) и \(B\) накоротко, и тогда положение \(K_1\) не важно. В остальных случаях найдите потенциалы точек \(B\) и \(D\) как делители напряжения или по правилам Кирхгофа.
▶ОтветСкрыть
Если ключ \(K_1\) замкнут, а ключ \(K_2\) разомкнут, то \(I = 0\); если \(K_1\) и \(K_2\) разомкнуты, то ток течет от \(D\) к \(B\) и равен \(I = \dfrac{U}{8R}\); если \(K_2\) замкнут, а положение \(K_1\) произвольное, то ток течет от \(B\) к \(D\) и равен \(I = \dfrac{2U}{5R}\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2005/06, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.