зад 1 Канат на блоке
Однородный нерастяжимый канат линейной плотностью \(\rho\) (кг/м) тянут через блок радиусом \(r\) (рис.). В некоторый момент разность длин свисающих кусков равна \(h\), а левый конец каната движется вниз со скоростью \(v\) и ускорением \(a\). Найдите горизонтальную \(F_x\) и вертикальную \(F_y\) проекции суммы всех сил, действующих на канат в этот момент времени. Свисающие концы каната движутся по вертикали.
▶ПодсказкаСкрыть
Сумма сил равна скорости изменения импульса каната. Разбейте канат на прямые куски и полуокружность: у прямых кусков меняются длина и скорость, а элементы на дуге имеют и касательное, и центростремительное ускорение.
▶ОтветСкрыть
\(F_x = 2\rho r a\), \(F_y = \rho\left(ha + 2v^2\right)\)
зад 2 Шарик в канале бруска
Брусок массой \(M\) покоится на гладкой горизонтальной поверхности. В бруске просверлен тонкий канал, состоящий из трёх участков: горизонтального, вертикального и плавно их соединяющего изогнутого участка (рис.). В канал влетает с некоторой горизонтальной скоростью маленький шарик массой \(m\). В процессе движения шарик поднимается до максимальной высоты \(H\) в вертикальном канале. Определите скорости \(v_1\) шарика и \(v_2\) бруска сразу после того как шарик выскользнет из канала. Трение не учитывайте.
▶ПодсказкаСкрыть
В верхней точке подъёма шарик движется по горизонтали вместе с бруском. Сохраняются горизонтальная проекция импульса и механическая энергия; после возвращения шарика это задача об упругом ударе.
▶ОтветСкрыть
\(v_1 = \dfrac{m - M}{m + M}\sqrt{\dfrac{2gH(M + m)}{M}}\), \(v_2 = \dfrac{2m}{m + M}\sqrt{\dfrac{2gH(M + m)}{M}}\)
зад 3 Поршень со штоком
К поршню, который делит герметичный горизонтальный цилиндр на два отсека равной длины, прикреплён шток, проходящий через отверстие в торце цилиндра (рис.). Начальное давление воздуха в отсеках одинаково и равно внешнему. Найдите, на какую долю \(x\) первоначальной длины отсека сместится поршень, если внешнее давление изменить в \(n\) раз. Проведите расчёт для \(n_1 = 50\) и \(n_2 = 1/50\). Отношение площади \(s\) штока к площади \(S\) поршня: \(\alpha = s/S = 0{,}02\). Температура воздуха в цилиндре поддерживается постоянной. Трение не учитывайте.
▶ПодсказкаСкрыть
Со стороны штока газ давит на площадь \(S - s\), а на торец штока действует внешнее давление на площади \(s\). Запишите закон Бойля–Мариотта для каждого отсека (учтя, что в отсеке со штоком объём пропорционален \(S - s\)) и условие равновесия поршня со штоком.
▶ОтветСкрыть
\(x = \dfrac{\alpha - 2 + \sqrt{(2 - \alpha)^2 + 4n(n - 1)\alpha^2}}{2n\alpha}\); \(x_1 \approx 0{,}41\); \(x_2 \approx -0{,}01\)
зад 4 Гелий под поршнем с гирей
Гелий в количестве \(\nu\) молей находится в теплоизолированном вертикальном сосуде под поршнем, на котором стоит гиря, масса которой в \(\alpha\) раз больше массы поршня (рис.). Над поршнем вакуум. Если к гелию медленно подвести теплоту \(Q\), объём гелия увеличится на такую же величину, как если бы вместо подведения тепла гирю быстро сняли. Найдите изменение \(\Delta T_2\) температуры гелия во втором процессе. Гелий можно считать идеальным газом.
▶ПодсказкаСкрыть
Первый процесс изобарный: по \(Q\) найдите \(\Delta V\). Во втором процессе после снятия гири газ расширяется против постоянного давления, создаваемого одним поршнем; работа газа идёт на подъём поршня, а по первому началу она равна убыли внутренней энергии.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta T_2 = -\dfrac{4Q}{15(\alpha + 1)\nu R}\)
зад 5 Крупинка в конденсаторе
Плоский конденсатор подключён к источнику постоянного напряжения \(U\). Пластины конденсатора расположены вертикально и имеют форму прямоугольников высотой \(H\) (рис.). Точно над центром конденсатора на высоте \(h\) над верхними краями пластин удерживают крупинку, имеющую массу \(m\) и несущую заряд \(q\). Крупинку отпускают, и она начинает падать в поле тяжести \(g\). При каком минимальном расстоянии \(d\) между пластинами крупинка сможет пролететь через конденсатор, не задев пластин? Краевые эффекты и сопротивление воздуха не учитывайте.
▶ПодсказкаСкрыть
Движения по вертикали и горизонтали независимы: по вертикали — свободное падение, по горизонтали внутри конденсатора — равноускоренное движение под действием силы \(qU/d\). Найдите время пролёта между пластинами и потребуйте, чтобы горизонтальное смещение за это время не превысило \(d/2\).
▶ОтветСкрыть
\(d_{\min} = \sqrt{\dfrac{2|q|U}{mg}}\left(\sqrt{H + h} - \sqrt{h}\right)\)
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2006/07, федеральный окружной этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.