зад 1 Канат в изогнутой трубе
Симметричная жёстко закреплённая труба состоит из трёх частей: двух прямых вертикальных участков \(AB\) и \(CD\) и соединяющего их участка \(BC\), имеющего форму полуокружности (рис.). Через трубу пропущен однородный тяжёлый канат, который может двигаться внутри неё без трения. В начальный момент времени его концы находятся на одной высоте. Вследствие пренебрежимо малого внешнего воздействия канат начинает соскальзывать в одну из сторон. Найдите ускорение \(a\) концов каната и долю \(k\) длины каната, на которую опустится один из его концов, в тот момент, когда вертикальная составляющая силы, действующей на канат со стороны трубы, станет равна нулю. Длиной изогнутого участка трубы можно пренебречь по сравнению с длиной вертикальных кусков каната в любой момент времени.
▶ПодсказкаСкрыть
Ускорение концов найдите из второго закона Ньютона для всего каната, скорость — из закона сохранения энергии. Вертикальная сила со стороны трубы равна скорости изменения вертикального импульса каната минус сила тяжести; она обращается в нуль, когда эта производная равна \(-mg\).
▶ОтветСкрыть
\(k = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\); \(a = \dfrac{g}{\sqrt{2}}\)
зад 2 Нагрев U-образной трубки
Одно колено высокой симметричной \(U\)-образной трубки, имеющей площадь поперечного сечения \(S\), открыто в атмосферу, а второе — наглухо закрыто. Трубка заполнена жидкостью плотностью \(\rho\), причём в открытом колене уровень жидкости доходит до краёв, а в закрытом — на \(h\) ниже из-за оставшегося под крышкой воздуха (рис.). Трубку нагревают от начальной комнатной температуры \(T_1\) до температуры \(T_2\) кипения жидкости при атмосферном давлении \(P_0\). Найдите объём \(\Delta V\) жидкости, вылившейся из открытого колена к моменту закипания, если известно, что уровень жидкости в закрытом колене остался выше горизонтального участка трубы. Испарением жидкости из открытого колена в процессе нагревания и давлением насыщенных паров жидкости при комнатной температуре можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Уровень в открытом колене всё время у края, поэтому давление воздуха в закрытом колене определяется разностью уровней. При температуре кипения к давлению воздуха добавляется давление насыщенного пара, равное \(P_0\). Запишите уравнение состояния для воздуха в начале и в конце.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta V = Sh\left(\sqrt{\dfrac{T_2}{T_1}\left(1 + \dfrac{P_0}{\rho g h}\right)} - 1\right)\)
зад 3 Разгон в конденсаторе
Одна из пластин плоского конденсатора закреплена, а другую можно передвигать. Расстояние между пластинами можно устанавливать любым в пределах от \(0\) до \(d\). Имеется источник постоянного напряжения, который вне зависимости от расстояния между пластинами поддерживает на конденсаторе напряжение \(U\). Требуется разогнать частицу с зарядом \(q > 0\), первоначально покоившуюся между пластинами конденсатора, до максимально возможной кинетической энергии. При этом частица не должна приближаться к пластинам ближе, чем на расстояние \(a\). Найдите эту энергию и укажите полярность подключения источника, начальное положение частицы и способ перемещения пластины, при которых этот максимум достигается. Силу тяжести и краевые эффекты не учитывайте.
Примечание. Первообразная функции \(1/(x + k)\) есть \(\ln(x + k)\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сила, действующая на частицу, равна \(qU/x\), где \(x\) — текущее расстояние между пластинами; выгодно в каждый момент держать пластины как можно ближе друг к другу, перемещая подвижную пластину вместе с частицей и не нарушая ограничения на расстояние \(a\). Работа поля — интеграл силы по пути частицы.
▶ОтветСкрыть
\(K_{\max} = qU\ln\dfrac{d}{2a}\) при \(d > 2a\) (иначе решения нет)
зад 4 Шарик в трубке у соленоида
В длинном соленоиде радиусом \(r\) создано однородное магнитное поле с индукцией \(B_0\), направленной вдоль оси \(O\) цилиндра (рис.). На расстоянии \(R_0\) от оси, перпендикулярно оси, укреплена прямолинейная трубка \(AM\) из диэлектрика. Угол \(AOM\) равен \(\alpha = \pi/3\). Длина трубки значительно меньше длины соленоида. Внутри трубки в точке \(A\) находится небольшой шарик массой \(m\) с положительным зарядом \(q\). Найдите скорость шарика в момент вылета из трубки в следующих случаях.
Магнитное поле исчезает за малое время, в течение которого шарик смещается на расстояние, значительно меньшее \(R_0\).
Индукция магнитного поля уменьшается с постоянной скоростью \(dB/dt = -k < 0\) в течение всего времени движения шарика по трубке.
▶ПодсказкаСкрыть
Вне соленоида вихревое электрическое поле направлено по окружностям вокруг оси и убывает как \(1/R\). В первом случае шарик получает импульс в точке \(A\) (поле там направлено вдоль трубки); во втором — работа поля вдоль трубки пропорциональна углу, под которым трубка видна из оси.
▶ОтветСкрыть
1) \(v = \dfrac{qB_0r^2}{2mR_0}\); 2) \(v = \sqrt{\dfrac{\pi q k r^2}{3m}}\)
зад 5 Система трёх линз
Две тонкие линзы Л\(_1\) и Л\(_2\) с фокусными расстояниями \(F_1\) и \(F_2\) расположены на расстоянии \(L\) друг от друга. Тонкую линзу Л\(_3\) располагают между линзами Л\(_1\) и Л\(_2\) таким образом, что любой луч, падающий на оптическую систему под малым углом к главной оптической оси, выходит из неё параллельно своему первоначальному направлению. Найдите фокусное расстояние \(F_3\) линзы Л\(_3\) и расстояния \(l_1\) и \(l_2\) от линзы Л\(_3\) до линз Л\(_1\) и Л\(_2\). Главные оптические оси всех трёх линз совпадают.
Примечание. Фокусные расстояния собирающих линз принимаются положительными, рассеивающих — отрицательными.
▶ПодсказкаСкрыть
Система должна переводить параллельный пучок в параллельный пучок того же направления: Л\(_3\) изображает задний фокус Л\(_1\) в передний фокус Л\(_2\), а угловое увеличение системы должно равняться \(+1\). Эти два условия дают и \(F_3\), и положение Л\(_3\).
▶ОтветСкрыть
\(F_3 = \dfrac{F_1F_2(L - F_1 - F_2)}{(F_1 + F_2)^2}\) при \(F_1F_2 > 0\) и \(L \ne F_1 + F_2\) (иначе решения нет); \(l_i = \dfrac{LF_i}{F_1 + F_2}\)
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2006/07, федеральный окружной этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.