зад 1 Столкновение дисков
На горизонтальной плоскости находятся два одинаковых диска с гладкой боковой поверхностью. Первый покоился, а второму сообщили скорость \(v\). Найдите скорости дисков после их упругого соударения, используя рисунок, где отмечены положение центра первого диска до столкновения (\(A\)) и положения центров первого и второго дисков в один и тот же момент времени после столкновения (точки \(B\) и \(C\) соответственно). Трением пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
При упругом столкновении одинаковых дисков, один из которых покоился, скорости после удара перпендикулярны, а скорость первого диска направлена вдоль линии центров. Отношение модулей скоростей равно отношению путей, пройденных за одно и то же время.
▶ОтветСкрыть
Скорость первого диска равна \(0{,}8v\) и направлена по прямой \(AB\); скорость второго диска равна \(0{,}6v\) и лежит на прямой, перпендикулярной \(AB\) и проходящей через точку \(C\).
зад 2 Кривизна траектории Луны
В астрономии за единицу длины принято среднее расстояние \(R\) от Земли до Солнца, называемое астрономической единицей (1 а. е). В геоцентрической системе отсчёта, связанной с Землёй, Луна вращается по круговой орбите радиуса \(r_{\text{л}} = 2{,}57 \cdot 10^{-3}\) а. е. В гелиоцентрической системе траектория нашего естественного спутника выглядит гораздо более сложно, поскольку Луна вращается вокруг Земли, которая в свою очередь вращается вокруг Солнца (вращение происходит в одну сторону). Вычислите радиусы кривизны \(r_{\text{п}}\) и \(r_{\text{н}}\) траектории Луны в гелиоцентрической системе отсчёта во время полнолуния и новолуния. Ответ выразите в астрономических единицах. Отметьте качественно положение соответствующих центров кривизны (\(O_{\text{п}}\) и \(O_{\text{н}}\)) на данном рисунке, на котором изображены Солнце и Земля. Отношение массы Земли к массе Солнца \(m_{\text{з}}/m_{\text{с}} = 3 \cdot 10^{-6}\).
▶ПодсказкаСкрыть
Радиус кривизны равен \(v^2/a_n\). В полнолуние и новолуние скорость и ускорение Луны в гелиоцентрической системе — суммы (разности) скоростей и ускорений Земли и Луны относительно Земли, направленных вдоль одной прямой; отношение угловых скоростей найдите из закона тяготения через отношение масс.
▶ОтветСкрыть
\(r_{\text{п}} \approx 0{,}73\) а. е., \(r_{\text{н}} \approx 1{,}7\) а. е.; см. рисунок.
(mathus) \(r_{\text{п}} = R\dfrac{\left(1 + \sqrt{\alpha/\beta}\right)^2}{\dfrac{1}{(1 + \beta)^2} + \dfrac{\alpha}{\beta^2}} \approx 0{,}74\) а. е.; \(r_{\text{н}} = R\dfrac{\left(1 - \sqrt{\alpha/\beta}\right)^2}{\dfrac{1}{(1 - \beta)^2} - \dfrac{\alpha}{\beta^2}} \approx 1{,}69\) а. е., где \(\alpha = m_{\text{з}}/m_{\text{с}}\), \(\beta = r_{\text{л}}/R\).
зад 3 Скорость потока воды
Для измерения скорости потока воды в отопительной системе используется устройство, изображённое на рисунке (так называемый манометр Вентури). Скорость потока измеряется в трубе с диаметром \(d_1 = 2\) см; в месте установки манометра труба сужается до диаметра \(d_2 = 0{,}6\) см. В верхней части П-образной манометрической трубки содержится масло с плотностью \(\rho_{\text{м}} = 0{,}82\) г/см\(^3\). Вертикальные колена трубки врезаны в широкую и узкую части трубы с текущей водой. Рассматривая воду как идеальную несжимаемую жидкость, определите объём воды, протекающей через трубу в 1 с, если разность уровней воды в вертикальных коленах манометрической трубки \(h = 1{,}2\) см. Плотность воды \(\rho = 1\) г/см\(^3\).
Примечание. При течении идеальной несжимаемой жидкости по горизонтальной трубе переменного сечения выполнено \(p + \rho v^2/2 = \mathrm{const}\) вдоль всей трубы. Здесь \(p\) — давление жидкости, \(\rho\) — плотность, \(v\) — скорость течения.
▶ПодсказкаСкрыть
Разность давлений в широкой и узкой частях трубы найдите из равновесия воды и масла в П-образной трубке: она равна \((\rho - \rho_{\text{м}})gh\). Затем примените уравнение Бернулли и условие неразрывности \(v_1d_1^2 = v_2d_2^2\).
▶ОтветСкрыть
\(V = \dfrac{1}{2}\pi\sqrt{\dfrac{gh}{2}\,\dfrac{1 - \rho_{\text{м}}/\rho}{d_2^{-4} - d_1^{-4}}} = 5{,}9\) см\(^3\)/с.
зад 4 Пузырёк воздуха в воде
В высоком закрытом вертикально расположенном цилиндрическом сосуде сечением \(S\) и высотой \(h\) находится вода, занимающая весь объём сосуда, кроме маленького пузырька воздуха объёмом \(V\), образовавшегося у дна (рис.). Давление воды в верхней части сосуда равно атмосферному давлению \(p_0\). Определите, каким будет давление воды в верхней части сосуда после того, как пузырёк поднимется вверх. Процесс считать изотермическим. Модуль всестороннего сжатия жидкости равен \(K\). Рассмотрите предельные переходы:
\(V \to 0\),
\(K \to 0\) (сильно сжимаемая жидкость),
\(K \to \infty\) (несжимаемая жидкость).
Найдите численное решение задачи для случая \(h = 3\) м, \(S = 10\) см\(^2\), \(V = 0{,}2\) см\(^3\), \(K = 2 \cdot 10^9\) Па, плотность воды \(\rho = 10^3\) кг/м\(^3\), \(g = 10\) м/с\(^2\).
Примечание. Модуль всестороннего сжатия жидкости \(K\) определяется соотношением \[\Delta p = -K\dfrac{\Delta V_{\text{ж}}}{V_{\text{ж}}},\] где \(\Delta p\) — изменение давления, \(|\Delta V_{\text{ж}}/V_{\text{ж}}| = \varepsilon\) — относительное изменение объёма жидкости.
▶ПодсказкаСкрыть
Пузырёк при подъёме сжимается изотермически до давления \(p\) наверху, а освободившийся объём занимает расширившаяся вода; изменение давления воды связано с изменением её объёма через \(K\). Получится квадратное уравнение для \(p\).
▶ОтветСкрыть
1) \(p \to p_0\), 2) \(p \to p_0\), 3) \(p \to p_0 + \rho gh\); \(p = 1{,}17 \cdot 10^5\) Па.
(mathus) \(p = \dfrac{1}{2}\left(p_0 - \dfrac{KV}{Sh} + \sqrt{\left(p_0 + \dfrac{KV}{Sh}\right)^2 + \dfrac{4\rho gKV}{S}}\right)\).
зад 5 «Чёрный ящик»
Школьнику Васе Незнайкину на олимпиаде по физике предложили разгадать схему «чёрного ящика» с тремя выводами (рис.), в котором по условию задачи находились два резистора и нелинейный элемент (автомобильная лампочка, рассчитанная на номинальное напряжение \(U_N = 12\) В и мощность \(P_N = 6\) Вт). Были приведены две вольт-амперные характеристики (рис. ниже), снятые между выводами 1–2 (ВАХ 1–2) и выводами 2 и 3 (ВАХ 2–3).
Нужно было:
Проанализировать возможные схемы включения элементов «чёрного ящика», совместимые с условием задачи.
Выбрать одну из возможных схем и определить для этой схемы сопротивления резисторов.
Построить вольт-амперную характеристику нелинейного элемента.
Построить вольт-амперную характеристику, снятую между выводами 1 и 3 (ВАХ 1–3).
Помогите Васе!
Примечание. Необходимые построения следует выполнять непосредственно на рисунке.
▶ПодсказкаСкрыть
ВАХ 2–3 линейна — между выводами 2 и 3 лампочки нет. Лампочка и резистор между выводами 1 и 2 соединены последовательно; ток \(0{,}5\) А при номинальном напряжении лампочки \(12\) В позволяет найти сопротивление этого резистора.
▶ОтветСкрыть
См. рисунок; для схемы на рисунке, а \(R_1 = 50\) Ом и \(R_2 = 16\) Ом; вольт-амперная характеристика нелинейного элемента строится путём вычитания при заданном токе напряжений, соответствующих ВАХ 1–2 и ВАХ \(R_2\) (рис. ниже); ВАХ 1–3 строится суммированием напряжений, соответствующих ВАХ 1–2 и ВАХ 2–3 (см. рис. ниже).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2006/07, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.