зад 1 Аннигиляция частиц
В вакууме на расстоянии \(L = 10\) см друг от друга находятся протон \(p^+\) и антипротон \(p^-\). Обе частицы имеют одинаковые массы \(m = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\) кг и одинаковые по модулю заряды \(e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\) Кл. В первый момент частицы неподвижны. При сближении частиц на расстояние \(x = 10^{-13}\) м происходит их аннигиляция с рождением \(\gamma\)-квантов.
Какие скорости будут иметь частицы при таком сближении?
Через какое время произойдёт аннигиляция частиц?
Нужно ли при решении задачи учитывать гравитационные силы, действующие между частицами? Ответ поясните расчётом.
Электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 0{,}885 \cdot 10^{-11}\) Кл\(^2\)/(Н\(\cdot\)м\(^2\)).
Гравитационная постоянная \(G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\) Н\(\cdot\)м\(^2\)/кг\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость найдите из закона сохранения энергии. Время падения частиц друг на друга под действием силы, обратной квадрату расстояния, удобно найти по третьему закону Кеплера, рассматривая движение как вырожденный эллипс с большой полуосью \(L/2\).
▶ОтветСкрыть
\(v = \sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 xm}} = 1{,}17 \cdot 10^6\) м/с \(\ll c\), где \(c\) — скорость света; \(t = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\varepsilon_0 m(\pi L)^3}{e^2}} \approx 67\) мс; нет, не нужно.
зад 2 Столкновение дисков
На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения \(\mu\) находятся два одинаковых малых диска с гладкой боковой поверхностью. Первый диск покоился, а второй налетел на него со скоростью \(\vec v\) в момент удара. Считая столкновение дисков упругим, но не обязательно лобовым, найдите, на каком расстоянии окажутся диски к моменту их остановки, если первый диск остановился, пройдя расстояние \(x_1\). Чему равны наибольшее и наименьшее возможные конечные расстояния между дисками при данных значениях модуля скорости \(v\) и коэффициента трения \(\mu\)?
Размерами дисков пренебречь. Ускорение свободного падения \(g\).
▶ПодсказкаСкрыть
После упругого нецентрального удара одинаковых дисков их скорости перпендикулярны, а сумма квадратов скоростей равна \(v^2\); тормозные пути пропорциональны квадратам скоростей. Расстояние между точками остановки — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(x_1\) и \(x_2\).
▶ОтветСкрыть
\(l = \sqrt{2x_1^2 - \dfrac{x_1v^2}{\mu g} + \dfrac{v^4}{4\mu^2g^2}}\); \(l_{\max} = \dfrac{v^2}{2\mu g}\), \(l_{\min} = \dfrac{v^2}{2\sqrt{2}\mu g}\).
зад 3 Теплотрасса
ТЭЦ снабжает жилой район горячей водой под высоким давлением, имеющей на выходе из котельной температуру \(t_0 = 120\) °C. Вода течёт по стальной трубе радиусом \(R = 20\) см, покрытой теплоизолирующим слоем минеральной ваты толщиной \(h = 4\) см и расположенной на открытом воздухе. Расход воды \(\mu = 100\) кг/с. Температура окружающего воздуха \(t_{\text{в}} = -20\) °C. Коэффициент теплопроводности ваты \(\chi = 0{,}08\) Вт/(м\(\cdot\)К). Коэффициент теплопроводности стали на несколько порядков больше, чем у минеральной ваты. Найдите температуру воды на конце теплотрассы в двух случаях:
длина теплотрассы \(L_1 = 10\) км;
длина теплотрассы \(L_2 = 100\) км.
Удельная теплоёмкость воды \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot\)К).
Примечание. Количество теплоты \(\Delta q\), проходящее через слой вещества площадью \(S\) и толщиной \(h\) за время \(\Delta t\) при разности температур \(\Delta T\), определяется соотношением \(\Delta q = \chi\dfrac{S}{h}\Delta T\Delta t\), где \(\chi\) — коэффициент теплопроводности.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите тепловой баланс для участка трубы длиной \(dx\): потери через вату пропорциональны разности температур воды и воздуха. Получится уравнение, решение которого — экспонента; площадь слоя ваты считайте по среднему радиусу.
▶ОтветСкрыть
1) \(t_1 \approx 111\) °C; 2) \(t_2 \approx 53\) °C.
(mathus) \(t_{\text{к}} = t_{\text{в}} + (t_0 - t_{\text{в}})e^{-\alpha L}\), где \(\alpha = \dfrac{\chi\pi(2R + h)}{c\mu h}\).
зад 4 Светодиоды
Между круглыми полюсами радиусом \(R = 5\) см большого электромагнита, создающего в зазоре однородное магнитное поле с индукцией \(B = 1\) Тл, перпендикулярно линиям магнитной индукции движется с постоянной скоростью \(v = 10\) м/с металлический стержень (рис.).
Концы стержня, длина которого больше \(2R\), соединены гибкими проводами со схемой, включающей батарею с ЭДС \(\mathcal{E}_0 = 0{,}5\) В и два светодиода C\(_1\) и C\(_2\), которые горят при напряжении \(U \geqslant 0{,}25\) В и определённой полярности, указанной на рисунке. Будем считать, что в начальный момент времени стержень касается окружности (т. е. начинает пересекать при своём движении линии магнитной индукции). Определите напряжение \(U(t)\) на светодиодах и найдите моменты времени их зажигания и гашения на интервале времени движения стержня в магнитном поле (\(0 \leqslant t \leqslant 2R/v\)). Качественно постройте график зависимости \(U(t)\) и укажите на нём интервалы зажигания светодиодов C\(_1\) и C\(_2\).
▶ПодсказкаСкрыть
ЭДС индукции создаёт только часть стержня внутри круга — хорда длиной \(2\sqrt{vt(2R - vt)}\). Напряжение на светодиодах — алгебраическая сумма ЭДС батареи и ЭДС движения; светодиод горит, когда это напряжение нужного знака по модулю не меньше \(0{,}25\) В.
▶ОтветСкрыть
\(U(t) = \mathcal{E}_0 - 2Bv\sqrt{vt(2R - vt)}\); на рисунке штриховкой изображены интервалы горения светодиодов, здесь \(t_1 = 150\) мкс, \(t_2 = 1{,}8\) мс, \(t_3 = 8{,}3\) мс и \(t_4 = 9{,}85\) мс.
(mathus) Светодиод C\(_1\) светится на интервале \([t_2; t_3]\), светодиод C\(_2\) — на интервалах \([0; t_1]\) и \([t_4; t_0]\), где \(t_0 = 2R/v\).
зад 5 Параметрические колебания
В схеме, изображённой на рисунке, ёмкость конденсатора \(C\) периодически изменяется путём механического перемещения пластин. Допустим, что вследствие некоторого возмущения в схеме возникли малые колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе порядка нескольких милливольт. В момент времени, когда напряжение на конденсаторе максимально, его ёмкость скачкообразно уменьшают на долю \(\varepsilon = |\Delta C|/C\). Через четверть периода \(\dfrac{\pi}{2}\sqrt{LC}\) ёмкость скачком увеличивают до прежнего значения; ещё через четверть периода ёмкость вновь скачкообразно уменьшают на долю \(\varepsilon\) и т. д. При определённых условиях в схеме могут возбудиться незатухающие электрические колебания.
В схему включён нелинейный элемент (лампочка накаливания \(\Lambda\)), вольт-амперная характеристика которой представлена на рисунке.
Найдите минимальное значение \(\varepsilon_{\min}\), при котором в схеме возбуждаются незатухающие колебания, если \(L = 0{,}1\) Гн, \(C = 10^{-7}\) Ф.
Найдите амплитуду установившихся колебаний напряжения на лампочке, если \(\varepsilon = 3\%\).
▶ПодсказкаСкрыть
При раздвижении пластин в момент максимального заряда энергия контура увеличивается в \(1/(1-\varepsilon)\) раз, а при сближении в момент нулевого заряда не меняется. Приравняйте добавку энергии за период потерям в лампочке; при малых токах сопротивление лампочки определяется начальным наклоном ВАХ, а при больших — эффективным сопротивлением, найденным по графику.
▶ОтветСкрыть
\(\varepsilon_{\min} = \pi R_0\sqrt{\dfrac{C}{L}} = 0{,}63\%\), где \(R_0 = 2\) Ом (см. рисунок); \(U_0 = \sqrt{2}U_{\text{эфф}} \approx 2{,}5\) В, где \(U_{\text{эфф}} = 1{,}75\) В (см. рисунок).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2006/07, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.