зад 1 Шайба на льду
По гладкой горизонтальной поверхности скользит пластинка, на которой отмечены три точки \(A\), \(B\) и \(C\), лежащие в вершинах прямоугольного треугольника с углом \(30^\circ\) при вершине \(B\) (см. рисунок). Гипотенуза треугольника равна \(L\). В некоторый момент времени скорость точки \(A\) равна по модулю \(v_0\) и направлена под углом \(30^\circ\) к катету \(BC\). Известно также, что скорость точки \(B\) в этот момент времени направлена вдоль линии \(a_1a_2\), параллельной катету \(AC\).
Определите:
модуль и направление скорости точки \(B\);
модуль и направление скорости точки \(C\);
положение точки \(O\), скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Изобразите на чертеже векторы скоростей точек \(B\) и \(C\), а также положение точки \(O\).
▶ПодсказкаСкрыть
У твёрдого тела проекции скоростей двух точек на соединяющую их прямую равны. Мгновенный центр вращения лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям точек \(A\) и \(B\).
▶ОтветСкрыть
Скорость точки \(B\) направлена вертикально вниз и равна \(v_0\); скорость точки \(C\) направлена вертикально вверх и равна \(v_0/2\); точка \(O\) лежит на катете \(BC\) на расстоянии \(L\sin 30^\circ\,\mathrm{tg}\,30^\circ \approx 0{,}3L\) от точки \(C\).
зад 2 Случай на станции
Пассажирский поезд длиной \(l\) стоял на первом пути. В последнем вагоне сидел Дядя Фёдор (герой книги Э. Успенского «Каникулы в Простоквашино») и ожидал письмо, которое ему должен был передать Шарик от кота Матроскина. В тот момент, когда поезд тронулся, на привокзальной площади, как раз напротив первого вагона, появился Шарик (рис.). Он определил, что расстояние до последнего вагона равно \(L\). С какой минимальной скоростью \(v_0\) должен бежать пёс, чтобы передать письмо, если поезд движется с постоянным ускорением \(\vec a\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие встречи пса с последним вагоном в момент \(t\) (по теореме Пифагора) и выразите \(v_0\) через \(t\). Минимум получающегося выражения ищите как минимум суммы двух слагаемых с постоянным произведением.
▶ОтветСкрыть
\(v_0 = \sqrt{a(L - l)}\).
зад 3 Отопление дачного домика
Дачный домик отапливается с помощью электрических батарей. При температуре батарей \(t_{\text{Б}1} = 40\) °C и температуре наружного воздуха \(t_1 = -10\) °C в домике устанавливается температура \(t = 20\) °C. Во сколько раз надо увеличить силу тока в батареях, чтобы прежняя температура в комнате поддерживалась в холодные дни при температуре \(t_2 = -25\) °C? Какова при этом будет температура батарей \(t_{\text{Б}2}\)? Считать электрическое сопротивление нагревательных элементов не зависящим от температуры.
▶ПодсказкаСкрыть
Тепловой поток пропорционален разности температур: мощность батарей \(I^2R\) равна потоку от батарей в комнату и потоку из комнаты на улицу.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{I_2}{I_1} = \sqrt{\dfrac{t - t_2}{t - t_1}} = \sqrt{\dfrac{3}{2}} \approx 1{,}22\); \(t_{\text{Б}2} = t + \dfrac{(t_{\text{Б}1} - t)(t - t_2)}{t - t_1} = 50\) °C.
зад 4 «Чёрный ящик»
В «чёрном ящике» с тремя выводами (рис. справа) находятся два резистора и нелинейный элемент (лампочка от карманного фонарика), вольт-амперная характеристика которого изображена на рисунке ниже (график ВАХ Л). На том же рисунке изображены вольт-амперные характеристики «чёрного ящика», снятые между выводами 2–3 и 1–2.
Определите сопротивления обоих резисторов.
Нарисуйте схему соединения элементов «чёрного ящика» и укажите на ней значения сопротивлений резисторов.
Графически постройте вольт-амперную характеристику «чёрного ящика» между выводами 1–3.
Предполагая, что лампочка рассчитана на напряжение \(U_0 = 4{,}5\) В, определите, какое напряжение нужно создать между выводами 1 и 3, чтобы она горела полным накалом.
Примечание. Необходимые построения следует производить непосредственно на приведённом рисунке.
▶ПодсказкаСкрыть
ВАХ 2–3 — прямая, значит, между выводами 2 и 3 стоит только резистор. Сравните ВАХ 1–2 с ВАХ лампочки: при одном напряжении токи различаются на ток через резистор, подключённый параллельно лампочке.
▶ОтветСкрыть
См. рисунок, на котором \(R_1 = 25\) Ом и \(R_2 = 50\) Ом. Вольт-амперная характеристика «чёрного ящика» между выводами 1–3 мало отличается от характеристики линейного резистора с сопротивлением приблизительно \(33\) Ом. К выводам 1–3 нужно приложить напряжение \(U = 11{,}25\) В.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2006/07, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.