зад 1 Муравей на соломинке
Муравей из точки \(A\) без начальной скорости скользит по гладкой соломинке, у которой наклонный прямолинейный участок \(AB\) в точке \(B\) плавно переходит в дугу \(BC\) с радиусом кривизны \(R\), а эта дуга в точке \(C\) также плавно переходит в горизонтальный прямолинейный участок \(CD\) (рис.).
Известно, что \(AB:BC:CD = 1:2:3\) и суммарная длина пути много меньше \(R\).
Вычислите время скольжения муравья по соломинке от точки \(A\) до точки \(D\).
▶ПодсказкаСкрыть
На дуге малой по сравнению с \(R\) длины движение — участок гармонического колебания, как у маятника длины \(R\), с нижней точкой \(C\). Наклон участка \(AB\) равен наклону дуги в точке \(B\), так что на нём ускорение постоянно и выражается через длину дуги \(BC\) и \(R\).
▶ОтветСкрыть
\(\tau = \left(1 + \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{3}{2\sqrt2}\right)\sqrt{\dfrac{R}{g}}\).
зад 2 Сравнение КПД циклов
Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс \(C\), состоящий из двух изохор и двух изобар. Затем тот же газ совершает аналогичный процесс \(D\) (рис.). КПД какого процесса больше? Полагая КПД процесса \(C\) заданным и равным \(\eta_C\), вычислите \(\eta_D\). В обоих процессах \(\Delta p_{21} = \Delta p_{32} = \Delta p\) и \(\Delta V_{21} = \Delta V_{32} = \Delta V\), но их числовые значения неизвестны.
▶ПодсказкаСкрыть
Работы обоих циклов равны \(\Delta p\,\Delta V\). Запишите теплоту, полученную газом на участках нагревания в каждом цикле, через \(p_1\), \(V_1\), \(\Delta p\), \(\Delta V\) и исключите неизвестные с помощью заданного \(\eta_C\).
▶ОтветСкрыть
\(\eta_D = \dfrac{\eta_C}{1+4\eta_C} < \eta_C\).
зад 3 Поршень-обкладка
Цилиндрический сосуд с металлическим дном и не проводящими электрический ток стенками закрыт тонким массивным металлическим поршнем, который располагается на высоте \(h\), много меньшей диаметра сосуда. Внутри сосуда находится включённый в электрическую схему резистор, размеры которого много меньше размеров сосуда (рис.). Схема соединена лёгкими гибкими проводами с поршнем и дном сосуда. Изначально сосуд был заполнен гелием при давлении \(p \gg \varepsilon_0\mathcal{E}^2/h^2\). Система теплоизолирована, помещена в вакуум и находится в равновесии.
Ключ \(K\) замыкают. Найдите максимальную высоту \(H\), на которой может оказаться поршень после установления в системе равновесного состояния.
Теплоёмкостями сосуда и поршня пренебречь. Считать сопротивление \(r\) постоянным. Трение между поршнем и сосудом достаточно мало. Гелий считать идеальным газом. Электрическую проницаемость гелия принять равной \(\varepsilon_{\text{He}} = 1\).
▶ПодсказкаСкрыть
Поршень и дно образуют плоский конденсатор, который заряжается через резистор внутри газа: работа источника идёт на энергию поля и на теплоту в резисторе, нагревающую гелий. Составьте закон сохранения энергии для системы «газ + поршень + конденсатор» и условие равновесия поршня с учётом притяжения обкладок; малость \(\varepsilon_0\mathcal{E}^2/(ph^2)\) позволяет ограничиться первым порядком.
▶ОтветСкрыть
\(H = h\left(1 - \dfrac{\varepsilon_0\mathcal{E}^2}{10ph^2}\right)\).
зад 4 Тяжёлый канат на блоках
С помощью массивного однородного каната, подвижного блока радиуса \(R\) и неподвижного блока удерживают в покое груз (рис.). Масса каната \(m\), его длина \(l\), масса груза с подвижным блоком \(M\). Расстояния по вертикали \(H_1\) и \(H_2\) известны.
Найдите силу натяжения каната в точке \(B\).
Найдите прикладываемую к концу каната в точке \(K\) силу \(F\).
Трением в осях блоков пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
В покоящемся тяжёлом канате на гладком блоке натяжение меняется только с высотой: \(\Delta T = (m/l)\,g\,\Delta h\). Рассмотрите равновесие подвижного блока с грузом вместе с охватывающим его куском каната и сравните натяжения в точках \(A\), \(C\), \(B\) и \(K\).
▶ОтветСкрыть
1) \(T_B = \dfrac12\left(M + m\dfrac{\pi R+2H_2}{l}\right)g\); 2) \(F = \dfrac12\left(M + m\dfrac{\pi R-2H_1}{l}\right)g\).
зад 5 Пластина со сферическими поверхностями
Прозрачная пластина с показателем преломления \(n\) ограничена двумя сферическими поверхностями с радиусами кривизны \(R\) и \(r < R\).
Какой должна быть толщина пластины \(L\), чтобы падающий на поверхность с радиусом кривизны \(R\) параксиальный пучок света преобразовывался в параллельный?
Во сколько раз увеличивается интенсивность пучка света (энергия, переносимая за единицу времени через единицу площади) после прохождения через пластину?
Какое угловое увеличение для удалённых предметов даёт пластина?
Потерями энергии пучка внутри пластины можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Параллельный пучок после первой сферической поверхности сходится в её фокусе внутри стекла; чтобы на выходе пучок снова стал параллельным, этот фокус должен совпасть с фокусом второй поверхности (как в телескопе Кеплера или Галилея). Интенсивность меняется обратно пропорционально площади сечения пучка.
▶ОтветСкрыть
1) \(L = (R \pm r)\dfrac{n}{n-1}\); 2) \(\dfrac{R^2}{r^2}\); 3) \(\dfrac{r}{R}\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2007/08, федеральный окружной этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.