ВсОШ, 2007/08, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

По рельсам катится с постоянной скоростью вагонетка. Радиус её колеса равен \(r\), а радиус реборды (бортика, выступающего за обод колеса и предохраняющего колесо от схода с рельса) существенно больше. В некоторый момент времени скорости двух диаметрально противоположных точек \(A\) и \(B\) обода равны по модулю \(v_A\) и \(v_B\) соответственно (рис.).

1. С какой скоростью \(v_0\) катится колесо?

2. В тот же момент времени скорость некоторой точки \(C\), находящейся на реборде, направлена вертикально и равна \(v_C\). Однозначно ли определяется положение этой точки?

3. Чему равна проекция ускорения \(a_{Cy}\) этой точки на вертикальную координатную ось?

На наклонной плоскости находится небольшая шайба массы \(m\) (рис.). К шайбе прикреплён один конец лёгкой пружины жёсткости \(k\) и длины \(L\) (в недеформированном состоянии). Другой конец пружины закреплён в некоторой точке \(O\). Угол \(\alpha\) наклона плоскости и коэффициент трения \(\mu\) шайбы о плоскость связаны соотношением \(\operatorname{tg}\alpha = \mu\).

Определите области, в которых шайба находится в состоянии равновесия, их границы и изобразите их качественно на плоскости \(xy\) в двух случаях:

1. пружина подчиняется закону Гука как при растяжении, так и при сжатии;

2. пружина подчиняется закону Гука только при растяжении (например, пружина заменена лёгкой резинкой).

▶ОтветСкрыть

Ответ

См. рисунок: 1) \(x = L\cos\theta - \dfrac{A}{2}\sin 2\theta\), \(y = L\sin\theta - A\sin^2\theta\), где \(A = \dfrac{2mg}{k}\sin\alpha\), \(0 \leqslant \theta \leqslant \pi\) при сжатии и \(\pi \leqslant \theta \leqslant 2\pi\) при растяжении;  2) вся область внутри окружности радиусом \(L\) плюс область растяжения, как в случае 1).

Сложный конденсатор состоит из четырёх одинаковых пластин площадью \(S = 1\) м\(^2\) каждая, расположенных параллельно друг другу (рис.). Расстояние между средними пластинами \(b\) и \(c\) равно \(l = 2\) см. Расстояние между пластинами \(a\) и \(b\), \(c\) и \(d\) равно \(l_1 = l/2\). Пластины \(b\) и \(c\) подключены к идеальному источнику напряжения с \(\mathcal{E} = 120\) В через резистор \(R_1\). В начальном состоянии ключ \(K\) разомкнут.

1. Нарисуйте эквивалентную схему сложного конденсатора после замыкания ключа \(K\) и найдите его ёмкость \(C\).

2. Какое количество теплоты \(Q\) выделится на резисторах \(R_1\) и \(R_2\) (в сумме) при замыкании ключа \(K\)?

Электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\) Ф/м.

▶ОтветСкрыть

Ответ

1) См. рисунок: \(C = \dfrac{2\varepsilon_0S}{l} = 0{,}89\) нФ;  2) \(Q = \dfrac{\mathcal{E}^2\varepsilon_0S}{2l} \approx 3{,}2\) мкДж.

1. Тонкое кольцо радиусом \(R = 5\) см однородно заряжено зарядом \(Q = +10^{-8}\) Кл (рис. а). Какую минимальную скорость \(v_{\min}\) нужно сообщить протону, находящемуся вдали от кольца, чтобы он пролетел по оси кольца через его центр?

2. Пусть теперь заряд \(Q = +10^{-8}\) Кл равномерно распределён по поверхности тонкого диска радиуса \(R = 5\) см (рис. б). В центре диска имеется небольшое отверстие. Какую минимальную скорость нужно сообщить протону в этом случае, чтобы он пролетел через отверстие в диске?

Элементарный заряд \(e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\) Кл, масса протона \(m_p = 1{,}672 \cdot 10^{-27}\) кг, электрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\) Ф/м.

В цилиндре под поршнем находится смесь воздуха и паров некоторой жидкости. Смесь изотермически сжимают. На рисунке представлена экспериментальная зависимость давления в сосуде от объёма в этом процессе.

Чему равны давление насыщенных паров жидкости \(p_{\text{н}}\) при данной температуре и внутренняя энергия смеси при объёме цилиндра более \(5\) л?

Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2007/08, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.